2020年中考数学二轮复习 压轴专题 圆（含解析）

圆1如图1，ABD内接于O，AD是直径，BAD的平分线交BD于H，交O于点C，连接DC并延长，交AB的延长线于点E，（1）求证：AEAD；（2）若，求的值；（3）如图2，连接CB并延长，交DA的延长线于点F，若AHHC，AF6，求BEC的面积解：（1）AD是直径，ACD90，即ACED，BD是BAD的平分线，故AEAD；（2），则设BE3a，AB2a，ADAE5a，O交BD于点G，BD是BAD的平分线，则，则OCBD，故OCAB，则OC是ADE的中位线，则OGABa，OCAD，则CGOCOG，CGAB，则；（3）设：OGm，则AB2m，当AHHC时，由（2）知，AHBCHG（AAS），则ABCG2m，则OC3m，即圆的半径为3m，ABCO，则，即，解得：m1，故AB2，AD6，BE4，则BD4，ECDC，则BEC的面积SEBDBEBD4442如图，AB是O的直径，M是OA的中点，弦CDAB于点M，过点D作DECA交CA的延长线于点E（1）连接AD，求OAD；（2）点F在上，CDF45，DF交AB于点N若DE，求FN的长解：（1）如图1，连接OD，是的直径，于点AB垂直平分CD，M是OA的中点，DOM60，AOOD，OAD是等边三角形，OAD60；（2）如图2，连接CF，CN，OACD于点M，点M是CD的中点，AB垂直平分CD，NCND，CDF45，NCDNDC45，CND90，CNF90，由（1）可知，AOD60，ACD30，又DECA交CA的延长线于点E，E90，ACD30，DECD2DE2，CNCDsin452，由（1）可知，CAD2OAD120，F18012060，在RtCFN中，FN3如图1，锐角ABC，ABAC，O是ABC的外接圆，连接BO并延长交AC于点D，（1）若BDC30，求BAC的度数；（2）如图2，当0BAC60时，作点C关于BD的对称点E，连接AE、DE，DE交AB于F点E在O上（选填“内”、“上”、“外”）；证明：AEFEAB；若BDC为等腰三角形，AD2，求AE的长解：（1）延长BD交圆O于点G，连结CG，如图：，AG，直径BG，BCG90，ABAC，BCACBA，设BCACBA，则AG1802，DCG90，BDCG+DCG1802+9030，80，BACG18028020；（2）连结OC、OE，延长BD交圆O于点M，连结CM，如图：C、E是关于BD的对称点，OCOE，点E在O上，故答案为：上；证明：C、E是关于BD的对称点，23，45M，设1ABCx，则45M1802x，690x，23M+62703x，AEFEDCEAD23242（2703x）2（1802x）1802x，AEF51802x，即AEFEAB；1ABCDBC，BDDC，BDC为等腰三角形，分两种情况讨论：（）当BDBC时，12，即x2703x，解得：x67.5，44560，满足题意，此时AED为等腰直角三角形，AEAD2，AE2；（）当DCBC时，2DBC，即2703x1802x，解得：x90，40，不满足0BAC60；综上所述：AE24如图，AB是O的直径，点C、D在O上，AD与BC相交于点E连接BD，作BDFBAD，DF与AB的延长线相交于点F（1）求证：DF是O的切线；（2）若DFBC，求证：AD平分BAC；（3）在（2）的条件下，若AB10，BD6，求CE的长解：（1）连接OD，CD，AB是直径，ADB90，ADO+ODB90，OAOD，BADADO，BDFBAD，BDF+ODB90，ODF90，ODDF，DF是O的切线；（2）DFBC，FDBCBD，CADCBD，且BDFBAD，CADBADCBDBDF，AD平分BAC；（3）AB10，BD6，AD8，CBDBAD，ADBBDE90，BDEADB，DE，AEADDE，CADBAD，sinCADsinBADCE5如图1，在平面直角坐标系中，O1与x轴相切于点A（3，0），与y轴相交于B、C两点，且BC8，连接AB（1）求证：ABO1ABO；（2）求AB的长；（3）如图2，O2经过A、B两点，与y轴的正半轴交于点M，与O1B的延长线交于点N，求出BMBN的值（1）证明：如图11，连接AO1，O1与x轴相切于点A，OAO190，又AOB90，OAO1+AOB180，AO1OB，ABOO1AB，O1AO1B，O1ABABO1，ABO1ABO；（2）解：如图12，过点O1作O1HBC于H，则CHBHBC4，O1HOHOAOAO190，四边形AO1HO是矩形，AO1AO3，在RtO1HB中，O1B5，HOO1AO1B5，OBHOBH1，在RtAOB中，AB；（3）解：如图2，作点B关于x轴的对称点B，则点OBOB1，ABAB，BB2，ABOABO由（1）知，ABOABO1，ABO1ABO，180ABO1180ABO，即ABNABM，又，AMBN，AMBANB（AAS），MBNB，BMBNBMBMBB2，BMBN的值为26如图，P是直径AB上的一点，AB6，CPAB交半圆于点C，以BC为直角边构造等腰RtBCD，BCD90，连接OD小明根据学习函数的经验，对线段AP，BC，OD的长度之间的关系进行了探究下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）对于点P在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP，BC，OD的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置AP0.001.002.003.004.005.00BC6.005.484.904.243.462.45OD6.717.247.076.716.165.33在AP，BC，OD的长度这三个量中确定AP的长度是自变量，BC的长度和OD的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，推断：当OD2BC时，线段AP的长度约为4.5解：（1）由图表观察，可看出随着AP的变化，BC和OD都在发生变化，且都有唯一确定的值和其对应，所以AP的长度是自变量，BC和OD的长度都是这个自变量的函数，故答案分别为：AP，BC，OD；（2）如右图，可先描点，再画出如图所示图象；（3）由图象可推断：当OD2BC时，线段AP的长度约为4.5，故答案为：4.57如图，以ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若ACFC（1）求证：AC是O的切线；（2）若BF8，DF，求O的半径（3）过点B作O的切线交CA的延长线于G，如果连接AE，将线段AC以直线AE为对称轴作对称线段AH，点H正好落在O上，连接BH，求证：四边形AHBG为菱形（1）证明：如图1，连接OA，OD，则OAFD，D为BE的下半圆弧的中点，EODBOD18090，OFD+D90，CACF，CAFCFAOFD，CAF+OAF90，即CAO90，OACA，AC是O的切线；（2）如图1，设半径为r，则OFBFOB8r，在RtOFD中，OF2+OD2DF2，（8r）2+r2（）2，解得，r16，r22（舍去），O的半径为6；（3）如图2，连接EH，由对称性可知ACAH，CAEHAE，又AEAE，CAEHAE（SAS），CEHA，EHAABE，CABE，OAOB，OABOBA，BE为O的直径，EAB90，OAB+OAE90，又CAE+OAE90，CAEOAB，COBAOABCAE，ACAB，CAEBAO（ASA），AEAOOE，AEO是等边三角形，AEO60，ABE90AEO30，AHBAEO60，ABG90ABE60，CAAH，CAAB，AHAB，又AHB60，ABH是等边三角形，ABBHAH，GB，GA是O的切线，GBGA，又ABG60，ABG是等边三角形，ABBGAG，BHAHBGAG，四边形AHBG是菱形8已知：ABC是O的内接三角形，AB为直径，ACBC，D、E是O上两点，连接AD、DE、AE（1）如图1，求证：AEDCAD45；（2）如图2，若DEAB于点H，过点D作DGAC于点G，过点E作EKAD于点K，交AC于点F，求证：AF2DG；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DF、CD，若CDFGAD，DK3，求O的半径（1）证明：如图1，连接CO，CE，AB是直径，ACB90，ACBC，BCAB45，COA2B90，CADCED，AEDCADAEDCEDAECCOA45，即AEDCAD45；（2）如图2，连接CO并延长，交O于点N，连接AN，过点E作EMAC于M，则CAN90，ACBC，AOBO，CNAB，AB垂直平分CN，ANAC，NABCAB，AB垂直平分DE，ADAE，DABEAB，NABEABCABDAB，即GADNAE，CANCME90，ANEM，NAEMEA，GADMEA，又GAME90，ADEA，ADGEAM（AAS），AGEM，AMDG，又MEF+MFE90，MFE+GAD90，MEFGAD，又GFME90，ADGEFM（ASA），DGMF，DGAM，AFAM+MF2DG；（3）CDFGAD，FCDDCA，FCDDCA，CFDCDACBA，ACBC，AB为直径，ABC为等腰直角三角形，CFDCDACBA45，GFD为等腰直角三角形，设GFGDa，则FDa，AF2a，FAKDAG，AKFG90，AFKADG，在RtAFK中，设FKx，则AK3x，FK2+AK2AF2，x2+（3x）2（2a）2，解得，xa（取正值），FKa，在RtFKD中，FK2+DK2FD2，（a）2+32（a）2，解得，a（取正值），GFGD，AF，FCDDCA，CD2CAFC，CD2CG2+GD2