2020年中考数学二轮复习 压轴专题 二次函数（含解析）

二次函数1如图，平面直角坐标系中，点A、点B在x轴上（点A在点B的左侧），点C在第一象限，满足ACB为直角，且恰使OCAOBC，抛物线yax28ax+12a（a0）经过A、B、C三点（1）求线段OB、OC的长（2）求点C的坐标及该抛物线的函数关系式；（3）在x轴上是否存在点P，使BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P点的坐标：若不存在，请说明理由解：（1）yax28ax+12aa（x6）（x2），故OA2，OB6，OCAOBC，则，即：OC2OAOB，解得：CO2；（2）过点C作CDx轴于点D，OCAOBC，则，设AC2x，则BC2x，而AB4，故16（2x）2+（2x）2，解得：x1，故AC2，BC2，SABCABCDACBC，解得：CD，故OD3，故点C（3，）；将点C的坐标代入抛物线表达式并解得：a，故抛物线的表达式为：yx2+x4；（3）设点P（m，0），而点B、C的坐标分别为：（6，0）、（3，）；则BC212，PB2（m6）2，PC2（m3）2+3，当BCPB时，12（m6）2，解得：m6；当BCPC时，同理可得：m6（舍去）或0；当PBPC时，同理可得：m4，综上点P的坐标为：（6，0）或（0，0）或（4，0）2直线yx+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yx2+bx+c经过A、B两点（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是直线AB上方抛物线上一点；当PBA的面积最大时，求点P的坐标；在的条件下，点P关于抛物线对称轴的对称点为Q，在直线AB上是否存在点M，使得直线QM与直线BA的夹角是QAB的两倍？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）直线yx+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，2），将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：yx2+x+2；（2）过点P作y轴的平行线交BC于点N，设P（m，m2+m+2），点N（m，m+2），则：PBA的面积SPNOA4（m2+m+2+m2）m2+4m，当m2时，S最大，此时，点P（2，5）；点P（2，5），则点Q（，5），设点M（a，a+2）；（）若：QM1B2QAM1，则QM1AM1，则（a）2+（a3）2（a4）2+（a+2）2，解得：a，故点M1（，）；（）若QM2B2QAM1，则QM2BQM1B，QM1QM2，作QHAB于H，BQ的延长线交x轴于点N，则tanBAO，则tanQNA2，故直线QH表达式中的k为2，设直线QH的表达式为：y2x+b，将点Q的坐标代入上式并解得：b2，故直线QH的表达式为：y2x+2，故H（0，2）与B重合，M2、M1关于B对称，M2（，）；综上，点M的坐标为：（，）或（，）3如图已知直线yx+与抛物线yax2+bx+c相交于A（1，0），B（4，m）两点，抛物线yax2+bx+c交y轴于点C（0，），交x轴正半轴于D点，抛物线的顶点为M（1）求抛物线的解析式；（2）设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当PAB的面积最大时，求PAB的面积及点P的坐标；（3）若点Q为x轴上一动点，点N在抛物线上且位于其对称轴右侧，当QMN与MAD相似时，求N点的坐标解：（1）将点B（4，m）代入yx+，m，将点A（1，0），B（4，），C（0，）代入yax2+bx+c，解得a，b1，c，函数解析式为yx2x；（2）设P（n， n2n），则经过点P且与直线yx+垂直的直线解析式为y2x+n2+n，直线yx+与其垂线的交点G（n2+n， n2+n+），GP（n2+3n+4），当n时，GP最大，此时PAB的面积最大，P（，），AB，PG，PAB的面积；（3）M（1，2），A（1，0），D（3，0），AM2，AB4，MD2，MAD是等腰直角三角形，QMN与MAD相似，QMN是等腰直角三角形，设N（t， t2t）如图1，当MQQN时，N（3，0）；如图2，当QNMN时，过点N作NRx轴，过点M作MSRN交于点S，QNMN，QNM90，MNSNMS（AAS）t1t2+t+，t，t1，t，N（，1）；如图3，当QNMQ时，过点Q作x轴的垂线，过点N作NSx轴，过点N作NRx轴，与过M点的垂线分别交于点S、R；QNMQ，MQN90，MQRQNS（AAS），SQQR2，t+21+t2t，t5，N（5，6）；如图4，当MNNQ时，过点M作MRx轴，过点Q作QSx轴，过点N作x轴的平行线，与两垂线交于点R、S；QNMN，MNQ90，MNRNQS（AAS），SQRN，t2tt1，t2，t1，t2+，N（2+，1+）；综上所述：N（3，0）或N（2+，1+）或N（5，6）或N（，1）4如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）抛物线的解析式为yax2+bx（1）如图1，若抛物线经过A，D两点，直接写出A点的坐标（4，8）；抛物线的对称轴为直线6；（2）如图2：若抛物线经过A、C两点，求抛物线的表达式若点P为线段AB上一动点，过点P作PEAB交AC于点E，过点E作EFAD于点F交抛物线于点G当线段EG最长时，求点E的坐标；（3）若a1，且抛物线与矩形ABCD没有公共点，直接写出b的取值范围解：（1）点A的坐标为：（4，8）；函数的对称轴为：x（4+8）6；故答案为：（4，8）；6；（2）将点A、C的坐标代入抛物线表达式并解得：a，b4，故抛物线的表达式为：yx2+4x；由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y2x+16；设点E（x，2x+16），则点G（x，x2+4x），EGx2+4x（2x+16）x2+6x16，当x6时，EG由最大值为：2，此时点E（2，4）；（3）若a1，则抛物线的表达式为：yx2+bx，当抛物线过点B和点D时，抛物线与矩形有一个交点，将点B的坐标代入抛物线表达式得：016+4b，解得：b4，将点D的坐标代入抛物线表达式并解得：b9，故b的取值范围为：b4或b95如图，直线yx1与抛物线yx2+6x5相交于A、D两点抛物线的顶点为C，连结AC（1）求A，D两点的坐标；（2）点P为该抛物线上一动点（与点A、D不重合），连接PA、PD当点P的横坐标为2时，求PAD的面积；当PDACAD时，直接写出点P的坐标解：（1）联立方程组，解得，A（1，0），D（4，3），（2）过P作PEx轴，与AD相交于点E，点P的横坐标为2，P（2，3），E（2，1），PE312，3；过点D作DPAC，与抛物线交于点P，则PDACAD，yx2+6x5（x3）2+4，C（3，4），设AC的解析式为：ykx+b（k0），A（1，0），AC的解析式为：y2x2，设DE的解析式为：y2x+n，把D（4，3）代入，得38+n，n5，DE的解析式为：y2x5，联立方程组，解得，此时P（0，5），当P点在直线AD上方时，延长DP，与y轴交于点F，过F作FGAC，FG与AD交于点G，则FGDCADPDA，FGFD，设F（0，m），AC的解析式为：y2x2，FG的解析式为：y2x+m，联立方程组，解得，G（m1，m2），FG，FD，FGFD，m5或1，F在AD上方，m1，m1，F（0，1），设DF的解析式为：yqx+1（q0），把D（4，3）代入，得4q+13，q，DF的解析式为：yx+1，联立方程组，此时P点的坐标为，综上，P点的坐标为（0，5）或6综合与探究如图，抛物线yax2+bx+c（a0）经过点A、B、C，已知点C（0，4），AOCCOB，且，点P为抛物线上一点（异于A，B）（1）求抛物线和直线AC的表达式（2）若点P是直线AC上方抛物线上的点，过点P作PFAB，与AC交于点E，垂足为F当PEEF时，求点P的坐标（3）若点M为x轴上一动点，是否存在点P，使得由B，C，P，M四点组成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1），则OA4OC8，故点A（8，0）；AOCCOB，则ABC为直角三角形，则CO2OAOB，解得：OB2，故点B（2，0）；则抛物线的表达式为：ya（x2）（x+8），将点C的坐标代入上式并解得：a，故抛物线的表达式为：yx2x+4；由点A、C的坐标可得直线AC的表达式为：yx+4；（2）设点P（x，x2x+4），则点E（x， x+4），PEEF，即x2x+4x4x+4；解得：x8（舍去）或2，故点P（2，6）；（3）设点P（m，n），nm2m+4，点M（s，0），而点B、C的坐标分别为：（2，0）、（0，4）；当BC是边时，点B向左平移2个单位向上平移4个单位得到C，同样点P（M）向左平移2个单位向上平移4个单位得到M（P），即m2s，n+40或m+2s，n40，解得：m6或3，故点P的坐标为：（6，4）或（3，4）或（3，4）；当BC是对角线时，由中点公式得：2m+s，n4，故点P（6，4）；综上，点P的坐标为：（6，4）或（3，4）或（3，4）7如图1，抛物线yx2+mx+4m与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），与y轴交于点C，且x1，x2满足x12+x2220，