2020年中考数学二轮复习 重难题型突破 类型四 二次函数与特殊三角形判定问题

类型四 二次函数与特殊三角形判定问题例1、如图，已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.(1)若直线ymxn经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；(2)在抛物线的对称轴x1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标【解析】解：(1)依题意，得，解得抛物线的解析式为yx22x3.对称轴为x1，抛物线经过A(1，0)，B(3，0)设直线BC的解析式为ymxn(m0)，把B(3，0)，C(0，3)分别代入ymxn，得，解得直线BC的解析式为yx3.(2)如解图，设直线BC与对称轴x1的交点为M，连接MA，MAMB，MAMCMBMCBC.使MAMC最小的点M应为直线BC与对称轴x1的交点把x1代入直线yx3，得y2.M(1，2)(3)设P(1，t)，结合B(3，0)，C(0，3)，得BC218，PB2(13)2t24t2，PC2(1)2(t3)2t26t10. 若B为直角顶点，则BC2PB2PC2，即184t2t26t10，解得t2；若C为直角顶点，则BC2PC2PB2，即18t26t104t2，解得t4；若P为直角顶点，则PB2PC2BC2，即4t2t26t1018，解得t1，t2.综上所述，满足条件的点P共有四个，分别为：P1(1，2)，P2(1，4)，P3(1，)，P4(1，)例2、如图，抛物线yx2x4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点M.P是抛物线在x轴上方的一个动点(点P、M、C不在同一条直线上)(1)求点A，B的坐标；(2)连接AC、PB、BC，当SPBCSABC时，求出此时点P的坐标；(3)分别过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为点D、E，连接MD、ME.问MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标；若不能，说明理由第2题 【解析】解：(1)令yx2x40，解得x11，x25，A点的坐标为(1，0)，B点的坐标为(5，0)(2)如解图，过点A作APBC，与抛物线交于点P，则SPBCSABC，第1题解图 第2题解图第2题解图当x0时，yx2x4 4，点C的坐标为(0，4)，设过点B，C两点的直线的解析式为ykxb(k0)，则有解得直线BC的解析式为yx4，由于PABC，设AP的解析式为yxm，代入点A(1，0)，解得m，直线AP的解析式为yx，联立方程组得解得： P点的坐标为(4，) (3)MDE能成为等腰直角三角形，理由：抛物线yx2x4(x3)2，对称轴是直线x3.M(3，0)当MED90时，点E，B，M在一条直线上，此种情况不成立；同理：当MDE90时，不成立；当DME90时，如解图所示，设直线PC与对称轴交于点N，EMDM，MNAM，EMNDMA.MDE45，EDA90，MDA135.MED45，NEM135，ADMNEM135.在ADM与NEM中， ADMNEM(ASA)MNMA2，N(3，2)设直线PC的解析式为ykxb(k0)，将点N(3，2)，C(0，4)代入直线的解析式得： 解得： 直线PC的解析式为y2x4.将y2x4代入抛物线解析式得：2x4 x2x4，解得：x0或x，P(，3)综上所述，MDE能成为等腰直角三角形，此时点P的坐标为(，3)例3、如图，抛物线yax2bx4交x轴于A、B两点(点A在点B左侧)，交y轴于点C，连接AC、BC，其中COBO2AO.(1)求抛物线的解析式；(2)点Q为直线BC上方的抛物线上一点，过点Q作QEAC交BC于点E，作QNx轴于点N，交BC于点M，当EMQ的周长L最大时，求点Q的坐标及L的最大值；(3)如图，在(2)的结论下，连接AQ分别交BC于点F，交OC于点G，四边形BOGF从F开始沿射线FC平移，同时点P从C开始沿折线COOB运动，且点P的运动速度为四边形BOGF平移速度的倍，当点P到达B点时，四边形BOGF停止运动，设四边形BOGF平移过程中对应的图形为B1O1G1F1，当PFF1为等腰三角形时，求B1F的长度第3题图【解析】 解：(1)抛物线yax2bx4与y轴交于点C，点C的坐标为(0，4)COBO2AO，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(4，0)，将点A、B的坐标分别代入抛物线解析式得解得抛物线的解析式为yx2x4.