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因式分解一、选择题1.下列各式中，不含因式a+1的是（ ） A.2a2+2aB.a2+2a+1C.a21D.2.下列因式分解错误的是（ ） A.2x（x2）+（2x）=（x2）（2x+1）B.x2+2x+1=（x+1）2C.x2yxy2=xy（xy）D.x2y2=（x+y）（xy）3.下列因式分解中，正确的个数为（ ）x3+2xy+x=x（x2+2y）；x2+4x+4=（x+2）2；x2+y2=（x+y）（xy） A.3个B.2个C.1个D.0个4.若x=1， ，则x2+4xy+4y2的值是（ ） A.2B.4C.D.5.化简:(a+1)2-(a-1)2=( ) A.2B.4C.4aD.2a2+26.下列因式分解正确的是( ) A.(x-3)2-y2=x2-6x+9-y2B.a2-9b2=(a+9b)(a-9b)C.4x6-1=(2x3+1)(2x3-1)D.-x2-y2=(x-y)(x+y)7.若代数式x2+ax可以分解因式，则常数a不可以取（ ） A.1B.0C.1D.28.下列各多项式中,不能用平方差公式分解的是( ). A.a2b21B.40.25a2C.a2b2D.x2+19.分解因式x2yy3结果正确的是（ ). A.y(x+y)2B.y(x-y)2 C.y(x2-y2)D.y(x+y)(x-y)10.边长为a、b的长方形周长为12,面积为10,则 的值为( ) A.120B.60C.80D.4011.如果2x2+mx2可因式分解为（2x+1）（x2），那么m的值是（ ） A.1B.1C.3D.312.下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（ ） A.B.C.D.二、填空题 13.分解因式：x216=_ 14.两个多项式a2+2ab+b2 ， a2b2的公因式是_ 15.分解因式：x22x+1=_ 16.甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则a+b=_ 17.把多项式x3 -25x分解因式的结果是_. 18.若x29=（x3）（x+a），则a=_ 19.把多项式 分解因式的结果是_. 20.已知 ， 则代数式 的值是_ 21.当a=3，ab=1时，代数式a2ab的值是_ 22.若a22a4=0，则5+4a2a2=_ 三、解答题23.把下列各式分解因式: （1）x2(a-1)+y2(1-a); （2）18(m+n)2-8(m-n)2; （3）x2-y2-z2+2yz. 24.计算 （1）已知ab3，ab5，求多项式4a2b4ab24a4b的值 （2）已知x2-3x-1=0,求代数式3-3 x2+9x的值？ 25.下面是某同学对多项式（x24x+2）（x24x+6）+4进行因式分解的过程解：设x24x=y原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x24x+4）2（第四步）回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ） A.提取公因式B.平方差公式C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底_（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_ （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x22x）（x22x+2）+1进行因式分解 26.对于多项式x3-5x2+x+10,我们把x=2代入此多项式,发现x=2能使多项式x3-5x2+x+10的值为0,由此可以断定多项式x3-5x2+x+10中有因式x-2(注:把x=a代入多项式,能使多项式的值为0,则多项式中一定含有因式(x-a),于是我们可以把多项式写成:x3-5x2+x+10=(x-2)(x2+mx+n),分别求出m,n后再代入x3-5x2+x+10=(x-2)(x2+mx+n)中,就可以把多项式x3-5x2+x+10因式分解). （1）求式子中m,n的值; （2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”,用“试根法”分解因式x3+5x2+8x+4. 答案解析 一、选择题1.【答案】D 【解析】 ：A、2a2+2a=2a（a+1），故本选项不符合题意；B、a2+2a+1=（a+1）2 ， 故本选项不符合题意；C、a21=（a+1）（a1），故本选项不符合题意；D、 = ，故本选项符合题意故答案为：D【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式；把各个选项因式分解，找出不含因式a+1的选项.2.【答案】A 【解析】 A、原式=（x2）（2x1），符合题意；B、原式=（x+1）2 ， 不符合题意；C、原式=xy（xy），不符合题意；D、原式=（x+y）（xy），不符合题意，故答案为：A【分析】根据因式分解的定义，将一个多项式化为几个整式的积的恒等变形就是因式分解，然后利用整式的乘法将变形的右边利用整式的乘法法则得出结果，和左边进行比较即可得出答案。3.【答案】C 【解析 ：x3+2xy+x=x（x2+2y+1），故原题错误；x2+4x+4=（x+2）2；正确；x2+y2=（x+y）（yx），故原题错误；故正确的有1个故答案为：C【分析】第一个中的第一项的指数是3，第三项不是y的平方，所以不符合完全平方式的条件；第三个应该是（x+y）（y-x）.4.【答案】B 【解析】 ：原式=（x+2y）2=（1+2 ）2=4故答案为：B【分析】根据完全平方公式a22ab+b2=（ab）2 ， 分解因式x2+4xy+4y2=（x+2y）2 ， 把x、y的值代入，求出代数式的值.5.【答案】C 【解析】 ： (a+1)2-(a-1)2=(a+1)-(a-1)(a+1)+(a-1)=22a=4a. 选C【分析】根据平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，分解即可.6.【答案】C 【解析】 ：A、（x-3）2-y2=x2-6x+9-y2 ， 不是两数积的形式的形式，不符合因式分解特点，故此选项不符合题意；B、原式应该为：a2-9b2=（a+3b）（a-3b）；故此选项不符合题意；C、4x6-1=（2x3+1）（2x3-1），故此选项符合题意；D、原式应该为：2xy-x2-y2=-（x-y）2 ， 故此选项不符合题意；故答案为：C【分析】根据因式分解的定义把一个多项式化为几个整式的积的形式，再根据平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)分解即可.7.【答案】B 【解析】 ：代数式x2+ax可以分解因式，常数a不可以取0故答案为：B【分析】根据因式分解的定义，就是将一个多项式分解为几个整式的积的形式，从而可知x2+ax能分解因式的话，必须是多项式，故a0,从而得出答案。8.【答案】C 【解析】 ：A、a2b21=（ab）2-12 ， 可以利用平方差公式分解因式，故A不符合题意；B、4025a2=22-（0.5a）2 ， 可以利用平方差公式分解因式，故B不符合题意；C、a2b2=-（a2+b2），不能分解因式，故C符合题意；D、x2+1=-（x2-1），可以利用平方差公式分解因式，故D不符合题意；故答案为：C【分析】平方差公式的特点：多项式含有两项，两项的符号相反，两项的绝对值都能写出平方形式，对各选项逐一判断即可。9.【答案】D 【解析】 ：x2yy3=y（x2-y2）=y(x+y)(x-y)故答案为：D【分析】观察此多项式的特点，有公因式y，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式。10.【答案】B 【解析】 ：边长为a、b的长方形周长为12,面积为10,2（a+b）=12，ab=10a+b=6a2b+ab2 =ab（a+b）=106=60【分析】根据已知求出a+b、ab的值，再将a2b+ab2 分解因式，然后整体代入求值即可。11.【答案】C 【解析】 ：2x2+mx2=（2x+1）（x2）=2x23x2，m=3故答案为：C【分析】根据多项式的乘法运算，把（2x+1）（x2）展开，再根据对应项的系数相等进行求解即可.12.【答案】D 【解析】 A、是一个二元一次方程组，故A不符合题意; B、是单项式乘法的逆用,故B不符合题意;C是多项式乘以多项式的乘法运算,故C不符合题意;D是将一个多项式变形为两个整式的积，故D符合题意【分析】根据因式分解的定义，把一个多项式分解为几个整式的积的形式，即可得出结论。二、填空题13.【答案】(x4)(x4) 【解析】 ：x216=（x+4）（x4）【分析】16=42 ， 利用平方差公式分解可得.14.【答案】a+b 【解析】 ：a2+2ab+b2=（a+b）2；a2b2=（a+b）（ab）；故多项式a2+2ab+b2 ， a2b2的公因式是a+b故答案为：a+b【分析】利用完全平方公式和平方差公式化简和展开得到（a+b）2和（a+b）（ab），答案就很显然了.15.【答案】（x1）2 【解析】 ：x22x+1=（x1）2 【分析】利用完全平方公式分别即可。