若对称轴在y轴的右侧（1）求抛物线的解析式（2）如图2，若点P为线段AB上的一动点（不与A、B重合），分别以AP、BP为斜边，在直线AB的同侧作等腰直角三角形APM和BPN，试确定MPN最大时P点的坐标（3）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当ax1a+2，x2时，均有y1y2，求a的取值范围解：（1）x1+x22m，x1x28m，则x12+x22（x1+x2）22x1x220，即（2m）216m20，解得：m5（舍去）或1；故抛物线的表达式为：yx2x4；（2）令y0，则x2或4，故点A、B的坐标分别为：（2，0）、（4，0），则AB6；设：APa，则PN6a，MPN180MPANPB90；SMPNPNPMa（6a）a（6a）（a3）2+；当a3时，SMPN最大，此时OP1，故点P（1，0）；（3）函数的对称轴为x1，如图，x2.5和x关于函数对称轴对称，纵坐标均为，由图象看，a且a+2，解得：a8如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B，C，D的坐标分别（1，0），（3，0），（3，4），以A为顶点的抛物线yax2+bx+c过点C动点P从点A出发，以每秒个单位的速度沿线段AD向点D匀速运动，过点P作PEx轴，交对角线AC于点N设点P运动的时间为t（秒）（1）求抛物线的解析式；（2）若PN分ACD的面积为1：2的两部分，求t的值；（3）若动点P从A出发的同时，点Q从C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D匀速运动，点H为线段PE上一点若以C，Q，N，H为顶点的四边形为菱形，求t的值解：（1）四边形ABCD为矩形，且B（1，0），C（3，0），D（3，4），A（1，4），设抛物线的解析式为ya（x1）2+4，将C（3，0）代入ya（x1）2+4，得04a+4，解得a1，抛物线的解析式为y（x1）2+4x2+2x+3；（2）PEx轴，DCx轴，PEDC，APNADC，PN分ACD的面积为1：2的两部分，或，当时，AD2，AP，t的值为2；当时，AD2，AP，t的值为2，综上所述，t的值为或；（3）如图21，当CN为菱形的对角线时，点P，N的横坐标均为，设直线AC的解析式为ykx+b，将A（1，4），C（3，0）代入ykx+b，得，解得，直线AC的表达式为y2x+6，将点N的横坐标代入y2x+6，得，即EN4t，由菱形CQNH可得，CQNHtCH，可得EH（4t）t42t，在RtCHE中，CE2+EH2CH2，解得，t1，t24（舍）；如图22，当CN为菱形的边时，由菱形CQHN可得，CQCNt，在RtCNE中，NE2+CE2CN2，（4t）2+（2t）2t2，解得，t1208，t220+8（舍）；综上所述，t的值为或9如图1，过原点的抛物线与x轴交于另一点A，抛物线顶点C的坐标为，其对称轴交x轴于点B（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右侧的一个动点，求使ACD面积最大时点D的坐标；（3）在对称轴上是否存在点P，使得点A关于直线OP的对称点A满足以点O、A、C、A为顶点的四边形为菱形若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）设抛物线解析式为ya（xh）2+k，（a0）顶点，又图象过原点，解出：，即；（2）令y0，即，解得：x10，x24，A（4，0），设直线AC的解析式为ykx+b，将点A（4，0），代入，得，解得，直线AC的解析式为yx+4，过点D作DFy轴交AC于点F，设，则，当m3时，SACD有最大值，当m3时，；（3）CBOCBA90，OBAB2，OAOCAC4，AOC为等边三角形，如图31，当点P在C时，OAACCAOA，四边形ACAO是菱形，；作点C关于x轴的对称点C，当点A与点C重合时，OCACAAOA，四边形OCAA是菱形，点P是AOA的角平分线与对称轴的交点，记为P2，OBP290，OB2，OP22BP2，OBP290，OB2，OP22BP2，设BP2x，OP22x，又，（2x）222+x2，解得或，；综上所述，点P的坐标为或10已知二次函数与x轴交于A、B（A在B的左侧）与y轴交于点C，连接AC、BC（1）如图1，点P是直线BC上方抛物线上一点，当PBC面积最大时，点M、N分别为x、y轴上的动点，连接PM、PN、MN，求PMN的周长最小值；（2）如图2，点C关于x轴的对称点为点E，将抛物线沿射线AE的方向平移得到新的拋物线y，使得y交x轴于点H、B（H在B的左侧）将CHB绕点H顺时针旋转90至CHB抛物线y的对称轴上有一动点S，坐标系内是否存在一点K，使得以