(2)点A(2，0)，点B(4，0)，点C(0，4)，直线AC的解析式为y2x4，直线BC的解析式为yx4.设点Q的坐标为(q，q2q4)，QEAC，过点E作EFQM于点F，如解图，第3题解图则，QF2EF，QEEF，在RtEFM中，易得FEMFMEMBN45，EMEF，EFMF，QM3EF，当EF最大时，EQM的周长最大，直线AC的解析式为y2x4，直线QEAC，设直线QE的解析式为y2xt，将Q点坐标代入得，tq2q4，直线QE的解析式为y2x(q2q4)，与直线BC联立解得点E的坐标为(q2q，q2q4)EFqq2qq2q(q2)2，根据二次函数最值性质可知，当q2时，EF最大，为.此时点Q的坐标为(2，4)，L3EFEFEF(3)(3)由(2)知点Q的坐标为(2，4)，则直线QA的解析式为yx2，AQBC于F，且点F的坐标为(1，3)点B(4，0)，BF3.设四边形BOGF平移的距离FF1t，则点P运动的速度为2t.当点P在OC上，此时0t2，则点B1在BF上此时易得点F1的坐标为(1t，t3)，点P的坐标为(0，42t)PF21(12t)24t24t2，PF12(1t)2(3t42t)210t28t2，FF122t2.(i)当PF2FF12时，4t24t22t2，解得t1t21，此时B1FB1F1FF1BFFF12；(ii)当PF2PF12时，4t24t210t28t2，解得t1，t20(舍)，此时B1FB1F1FF1； (iii)当F1F2PF12时，2t210t28t2，解得t1t2，此时B1F；当点P在OB上，此时2t4，当2t3时，点B1在BF上，当390，若PFF1是等腰三角形，则只能是PFFF1，即(2t41)292t2，解得t152，t252(舍)，此时t523，如解图，第4题解图第4题解图第4题解图SSCABSPAB3(31)(31)(m22m3)2m24m，SSBCD， 2m24m，整理得4m28m150，解得m1，m2(舍去)，P点坐标为(，)；当点P在x轴下方时，即1m3，如解图，连接OP，SSAOCSCOPSPOB313m3(m22m3)m2m6， SSBCD， m2m6，整理得m23m10，解得m1，m2(舍去)，P点坐标为(，)，综上所述，P点坐标为(，)或(，)(3)存在直线x1交x轴于点F，BD2，如解图，EQDB于点Q，DEQ沿EQ翻折得到DEQ，EDQBDF，RtDEQRtDBF，即，解得DQ，BQBDDQ2；如解图，EDBD于H，EDHBDF，RtDEHRtDBF，即，解得DH，EH，在RtQHD中，设QHx，DQDQDHHQx，DHDEEHDEEH2，x2(2)2(x)2，解得x1，BQBDDQBD(DHHQ)BDDHHQ211；如解图，DQBC于点G，作EIBD于点I，由得EI，BI，第4题解图第4题解图DEQ沿边EQ翻折得到DEQ，EQDEQD， EGEI，BE2， BGBEEG2，GBQIBE，RtBQGRtBEI，即， BQ，综上所述，当BQ为或1或时，将DEQ沿边EQ翻折得到DEQ，使得DEQ与BEQ的重叠部分图形为直角三角形例5、已知如图，抛物线yx22x与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点E.(1)如图，连接BD，试求出直线BD的解析式；(2)如图，点P为抛物线第一象限上一动点，连接BP，CP，AC，当四边形PBAC的面积最大时，线段CP交BD于点F，求此时DFBF的值；(3)如图，已知点K(0，2)，连接BK，将BOK沿着y轴上下平移(包括BOK)，在平移的过程中直线BK交x轴于点M，交y轴于点N，则在抛物线的对称轴上是否存在点G，使得GMN是以MN为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由第5题图【解析】 解：(1)在yx22x中，令y0，则x22x0，解得x11，x25，则点A的坐标是(1，0)，点B的坐标是(5，0)抛物线yx22x的对称轴是x2，把x2代入解析式得y，则点D的坐标是(2，)设直线BD的解析式是ykxb(k0)，将B、D两点坐标代入得： 解得直线BD的解析式是yx.(2)连接BC，如解图，yx22x中，令x0，则y，则点C的坐标是(0，)设直线BC的解析式ymxn(m0)，则解得则直线BC的解析式是yx.S四边形PBACSABCSBCP，SABCABOC6，BCP面积最大时，S四边形PBAC有最大值，设与BC平行且与抛物线只有一个公共点的直线的解析式是yxd.