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二次函数专题考点一：二次函数的解析式及其求解一般的，形如的函数叫做二次函数，其中，x是自变量，分别为二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。（1）一般式：。已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.（2）顶点式：。已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.（4）对称点式：已知图像上有两个关于y轴对称的点，那么函数的方程可以选用对称点式，代入已知的另外的点就可以求出函数的方程来了。例题1：根据题意，求解二次函数的解析式。（1）求过点A(1,0)，B(2,3)，C(3,1)的抛物线的方程（2）已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式（3）已知二次函数的顶点坐标为（3，2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。（4）已知二次方程的两个根是-1和2，而且函数过点（3,4），求函数的解析式。（5）已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式.（6）已知二次函数当x2时有最大值3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。变式1：（1）、已知二次函数的图像经过点A(2,1),B(3,4),且与y轴交点为（0，7），则求函数的解析式（2）已知过点（2，0），（3，5）的抛物线与直线相交与x轴上，求二次函数的解析式（3）已知二次函数，其顶点为（2,2)，图象在x轴截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。（4）已知函数的过点(1,3),且函数的对应方程的根是2和4，求方程的解（5）抛物线的对称轴是直线（ ）A、 B、 C、D、考点二：二次函数的基本图像（1）二次函数的图像：一般地，抛物线的对称轴是y轴，顶点是原点。当a0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当a0时，开口向上；当a0时x的取值范围。例题2.3：关于x的二次函数y=x22mx+m2和一次函数y=mx+n（m0），在同一坐标系中的大致图象正确的是（ ）变式2.3，函数y=ax1与y=ax2bx1（a0）的图象可能是（ ）A、 B、 C、 D、考点三：二次函数的增减性及其最值（1）开口向上的二次函数，在对称轴左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；在对称轴处取到最小值，越靠近对称轴，函数值越小。（2）开口向下的二次函数，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减小；在对称轴处取到最大值，越靠近对称轴，函数值越大。例题,3.1：二次函数的图象如图2所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）A、 B、 C、 D、不能确定变式3.1：（1）设A是抛物线上的三点，则的大小关系为（ ）A、 B、 C、 D、(2)已知二次函数yx 27x，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0x1x2x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是( )A、y1y2y3 B、 y1y2y3 C、y2y3y1 D、 y2y3y1考点四：二次函数中三大参数的和函数图像的关系（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样。（2）和共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线的对称轴是直线,故：时，对称轴为轴；(即、同号)时，对称轴在轴左侧；(即、异号)时,对称轴在轴右侧。（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置。当时，抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：，抛物线经过原点； ,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴。以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立；如抛物线的对称轴在轴右侧，则 。例题4.1：已知二次函数（）的图象如图4所示，有下列四个结论：，其中正确的个数有（ ）A、1个B、2个C、3个D、4个变式4.1：已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：；abc0；8a+c0；9a+3b+c0。其中，正确结论的个数是( )。A、1 B、2 C、3 D、4变式4.2：.已知二次函数(其中，)，关于这个二次函数的图象有如下说法：图象的开口一定向上；图象的顶点一定在第四象限；图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧。以上说法正确的有( ) A、0个B、1个 C、2个 D、3个变式4.3; 已知二次函数的图象如图所示，则下列5个代数式：ac，a+b+c，4a-2b+c，2a+b，2a-b中，其值大于0的个数为( )A、2 B、3 C、4D、5变式4.1 变式4.2考点五：二次函数和不等式、方程的结合（1）二次函数的零点的个数以及求解：通过判断的正负可以得到二次函数零点的个数，注意，前提是需要注意一个函数是否为二次函数，需要判断二次项次数是否为零，其中。（2）二次函数和不等式的结合：在x轴上方，则函数大于零；在x轴下方，则函数小于零；在直线上方，说明；在直线下方，则说明。 例题5.1：二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则m的最大值为（ ）A、 -3 B、3 C、-5 D、9 变式5.1、对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数(m为实数)的零点的个数是( )A、1 B、2 C、0 D、不能确定例题5.2：如图，已知抛物线y1=2x22，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2.若y1y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M= y1=y2。例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1y2，此时M=0。下列判断： 当x0时，y1y2； 当x0时，x值越大，M值越小；使得M大于2的x值不存在； 使得M=1的x值是 或 .其中正确的是 ( )A、 B、 C、 D、xyOy2y1变式5.2：（1）设二次函数，当时，总有；当时，总有。那么的取值范围是A、 B、 C、 D、（2）、如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是A、 B、 C、D、（3）如图所示是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线x1，若其与x轴一交点为(3，0)，则由图象可知，不等式的解集是 。