O、C、K、S为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）如图1，A（2，0），B（8，0），C（0，4），直线BC的解析式为，过点P作y轴平行线，交线段BC于点Q，设，0m8，P（4，6）作P点关于y轴的对称点P1，P点关于x轴的对称点P2，连接P1P2交x轴、y轴分别为M，N，此时PMN的周长最小，其周长等于线段P1P2的长；P1（4，6），P2（4，6），（2）如图2中，E（0，4），平移后的抛物线经过E，B，抛物线的解析式为yx2+bx4，把B（8，0）代入得到b4，平移后的抛物线的解析式为yx+4x4（x2）（x8），令y0，得到x2或8，H（2，0），CHB绕点H顺时针旋转90至CHB，C（6，2），当OCCS时，可得菱形OCS1K1，菱形OCS2K2，OCCS2，可得S1（5，2），S2（5，2+），点C向左平移一个单位，向下平移得到S1，点O向左平移一个单位，向下平移个单位得到K1，K1（1，），同法可得K2（1，），当OCOS时，可得菱形OCK3S3，菱形OCK4S4，同法可得K3（11，2），K4（11，2+），当OC是菱形的对角线时，设S5（5，m），则有52+m212+（2m）2，解得m5，S5（5，5），点O向右平移5个单位，向下平移5个单位得到S5，C向上平移5个单位，向左平移5个单位得到K5，K5（1，7），综上所述，满足条件的点K的坐标为（1，）或（1，）或（11，2）或（11，2+）或（1，7）11如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2+bx+2（a0）与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（1）求该抛物线的解析式；（2）如图，若点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（0m3），连接CD、BD、BC、AC，当BCD的面积等于AOC面积的2倍时，求m的值；（3）若点N为抛物线对称轴上一点，请在图中探究抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）把A（1，0），B（3，0）代入yax2+bx+2中，得：，解得：，抛物线解析式为；（2）过点D作y轴平行线交BC于点E，把x0代入中，得：y2，C点坐标是（0，2），又B（3，0）直线BC的解析式为，由SBCD2SAOC得：，整理得：m23m+20解得：m11，m220m3m的值为1或2；（3）存在，理由：设：点M的坐标为：（m，n），nx2+x+2，点N（1，s），点B（3，0）、C（0，2），当BC是平行四边形的边时，当点C向右平移3个单位，向下平移2个单位得到B，同样点M（N）向右平移3个单位，向下平移2个单位N（M），故：m+31，n2s或m31，n+2s，解得：m2或4，故点M坐标为：（2，）或（4，）；当BC为对角线时，由中点公式得：m+13，n+32，解得：m2，故点M（2，2）；综上，M的坐标为：（2，2）或（2，）或（4，）12已知抛物线yax22ax+3与x轴交于点A、B（A左B右），且AB4，与y轴交于C点（1）求抛物线的解析式；（2）如图，证明：对于任意给定的一点P（0，b）（b3），存在过点P的一条直线交抛物线于M、N两点，使得PMMN成立；（3）将该抛物线在0x4间的部分记为图象G，将图象G在直线yt上方的部分沿yt翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为m，最小值为n，若mn6，求t的取值范围解：（1）抛物线yax22ax+3的对称轴为x1，又AB4，由对称性得A（1，0）、B（3，0） 把A（1，0）代入yax22ax+3，得a+2a+30，a1抛物线的解析式为yx2+2x+3（2）如图，过M作GHx轴，PGx轴，NHx轴，由PMMN，则PMGNMH（AAS），PGNH，MGMH设M（m，m2+2m+3），则N（2m，4m2+4m+3），P（0，b），GMMH，yG+yH2yM，即b+（4m2+4m+3）2（m2+2m+3），2m2b3，b3，关于m的方程总有两个不相等的实数根，此即说明了点M、N存在，并使得PMMN证毕；（3）图象翻折前后如右图所示，其顶点分别为D（1，4）、D（1，2t4）当D在点H（4，5）上方时，2t45，t，此时，mt，n5，mn6，t+56，t1，t1；当点D在点H（4，5）下方时，同理可得：t，mt，n2t4，由mn6，得t（2t4）6，t2，2t综上所述，t的取值范围为：2t113如图，抛物线yax2+bx2的对称轴是直线x1