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专题19 以三角形为背景的证明与计算考点分析【例1】（2019山东中考真题）如图，已知等边，于，为线段上一点，且，连接，BF，于，连接（1）求证：；（2）试说明与的位置关系和数量关系【答案】（1）详见解析；（2），理由详见解析【解析】（1）是等边三角形，且，（2），.理由如下：连接，是等边三角形，且，.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练运用三角形中位线定理是本题的关键【例2】（2019山东中考真题）小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.（一）猜测探究在中，是平面内任意一点，将线段绕点按顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接（1）如图1，若是线段上的任意一点，请直接写出与的数量关系是 ，与的数量关系是 ；（2）如图2，点是延长线上点，若是内部射线上任意一点，连接，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由（二）拓展应用如图3，在中，是上的任意点，连接，将绕点按顺时针方向旋转，得到线段，连接求线段长度的最小值【答案】（一）（1）结论：，理由见解析；（2）如图2中，中结论仍然成立理由见解析；（二）的最小值为【解析】（一）（1）结论：，理由：如图1中，（），故答案为，（2）如图2中，中结论仍然成立理由：，（），（二）如图3中，在上截取，连接，作于，作于，（），当的值最小时，的值最小，在中，在，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，的最小值为【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题考点集训1（2019湖北中考真题）如图，在中，是边上的一点，平分，交边于点，连接（1）求证：；（2）若，求的度数【答案】(1)见解析；（2）【解析】（1）证明：平分，在和中，；（2），平分，在中，【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，证明三角形全等是解题的关键2（2019浙江中考真题）如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CFAB交ED的延长线于点F，（1）求证：BDECDF；（2）当ADBC，AE1，CF2时，求AC的长【答案】（1）见解析；（2）.【解析】解：（1），.是边上的中线，.（2），.，.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键3（2019天津）在RtABC中，A=90，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点若等腰RtADE绕点A逆时针旋转，得到等腰RtRtAD1E1，设旋转角为（0180），记直线BD1与CE1的交点为P（1）如图1，当=90时，线段BD1的长等于 ，线段CE1的长等于 ；（直接填写结果）（2）如图2，当=135时，求证：BD1=CE1 ，且BD1CE1 ；（3）求点P到AB所在直线的距离的最大值（直接写出结果）【答案】（1）BD1=，CE1=；（2）见解析；（3）1 +【解析】解：（1）解：A=90，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，AE=AD=2，等腰RtADE绕点A逆时针旋转，得到等腰RtAD1E1，设旋转角为（0180），当=90时，AE1=2，E1AE=90，;（2）证明：当=135时，如下图：由旋转可知D1AB=E1AC=135又AB=AC，AD1=AE1，D1AB E1ACBD1=CE1且 D1BA=E1CA设直线BD1与AC交于点F，有BFA=CFPCPF=FAB=90，BD1CE1；（3）解：如图3，作PGAB，交AB所在直线于点G，D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，PD1=2，则，故ABP=30，则，故点P到AB所在直线的距离的最大值为：考点：旋转变换，直角三角形，勾股定理，三角形全等，正方形的性质4（2019江西初二期末）（1）如图（1），已知：在ABC中，BAC90，AB=AC，直线m经过点A，BD直线m, CE直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有BDA=AEC=BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为BAC平分线上的一点,且ABF和ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若BDA=AEC=BAC，试判断DEF的形状.【答案】（1）见解析（2）成立（3）DEF为等边三角形【解析】解：（1）证明：BD直线m，CE直线m，BDACEA=900BAC900，BAD+CAE=900BAD+ABD=900，CAE=ABD又AB=AC ，ADBCEA（AAS）AE=BD，AD=CEDE=AE+AD= BD+CE（2）成立证明如下：BDA =BAC=，DBA+BAD=BAD +CAE=1800DBA=CAEBDA=AEC=，AB=AC，ADBCEA（AAS）AE=BD，AD=CEDE=AE+AD=BD+CE（3）DEF为等边三角形理由如下：由（2）知，ADBCEA，BD=AE，DBA =CAE，ABF和ACF均为等边三角形，ABF=CAF=600DBA+ABF=CAE+CAFDBF=FAEBF=AF，DBFEAF（AAS）DF=EF，BFD=AFEDFE=DFA+AFE=DFA+BFD=600DEF为等边三角形（1）因为DE=DA+AE，故由AAS证ADBCEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE（2）成立，仍然通过证明ADBCEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD（3）由ADBCEA得BD=AE，DBA =CAE，由ABF和ACF均等边三角形，得ABF=CAF=600，FB=FA，所以DBA+ABF=CAE+CAF，即DBF=FAE，所以DBFEAF，所以FD=FE，BFD=AFE，再根据DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=600得到DEF是等边三角形5（2019贵州中考真题）（1）如图，在四边形中，点是的中点，若是的平分线，试判断，之间的等量关系解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证得到，从而把，转化在一个三角形中即可判断，之间的等量关系_；（2）问题探究：如图，在四边形中，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，之间的等量关系，并证明你的结论【答案】（1）；（2），理由详见解析.【解析】解：（1）.理由如下：如图，是的平分线，.点是的中点，又，（AAS），.故答案为：.（2）.理由如下：如图，延长交的延长线于点.，又，（AAS），是的平分线，.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键6（2019江苏初二期中）如图，ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC，（1）求证：ABEACF；（2）若BAE=30，则ADC= 【答案】（1）证明见解析；（2）75【解析】（1）AB=AC，B=ACF，在ABE和ACF中，ABEACF（SAS）；（2）ABEACF，BAE=30，CAF=BAE=30，AD=AC，ADC=ACD，ADC=75，故答案为75【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.7（2019江苏中考真题）如图，中，点在边上，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点(1)求证：；(2)若，求的度数.【答案】(1)证明见解析；(2)78.【解析】 (1) (2) 【点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，比较简单，基础知识扎实是解题关键8（2019江苏中考真题）如图，在ABC中，AB=AC,点D、E分别在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于点0；求证：（1）（2）【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】 (1)AB=AC，ECB=DBC，在 ， ；(2)由(1) ，DCB=EBC，OB=OC.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.9（2019江苏中考真题）如图，中，（1）用直尺和圆规作的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）若（1）中所作的垂直平分线交于点，求的长【答案】（1）详见解析；（2）【解析】（1）如图直线即为所求（2）垂直平分线段，设，在中，解得，【点睛】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型10（2019湖北初二期中）（问题提出）如图，已知ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将BCE绕点C顺时针旋转60至ACF连接EF试证明：AB=DB+AF（类比探究）（1）如图，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由【答案】证明见解析；（1）AB=BDAF；（2）AF=AB+BD【解析】（1）证明：DE=CE=CF，BCE由旋转60得ACF，ECF=60，BE=AF，CE=CF，CEF是等边三角形，EF=CE，DE=EF，CAF=BAC=60，EAF=BAC+CAF=120，DBE=120，EAF=DBE，又A，E，C，F四点共圆，AEF=ACF，又ED=DC，D=BCE，BCE=ACF，D=AEF，EDBFEA，BD=AF，AB=AE+BF，AB=BD+AF类比探究（1）DE=CE=CF，BCE由旋转60得ACF，ECF=60，BE=AF，CE=CF，CEF是等边三角形，EF=CE，DE=EF，EFC=BAC=60，EFC=FGC+FCG，BAC=FGC+FEA，FCG=FEA，又FCG=EADD=EAD，D=FEA，由旋转知CBE=CAF=120，DBE=FAE=60DEBEFA，BD=AE， EB=AF，BD=FA+AB即AB=BD-AF（2）AF=BD+AB（或AB=AF-BD）如图，ED=EC=CF，BCE绕点C顺时针旋转60至ACF，ECF=60，BE=AF，EC=CF，BC=AC，CEF是等边三角形，EF=EC，又ED=EC，ED=EF，AB=AC，BC=AC，ABC是等边三角形，ABC=60，又CBE=CAF，CAF=60，EAF=180-CAF-BAC=180-60-60=60DBE=EAF；ED=EC，ECD=EDC，BDE=ECD+DEC=EDC+DEC，又EDC=EBC+BED，BDE=EBC+BED+DEC=60+BEC，AEF=CEF+BEC=60+BEC，BDE=AEF，在EDB和FEA中， EDBFEA（AAS），BD=AE，EB=AF，BE=AB+AE，AF=AB+BD，即AB，DB，AF之间的数量关系是：AF=AB+BD考点：旋转变化，等边三角形，三角形全等，11（2019浙江中考真题）如图，在中，.