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二次函数一、选择题1.二次函数y=-x2+2x+4的最大值为()A.3B.4C.5D.6答案Cy=-x2+2x+4=-(x-1)2+5,a=-10,当x=1时,y有最大值,最大值为5,故选C.2.将抛物线y=-2x2+1向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为()A.y=-2(x+1)2B.y=-2(x+1)2+2C.y=-2(x-1)2+2D.y=-2(x-1)2+1答案C将抛物线y=-2x2+1向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为y=-2(x-1)2+2.故选C.3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的自变量x与因变量y的部分图象如图2-7-1所示,当-5x0时,下列说法正确的是()图2-7-1A.有最小值-5,最大值0B.有最小值-3,最大值6C.有最小值0,最大值6D.有最小值2,最大值6答案B根据题中图象知,当-5x0时,图象的最高点的坐标是(-2,6),最低点的坐标是(-5,-3),所以当x=-2时,y有最大值6;当x=-5时,y有最小值-3.二、填空题4.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的x与y的部分对应值如下表:x-3-20135y70-8-9-57该函数图象的对称轴为直线x=,x=2对应的函数值y=.答案1;-8解析根据题表知,点(-3,7)与点(5,7)关于对称轴对称,从而可确定抛物线的对称轴是直线x=1,根据抛物线上关于对称轴对称的一对对称点的纵坐标相等,得x=2对应的函数值y=-8.5.如图2-7-2,四边形ABCD是矩形,A、B两点在x轴的正半轴上,C、D两点在抛物线y=-x2+6x上,设OA=m(0m3),矩形ABCD的周长为l,则l与m之间的函数关系式为.图2-7-2答案l=-2m2+8m+12(0m3)解析由OA=m可知点D的横坐标为m,点D在抛物线y=-x2+6x上,点D的纵坐标为-m2+6m,即AD=-m2+6m.A(m,0),且抛物线的对称轴为直线x=3,根据抛物线的对称性可知B(6-m,0),AB=6-2m,矩形ABCD的周长l=2(AD+AB)=2(-m2+6m+6-2m)=-2m2+8m+12(0m3).5.如图2-7-3,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=x2-2x+2上运动,过点A作ACx轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD,连接BD.则对角线BD的最小值为.图2-7-3答案1解析四边形ABCD是矩形,AC=BD.当A在抛物线的顶点处时,AC最短,此时A(1,1),AC=1,BD=1,即对角线BD的最小值为1.三、解答题6.二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(4,3),(3,0).(1)求b、c的值;(2)求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴;(3)在所给的坐标系(图2-7-4)中画出二次函数y=x2+bx+c的图象.图2-7-4解析(1)由题意可得解得(2)由(1)可知二次函数的表达式是y=x2-4x+3=(x-2)2-1,其图象的顶点坐标是(2,-1),对称轴是直线x=2.(3)画出二次函数的图象如图所示.7.如图2-7-5,抛物线与直线y=x+3分别交于x轴和y轴上同一点,交点分别是点A和点C,且抛物线的对称轴为直线x=-2.(1)求抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标;(2)试确定抛物线的表达式;(3)观察图象,请直接写出使二次函数的值小于一次函数的值的自变量x的取值范围.图2-7-5解析(1)点A在直线y=x+3上,当y=0时,x=-3,点A的坐标为(-3,0).抛物线的对称轴为直线x=-2,点A与点B关于直线x=-2对称,点B的坐标为(-1,0).(2)设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c(a0).当x=0时,y=x+3=3,点C的坐标为(0,3).抛物线经过点C(0,3)和点A(-3,0),且抛物线的对称轴是直线x=-2,解得抛物线的表达式为y=x2+4x+3.(也可将点A、点B、点C的坐标依次代入表达式中求出a、b、c的值)(3)观察图象可知,当-3x0时,二次函数的值小于一次函数的值.8.某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台.空调的采购单价y1(元)与采购量x1(台)满足y1=-20x1+1 500(0x120,x1为整数);冰箱的采购单价y2(元)与采购量x2(台)满足y2=-10x2+1 300(09时,W随着x的增大而增大,因为11x15,所以当x=15时,W最大值=30(15-9)2+9 570=10 650.所以采购空调15台时,获得的总利润最大,最大利润为10 650 元.9.如图2-7-6,在平面直角坐标系内,A(0,0),B(12,0),C(12,6),D(0,6).点Q沿DA边从点D开始,向点A以1单位/秒的速度移动,点P沿AB边从点A开始,向点B以2单位/秒的速度移动,假设P、Q同时出发,t(单位:秒)表示移动的时间(0t6).图2-7-6(1)写出PQA的面积S与t的函数表达式;(2)当t为何值时,PQC的面积最小?最小值是多少?解析(1)AQ=6-t,AP=2t,S=(6-t)2t=-t2+6t(0t6).(2)SPQC=S梯形ABCQ-SPBC-SAPQ=(6-t+6)12-(12-2t)6-(6-t)2t=t2-6t+36=(t-3)2+27.0t6,当t=3时,SPQC有最小值,最小值为27.10.一座拱桥的轮廓是抛物线型,如图2-7-7,拱高6 m,跨度为20 m,相邻两支柱间的距离均为5 m.(1)建立适当的直角坐标系,求抛物线的表达式;(2)求支柱EF的长度;(3)拱桥下面是双向行车道(正中间是一条宽为2 m的隔离带),其中的一条行车道能否并排通过宽2 m、高3 m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说明你的理由.图2-7-7解析(1)以AB所在直线为横轴,AB的垂直平分线为纵轴建立如图的平面直角坐标系,则A,B,C的坐标分别是(-10,0),(10,0),(0,6).由此设抛物线的表达式为y=ax2+6(a0),将点B的坐标代入,得100a+6=0,解得a=-.所以抛物线的表达式是y=-x2+6(-10x10).(2)易知点F的横坐标为5,于是yF=-52+6=4.5.所以支柱EF的长度是10-4.5=5.5(m).(3)如图,设DN为隔离带的宽,NG是三辆汽车的宽度和,则点G的坐标是(7,0).过点G作GHAB交抛物线于点H,则yH=-72+6=3.063.所以一条行车道能并排通过这样的三辆汽车.7
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