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PDx轴于点D，交直线BC于点E（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD4PE时：求点D、P、E的坐标；求四边形POBE的面积（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）抛物线yax2+bx2的对称轴是直线x1，A（2，0）在抛物线上，x1，解得：a，b，抛物线解析式为yx2x2；（2）令yx2x20，（x4）（x+2）0，解得：x12，x24，当x0时，y2，由B（4，0），C（0，2），得，直线BC的表达式为：yx2设D（m，0），DPy轴，E（m， m2），P（m， m2m2），OD4PE，m4（m2m2m+2），m5，m0（舍去），D（5，0），P（5，），E（5，），四边形POBE的面积SOPDSEBD51；（3）存在，设M（n， n2），以BD为对角线，如图1，四边形BNDM是菱形，MN垂直平分BD，n4+，M（，），M，N关于x轴对称，N（，）；以BD为边，如图2，四边形BDMN是菱形，MNBD，MNBDMD1，过M作MHx轴于H，MH2+DH2DM2，即（n2）2+（n5）212，n14（不合题意），n25.6，N（4.6，），同理（n2）2+（4n）21，n14+（不合题意，舍去），n24，N（5，），以BD为边，如图3，过M作MHx轴于H，MH2+BH2BM2，即（n2）2+（n4）212，n14+，n24（不合题意，舍去），N（5+，），综上所述，点N坐标为：（）或 （，）或（5，）或 （5+，）14如图，矩形OABC中，O为原点，点A在y轴上，点C在x轴上，点B的坐标为（4，3），抛物线yx2+bx+c与y轴交于点A，与直线AB交于点D，与x轴交于C，E两点（1）求抛物线的表达式；（2）点P从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，与此同时，点Q从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动连接DP、DQ、PQ，设运动时间为t（秒）当t为何值时，DPQ的面积最小？是否存在某一时刻t，使DPQ为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由解：（1）点A（0，3），点C（4，0），将点A、C的坐标代入抛物线表达式，解得：b，c3，故抛物线的表达式为：yx2+x+3；（2）yx2+x+3（x4）（x+2），故点E（2，0）；抛物线的对称轴为：x1，则点D（2，3），由题意得：点Q（t，3t），点P（4，t），DPQ的面积SABC（SADQ+SPQC+SBPD）34 2t+2（3t）+（5）tt22t0，故DPQ的面积有最小值，此时，t；点D（2，3），点Q（t，3t），点P（4，t），（）当PQ是斜边时，如图1，过点Q作QMAB于点M，则MQt，MD2t，BD422，PB3t，则tanMQDtanBDP，即，解得：t（舍去）；（）当PD为斜边时，过点Q作y轴的平行线交AB于点N，交过点P于x轴的平行线于点M，则ND2t，QNt，MP4t，QM3tt32t，同理可得：，解得：t或；（）当QD为斜边时，同理可得：故t；综上，t或或或15如图，已知抛物线yax2+bx+3经过点A（1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，连接BD，点P是线段BD上的一个动点（不与B、D）重合（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）过点P作PEy轴于点E，求PBE面积的最大值及取得最大值时P点的坐标；（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由解：（1）二次函数yax2+bx+3经过点A（1，0）、B（3，0）所以二次函数的解析式为：yx2+2x+3yx2+2x+3（x1）2+4D的坐标为（1，4）；（2）设BD的解析式为ykx+b过点B（3，0），D（1，4）解得BD的解析式为y2x+6设P（m，2m+6），PEy轴于点E，PEm，BPE的PE边上的高h2m+6，SBPEPEhm（2m+6）m2+3m，a10，当m时BPE的面积取得最大值为，当m时，y2+63，P的坐标是（，3）；（3）设点M（s，0），点N（m，n），nm2+2m+3，当BP是边时，点P向右平移个单位向下平移3个单位得到B，同理点M（N）向右平移个单位向下平移3个单位得到N（M），即sm，03n，解得：s或或；当PB为对角线时，m+s3+，n3，解得：s或，故：M点的坐标为：；