，CG2+GD2CAFC，设FCn，则（n）2+（）2（+n）n，解得，n，ACAF+CF+，ABAC，O的半径为9如图，在ABCD中，AB4，BC8，ABC60点P是边BC上一动点，作PAB的外接圆O交BD于E（1）如图1，当PB3时，求PA的长以及O的半径；（2）如图2，当APB2PBE时，求证：AE平分PAD；（3）当AE与ABD的某一条边垂直时，求所有满足条件的O的半径解：（1）如图1，过点A作BP的垂线，垂足为H，作直径AM，连接MP，在RtABH中，ABH60，BAH30，BHAB2，AHABsin602，HPBPBH1，在RtAHP中，AP，AB是直径，APM90，在RtAMP中，MABP60，AM，O的半径为，即PA的长为，O的半径为；（2）当APB2PBE时，PBEPAE，APB2PAE，在平行四边形ABCD中，ADBC，APBPAD，PAD2PAE，PAEDAE，AE平分PAD；（3）如图31，当AEBD时，AEB90，AB是O的直径，rAB2；如图32，当AEAD时，连接OB，OE，延长AE交BC于F，ADBC，AFBC，BFEDAE，在RtABF中，ABF60，AFABsin602，BFAB2，EF，在RtBFE中，BE，BOE2BAE60，OBOE，OBE是等边三角形，r；当AEAB时，BAE90，AE为O的直径，BPE90，如图33，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点N，延开PE交AD于点Q，在RtDCN中，DCN60，DC4，DNDCsin602，CNCD2，PQDN2，设QEx，则PE2x，在RtAEQ中，QAEBADBAE30，AE2QE2x，PEDN，BPEBND，BP10x，在RtABE与RtBPE中，AB2+AE2BP2+PE2，16+4x2（10x）2+（2x）2，解得，x16（舍），x2，AE2，BE2，r，O的半径为2或或10已知：四边形ABCD内接于O，连接AC，ABAD（1）如图1，求证：CA平分BCD；（2）如图2，连接BD交AC于点E，若BD为O直径，求证：tanCAD；（3）如图3，在（2）的条件下，点F为BC中点，连接AF并延长交O于G，若FG2，tanGAD，求DE的长（1）证明：ABAD，ACBACD，CA平分BCD；（2）证明：如图2，过点D作AC的平行线交BC延长线于Q，CADCBD，BD为直径，BCD90，tanCADtanCBD，DQACQACB，ACDCDQ，由（1）得ACBACD，QCDQ，CDCQ，CEDQ，DE：EBCQ：BC，即DE：EBCD：CB，tanCAD；（3）如图3，过点D、B分别作DHAG于H，BNAG于N，过O作OMAG于M，tanGAD，设AH3k，DH4k，BAN+NAD90，NAD+ADH90，BANADH，又BNAAHD90，ABAD，ADHBAN（AAS），BNAH3k，ANDH4k，DHOMBN，且OBOD，MHMN，NHANAHk，OMAG，MAMG，AHNG3k，FN3k2，连接CG，过点C作CPAB，则ABFPCF，BAFP，又BFCF，ABFPCF（AAS），FAFP，BAFGCB，GCFP，FCGFPC，CF2FGFP，CFBF，即BN2+FN2FGFA，（3k）2+（3k2）22（4k+3k2），解得k1 或k（FN0舍去），在RtAHD中，AH3，DH4，AD5，BDAB5，BF2BN2+FN2（3k）2+（3k2）210，BF，BC2，在RtBCD中，CD，tanCBD，DEBD11已知：AB、AC是O中的两条弦，连接OC交AB于点D，点E在AC上，连接OE，AEOBDO（1）如图1，若CADCOE，求证：；（2）如图2，连接OA，若OABCOE，求证：AECD；（3）如图3，在第（2）问的条件下，延长AO交O于点F，点G在AB上，连接GF，若ADC2BGF，AE5，DG1，求线段BG的长（1）证明：设OE与AB交于点H，CADCOE，EHADHO，AEOODA，AEOBDO，BDO+ADO180，ADOBDO90，ODAB，；（2）证明：AEO+CEO180，BDO+ADO180，AEOBDO，CEOADO，在CEO和ODA中，COEOAD，CEOADO，OCOA，CEOODA（AAS），CEOD，ECOAOD，OAACOC，AOC为等边三角形，AEACCE，CDOCOD，AECD；（3）证明：延长FG交OC于点S，延长CO到点T，使OTOS，连接AT，BF，设BGF，则BGFSGD，ADC2BGF2，ADCGSD+SGDDSGDGSSDDG1AECD5CSCDSD4在FOS和AOT中，OSOT，SOFAOT，OFOA，FOSAOT（SAS）ATOFSO，ADC2，DATDTA，ADDT，设OAOCACr，OTOSr4，ODr5，ADDT2r9，在ADC中，CD5，ACr，AD