已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连结AP，求证：；以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连结AQ，若，求的度数.【答案】（1）见解析；（2）B=36.【解析】（1）证明：因为点P在AB的垂直平分线上，所以PA=PB，所以PAB=B，所以APC=PAB+B=2B.（2）根据题意，得BQ=BA，所以BAQ=BQA，设B=x，所以AQC=B+BAQ=3x，所以BAQ=BQA=2x，在ABQ中，x+2x+2x=180，解得x=36，即B=36.【点睛】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质、等腰三角形的性质.12（2019山东初三）（1）操作发现：如图，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN小明发现了：线段GM与GN的数量关系是_；位置关系是_（2）类比思考：如图，小明在此基础上进行了深入思考把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中ABAC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由（3）深入研究：如图，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究向ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断GMN的形状，并给与证明【答案】（1）MG=NG； MGNG；（2）成立，MG=NG，MGNG；（3）答案见解析【解析】（1）连接BE，CD相交于H，如图1，ABD和ACE都是等腰直角三角形，AB=AD，AC=AE，BAD=CAE=90CAD=BAE，ACDAEB（SAS），CD=BE，ADC=ABE，BDC+DBH=BDC+ABD+ABE=BDC+ABD+ADC=ADB+ABD=90，BHD=90，CDBE，点M，G分别是BD，BC的中点，MGCD且MG=CD，同理：NGBE且NG=BE，MG=NG，MGNG，（2）连接CD，BE，相交于H，如图2，同（1）的方法得，MG=NG，MGNG；（3）连接EB，DC并延长相交于点H，如图3.同（1）的方法得，MG=NG，同（1）的方法得，ABEADC，AEB=ACD，CEH+ECH=AEHAEC+180ACDACE=ACD45+180ACD45=90，DHE=90，同（1）的方法得，MGNGGMN是等腰直角三角形.点睛：此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本题的关键13（2019山东）（提出问题）（1）如图1，在等边ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边AMN，连结CN求证：ABC=ACN（类比探究）（2）如图2，在等边ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论ABC=ACN还成立吗？请说明理由（拓展延伸）（3）如图3，在等腰ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰AMN，使顶角AMN=ABC连结CN试探究ABC与ACN的数量关系，并说明理由【答案】见解析【解析】解：（1）证明：ABC、AMN是等边三角形，AB=AC，AM=AN，BAC=MAN=60BAM=CAN在BAM和CAN中，BAMCAN（SAS）ABC=ACN（2）结论ABC=ACN仍成立理由如下：ABC、AMN是等边三角形，AB=AC，AM=AN，BAC=MAN=60BAM=CAN在BAM和CAN中，BAMCAN（SAS）ABC=ACN（3）ABC=ACN理由如下：BA=BC，MA=MN，顶角ABC=AMN，底角BAC=MANABCAMN又BAM=BACMAC，CAN=MANMAC，BAM=CAN.BAMCANABC=ACN14（2019辽宁中考真题）如图，是具有公共边AB的两个直角三角形，其中，AC=BC，ACB=ADB=90(1)如图1，若延长DA到点E，使AE=BD，连接CD，CE求证：CD=CE，CDCE；求证：AD+BD=CD；(2)若ABC与ABD位置如图2所示，请直接写出线段AD，BD，CD的数量关系【答案】(1)证明见解析；证明见解析；(2)AD-BD=CD.【解析】 (1)证明：在四边形ADBC中，DAC+DBC+ADB+ACB=360，ADB+ACB=180，DAC+DBC=180，EAC+DAC=180，DBC=EAC，BD=AE，BC=AC，BCDACE(SAS)，CD=CE，BCD=ACE，BCD+DCA=90，ACE+DCA=90，DCE=90，CDCE；CD=CE，CDCE，CDE是等腰直角三角形，DE=CD，DE=AD+AE，AE=BD，DE=AD+BD，AD+BD=CD；(2)解：AD-BD=CD；理由：如图2，在AD上截取AE=BD，连接CE，AC=BC，ACB=90，BAC=ABC=45，ADB=90，CBD=90-BAD-ABC=90-BAD-45=45-BAD，CAE=BAC-BAD=45-BAD，CBD=CAE，BD=AE，BC=AC，CBDCAE(SAS)，CD=CE，BCD=ACE，ACE+BCE=ACB=90，BCD+BCE=90，即DCE=90，DE=CD，DE=AD-AE=AD-BD，AD-BD=CD【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键
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