16.【答案】15 【解析】 ：分解因式x2+ax+b，甲看错了b，但a是正确的，他分解结果为（x+2）（x+4）=x2+6x+8，a=6，同理：乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）=x2+10x+9，b=9，因此a+b=15故答案为：15【分析】由题意分析a，b是相互独立的，互不影响的，在因式分解中，b决定因式的常数项，a决定因式含x的一次项系数；利用多项式相乘的法则展开，再根据对应项系数相等即可求出a、b的值.17.【答案】【解析】 ：解：x3-25x=x（x2-25）=x（x+5）（x-5）故答案为：x（x+5）（x-5）【分析】观察此多项式的特点：含有公因式x，因此提取公因式x后，再利用平方差公式分解因式即可。18.【答案】3 【解析】 ：x29=（x+3）（x3）=（x3）（x+a），a=3故答案为：3【分析】本题考查的是平方差公式，因为，所以可知a=3.19.【答案】【解析】 ：原式=3a（a24a+4）=3a（a2）2 故答案为：3a（a2）2 【分析】先利用提公因式法分解因式，再利用完全平方公式分解到每一个因式都不能再分解为止。20.【答案】15 【解析】 =（a+b）（a-b）=35=15.故答案为：15.【分析】根据平方差公式分解因式，再利用整体代入法即可得出答案。21.【答案】3 【解析】 当 时，原式=31=3故答案为：3【分析】先利用提公因式法分解因式，再利用整体代入即可算出代数式的值。22.【答案】-3 【解析】 即 原式 故答案为： 【分析】根据已知方程，可得出a22a=4， 再将代数式转化为52(a22a），再整体代入求值即可。三、解答题23.【答案】（1）解：原式=x2(a-1)-y2(a-1)=(a-1)(x2-y2)=(a-1)(x+y)(x-y)（2）解：原式=29(m+n)2-4(m-n)2=23(m+n)2-2(m-n)2=2(3m+3n)2-(2m-2n)2=2(3m+3n+2m-2n)(3m+3n-2m+2n)=2(5m+n)(m+5n)（3）解：原式=x2-(y2+z2-2yz)=x2-(y-z)2=(x+y-z)(x-y+z) 【解析】【分析】（1）观察多项式的特点，有公因式a-1，因此提取公因式后再利用平方差公式分解因式即可。（2）观察此多项式的特点，有公因数2，因此提取公因数后，将另一个因式写成平方差公式的形式，然后利用平方差公式分解因式即可。（3）此多项式有4项，没有公因式，因此采用分组分解法，后三项可构造完全平方公式，因此将后三项结合，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可。24.【答案】（1）解：原式 =4 ab（ab）-4（ab）=（4 ab-4）（ab）=4（ab-1）（ab）当ab3，ab5时，原式=4 （5-1） （-3）=4 4 （-3）=-48（2）解：解：原式=-3（x2-3x-1）当x2-3x-1=0，原式=-3 0=0 【解析】【分析】（1）将代数式提取公因式4（a+b），转化为4（ab-1）（ab），再整体代入求值即可。（2）将代数式提取公因数-3，转化为-3（x2-3x-1），再整体代入求值即可。25.【答案】（1）C（2）不彻底；（3）解：设x22x=y（x22x）（x22x+2）+1，=y（y+2）+1，=y2+2y+1，=（y+1）2 ， =（x22x+1）2 ， =（x1）4 【解析】【解答】（2）该式还可以继续因式分解，（x24x+4）2=(x-2)4【分析】运用换元法把x22x=y，再根据完全平方公式a22ab+b2=（ab）2分解.26.【答案】（1）解：x3-5x2+x+10=(x-2)(x2+mx+n)分别令x=0,x=1,10=-2n，15=1+m+n解之：m=-3,n=-5（2）解：当x=-1时，x3+5x2+8x+4=0x3+5x2+8x+4=(x+1)(x2+ax+b)分别令x=0,x=1,4=b，18=2（1+a+b）解之：a=4,b=4,x3+5x2+8x+4=(x+1)(x2+4x+4)=(x+1)(x+2)2 【解析】【分析】（1）根据题意将x=0和x=1分别代入x3-5x2+x+10=(x-2)(x2+mx+n)，建立关于m、n的方程组，求解即可。（2）根据题意可知当当x=-1时，x3+5x2+8x+4=0，原式可转化为x3+5x2+8x+4=(x+1)(x2+ax+b)，将x=0和x=1分别代入x3+5x2+8x+4=(x+1)(x2+ax+b)，建立关于a、b的方程组，求解即可分解因式。10
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