考点六：二次函数的基本应用例题6.1：某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。（1）请建立销售价格y（元）与周次x之间的函数关系；（2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z（元）与周次x之间的关系为， 1 x 11，且x为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？并求最大利润为多少？变式6.1、新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线。由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线的一部分，且点A，B，C的横坐标分别为4，10，12（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？备用图例题6.2：如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米. 现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求这条抛物线的解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？变式6.2、一座拱桥的轮廓是抛物线型（如左图所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m。（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如右图所示），求抛物线的解析式；（2）求支柱的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计)）？请说明你的理由。考点七：二次函数中的面积问题例题7.1：（1）如图所示，在一个直角MBN的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=x m，长方形的面积为y m2，要使长方形的面积最大，其边长x应为（ ）A、m B、6 m C、15 m D、m（2）：如图，O的半径为2，C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=-x2的图象，则阴影部分的面积是 。变式7.1：如图，直线分别与轴、轴交于两点，直线与交于点，与过点且平行于轴的直线交于点点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴向左运动过点作轴的垂线，分别交直线于两点，以为边向右作正方形，设正方形与重叠部分（阴影部分）的面积为（平方单位）点的运动时间为（秒）（1）求点的坐标；（2）当时，求与之间的函数关系式；（3）求（2）中的最大值；（4）当时，直接写出点在正方形内部时的取值范围yxDNMQBCOPEA变式7.2、如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为_变式7.3、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，）（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标； （2）在抛物线上求点P，使SPOA=2SAOB；考点八：二次函数与圆的综合例题8.1：如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于四点。抛物线与轴交于点，与直线交于点，且分别与圆相切于点和点。（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交轴于点，连结，并延长交圆于，求的长；（3）过点作圆的切线交的延长线于点，判断点是否在抛物线上，说明理由。OxyNCDEFBMA变式8.1：如图，已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、，与轴的交点为设的外接圆的圆心为点。（1）求与轴的另一个交点D的坐标；（2）如果恰好为的直径，且的面积等于，求和的值。考点九、二次函数中的运动性问题题型1、动点问题注意动的点以及其所构成的位置关系（如等腰三角形，直角三角形，平行四边形，）。一般而言会有两个到三个点运动。此时需要我们注意这几个点之间的关系以及各个点之间的运动的不同。例题9.1：在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点.（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标。变式9.11：如图，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D。（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF/DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m。用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？设BCF的面积为S，求S与m的函数关系。变式9.12：如图，已知ABC的三个顶点坐标分别为（1）求经过A、B、C三点抛物线的解析式；（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE；（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与ABC相似吗？请说明理由。G题型2、折叠、旋转、平移问题例题9.2：已知：如图，抛物线与轴交于点A（，0）和点B，将抛物线沿轴向上翻折，顶点P落在点P（1，3）处。（1）求原抛物线的解析式；（2）学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P作轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比（约等于0.618）。请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：，结果可保留根号）。变式9.21：二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象所示，若ax2+bx+c=k（k0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）A、 k-3 C、 k3变式9.22：正方形在如图所示的平面直角坐标系中，在轴正半轴上，在轴的负半轴上，交轴正半轴于交轴负半轴于，抛物线过三点（1）求抛物线的解析式； （2）是抛物线上间的一点，过点作平行于轴的直线交边于，交所在直线于，若，则判断四边形的形状；（3）在射线上是否存在动点，在射线上是否存在动点，使得且，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由。15
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