2r9，ACD60，解ADC得，r8，AD7，过点D作DKOA，在DOK中，OD3，DOK60，OK，AK，cosDAK，在ABF中，ABAFcosDAK，BGABAG12已知四边形ABCD为O的内接四边形，直径AC与对角线BD相交于点E，作CHBD于H，CH与过A点的直线相交于点F，FADABD（1）求证：AF为O的切线；（2）若BD平分ABC，求证：DADC；（3）在（2）的条件下，N为AF的中点，连接EN，若AED+AEN135，O的半径为2，求EN的长（1）证明：如图1，AC为O的直径，ADC90，DAC+DCA90，ABDDCA，FADABD，FADDCA，FAD+DCA90，CAAF，AF为O的切线（2）证明：如图2，连接OD，ABDAOD，DBCDOC，BD平分ABC，ABDDBC，DOADOC，DADC（3）如图3，连接OD交CF于M，作EPAD于P，AC为O的直径，ADC90DADC，DOAC，FACDOC90，AFOM，AOOC，OMAFODE+DEO90，OCM+DEO90ODEOCMDOECOM，ODOC，ODEOCM，OEOM，设OMm，AE2m，APPE2m，DP2+m，AED+AEN135，AED+ADE135，AENADE，EANDPE，EANDPE，m，AN，AE，勾股定理得NE13MN是O上的一条不经过圆心的弦，MN4，在劣弧MN和优弧MN上分别有点A，B（不与M，N重合），且，连接AM，BM（1）如图1，AB是直径，AB交MN于点C，ABM30，求CMO的度数；（2）如图2，连接OM，AB，过点O作ODAB交MN于点D，求证：MOD+2DMO90；（3）如图3，连接AN，BN，试猜想AMMB+ANNB的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由解：（1）如图1，AB是O的直径，AMB90，AMNBMN45OMOB，OMBOBM30，CMO453015；（2）如图2，连接OA，OB，ON，AONBON又OAOB，ONABODAB，DON90OMON，OMNONMOMN+ONM+MOD+DON180，MOD+2DMO90；（3）如图3，延长MB至点M，使BMAM，连接NM，作NEMM于点E设AMa，BMb四边形AMBN是圆内接四边形，A+MBN180NBM+MBN180，ANBM，ANBN，AMNBMN（SAS），MNNM，BMAMaNEMM于点EME2+（BN2BE2）MN2，化简得ab+NB216，AMMB+ANNB1614已知，在PAB中，PAPB，经过A、B作O（1）如图1，连接PO，求证：PO平分APB；（2）如图2，点P在O上，PA：AB：2，E是O上一点，连接AE、BE求tanAEB的值；（3）如图3，在（2）的条件下，AE经过圆心O，AE交PB于点F，过F作FGBE于点G，EF+BG14，求线段OF的长度（1）证明：连接OA，OB，则OAOB，又PAPB，PO垂直平分AB，PO平分APB；（2）解：延长PO，交AB于H，过点A作AMPB于M，由（1）知PH垂直平分AB，PA：AB：2，设AB2，则APBP，AHBH1，在RtPAH中，PH3，SPABABPHPBAM，23AM，AM，在RtPAM中，PM，tanAPM：，AEBAPM，tanAEB；（3）连接PO并延长，交AB于点H，由（1）知，PH垂直平分AB，AE为直径，在RtEFG中，tanFEG，设FG3x，则EG4x，EF5x，EF+BG14，BG145x，ABE90AHPPHB，PHEB，HPBGBF，HPBGBF，解得，x1，EF5，BEBG+EG9+413，ABBE，AE，OEAE，OFOEEF5，线段OF的长度为15如图1，在O中，点A为的中点，点D在O上（1）求证：BAC+2ADB180；（2）如图2，点G为O上一点，DG与BC的延长线交于点K，若CBD2ABC，BCCK，求证：BGKG；（3）如图3，在（2）的条件下，AC与BG的延长线交于点E，CE3AC15，BE10，求线段BD的长（1）证明：如图1，连接DC，点A为的中点，ADBADC，BDC2ADB，四边形ABCD是圆内接四边形，BAC+BDC180，BAC+2ADB180；（2）如图2，连接CG，ABCADCADB，BDC2ABC，CBD2ABC，BDCCDB，CBCD，BCCK，CDCK，CDKK，CBD+CDB+CDK+K180，CBD+K90，BDK90，BG为O的直径，BCG90，GCBK，又BCCK，BGKG；（3）CE3AC15，ACAB5，四边形ABGC是圆内接四边形，BAC+BGC180，CGE+BGC180，BACCGE，又EE，ECGEBA，即，GE6，CG，BGBEGE4，由（2）知，BGKG，KG4，在RtBCG中，BC5，BKBC+CK10，BDGGCK90，KK，KCGKDB，即，DB，线段BD的长为