则x22xxd，即x25x(2d5)0，当0时，x，代入yx22x中得：y，则点P的坐标是(，)又点C的坐标是(0，)，设直线CP的解析式是yexf，则解得则直线CP的解析式是yx.根据题意得解得则点F的坐标是(，)DF，BF，则.(3)存在，点G的坐标为(2，)，(2，)，(2，3)或(2，7)【解法提示】假设存在设BK的解析式是ykxb(k0)，将点B(5，0)，K(0，2)代入得 解得直线BK的解析式是yx2，设直线MN的解析式为yxm，当y0时，xm，即M(m，0)，当x0时，ym，即N(0，m)GMN是以MN为直角边的等腰直角三角形分两种情况：MGMN，GMN90，如解图.第5题解图 第5题解图 第5题解图 第5题解图MGEGME90，GMEOMN90，MGEOMN.在GME和MNO中GMEMNO(AAS)，MEON，EGOM，当点M在点E右侧时，MEm2，ONm，OMm，m2m，解得m.EGOMm，G点的坐标为(2，); 当M在线段OE上时，如解图，ME2m，ONm，EGOMm，2mm，解得m， EGOMm，点G的坐标为(2，)；当M在点O左侧时，易得MNMG，此时不存在点G使GMN为等腰直角三角形；NGMN，GNM90，过点N作NF抛物线对称轴于点F，如解图所示ONGMNO90，ONGGNF90，MNOGNF.在GNF和MNO中，GNFMNO(AAS)，NFON，FGOM，当点N在y轴正半轴时，ONm，OMm，2m.FGOMm5，EGFGEFFGON3，G点的坐标为(2，3)；当点N在y轴负半轴时，如解图，ONm，OMm，NF2，第5题解图第6题解图m2，OM(2)5(此时M与B重合，N与K重合)，EGEFFGONOM7，点G的坐标为(2，7)综上可知：在抛物线的对称轴上存在点G，使得GMN是以MN为直角边的等腰直角三角形，点G的坐标为(2，)，(2，)，(2，3)或(2，7)例6、如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E.(1)判断ABC的形状，并说明理由；(2)经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当PCD的面积最大时，点Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长；(3)如图，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E，点A的对应点为点A.将AOC绕点O顺时针旋转至A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A，C1E，AC1E是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点E的坐标；若不能，请说明理由第6题图 解：(1)ABC为直角三角形，理由如下：在抛物线yx2x3中，令y0，得x2x30，解得x1，x23，故A(，0)，B(3，0)令x0，得y3，故C(0，3)，AC212，BC236，AB248，AC2BC2AB2，ABC为直角三角形(2)设直线BC的解析式为ykxb，将B(3，0)，C(0，3)代入，得解得直线BC的解析式为yx3，如解图，过点P作PRy轴交BC于点R，设P(t，t2t3)，则R(t，t3)，PRt2t3(t3)t2t，则SPCDSPRCSPRDPRxR(xRxD)t2t(t)2， 0t3，当t时，SPCD取得最大值，此时P(，)，将P(，)向左平移个单位，得P(，)，连接AP交y轴于点N，过点N作NM抛物线对称轴于点M，连接PM，点Q沿PMNA运动，所走的路径最短，即最短路径的长为PMMNAN.设直线AP的解析式为ymxn，将A(，0)，P(，)代入，得： 解得直线AP的解析式为yx， 令x0，得y，故N(0，)，AP， MN，点Q经过的最短路径等于PMMNANAPMN.(3)CAO60，OAOA1，AA1O为等边三角形，C1OB30，C1(，)， E(，4)，A(，0)，直线AE的解析式为：yx2，设A(t，t2)，则E(t2，t6)，AE228，AC12t2t7，EC12t27t21，当AC1EC1时，t2t7t27t21，解得t，故E(，5)；当AEAC1时，28t2t7，解得t，t，t，故E(，7)；当AEEC1时，t27t2128，解得t，t，t，故E(，3)综上，所有符合条件的点E的坐标为(，5)或(，7)或(，3)17