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考点三十三：图形的相似聚焦考点温习理解1、比和比例的有关概念：（1）表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例.（2）第四比例项：若或a:b=c:d，那么d叫作a、b、c的第四比例项.（3）比例中项：若或a:b=b:c，b叫作a，c的比例中项.（4）黄金分割：把一条线段（AB）分割成两条线段，使其中较长线段（AC）是原线段AB与较短线段（BC）的比例线段，就叫作把这条线段黄金分割.即AC2=ABBC，AC=；一条线段的黄金分割点有两个.2.比例的基本性质及定理（1）（2）（3）3.平行线分线段成比例定理(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.(2)平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例；(3)如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边；(4)平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例4.相似三角形.相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比5相似三角形的判定(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似；(2)两角对应相等，两三角形相似；(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；(4)三边对应成比例，两三角形相似；(5)两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似；(6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似6相似三角形性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方7相似多边形的性质(1)相似多边形对应角相等，对应边成比例(2)相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方8位似图形(1)概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形这个点叫做位似中心(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比名师点睛典例分类考点典例一、比例的基本性质、黄金分割【例1】已知，则的值是（）ABCD【答案】D【解析】试题分析：先设出b=5k，得出a=13k，再把a，b的值代入即可求出答案试题解析：令a，b分别等于13k和5k，；故选D考点：比例的性质【点睛】此题考查了比例的性质此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形【举一反三】（安徽省宣城市第六中学等三校2017届九年级下学期第一次联考）宽与长的比是（约为0618）的矩形叫做黄金矩形。我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线与点G；作，交AD的延长线于点H则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）A. 矩形ABFE B. 矩形DCGH C. 矩形EFGH D. 矩形EFCD【答案】B【解析】设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1，在RtCDF中，DF= ，FG=，CG=-1，= ，矩形DCGH为黄金矩形，故选B.考点典例二、三角形相似的性质及判定 【例2】（江苏省扬州市宝应县射阳湖镇天平初级中学2016届九年级下学期二模）如图，在四边形ABCD中，ADBC，A=BDC（1）求证：ABDDCB；（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长【答案】（1）证明见解析；（2）10.【解析】试题分析：（1）由AD/BC可得ADB=DBC，又因为A=BDC，所以可以证明ABDDCB；（2）由（1）得： ，将已知线段长度代入即可求出BD.试题解析：解：（1）AD/BC，ADB=DBC， 又A=BDC， ABDDCB； （2）由（1）得ABDDCB， 即 ，BD=10.【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力【举一反三】（2017哈尔滨第9题）如图，在中，分别为边上的点，点为边上一点，连接交于点，则下列结论中一定正确的是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】考点：相似三角形的判定与性质考点典例三、相似三角形综合问题【例3】（2017辽宁大连第25题）如图1，四边形的对角线相交于点，.（1）填空：与的数量关系为 ；（2）求的值；（3）将沿翻折，得到（如图2），连接，与相交于点.若，求的长.【答案】（1）BAD+ACB=180；（2）；（3）1.【解析】试题分析：（1）在ABD中，根据三角形的内角和定理即可得出结论：BAD+ACB=180；（2）如图1中，作DEAB交AC于E由OABOED，可得AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，由EADABC，推出，可得，可得4y2+2xyx2=0，即，求出的值即可解决问题；（3）如图2中，作DEAB交AC于E想办法证明PADPBC，可得，可得，即，由此即可解决问题；试题解析：（1）如图1中，在ABD中，BAD+ABD+ADB=180，ABD+ADB=ACB，BAD+ACB=180，故答案为BAD+ACB=180（3）如图2中，作DEAB交AC于E由（1）可知，DE=CE，DCA=DCA，EDC=ECD=DCA，DECAAB，ABC+ACB=180，EADACB，DAE=ABC=DAC，DAC+ACB=180，ADBC，PADPBC，即PC=1考点：相似三角形的判定和性质；解一元二次方程；三角形的内角和定理.【点睛】本题考查了解一元二次方程；三角形的内角和定理以及三角形相似的判定与性质等知识的综合运用【举一反三】（2017湖南株洲第25题）如图示AB为O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE=EF，线段CE交弦AB于点D求证：CEBF； 若BD=2，且EA：EB：EC=3：1：，求BCD的面积（注：根据圆的对称性可知OCAB）【答案】证明见解析；BCD的面积为：2【解析】试题分析：连接AC，BE，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出F=AEB，由圆周角定理得出AEC=BEC，证出AEC=F，即可得出结论；证明ADECBE，得出，证明CBECDB，得出，求出CB=2，得出AD=6，AB=8，由垂径定理得出OCAB，AG=BG=AB=4，由勾股定理求出CG=2，即可得出BCD的面积试题解析：证明：连接AC，BE，作直线OC，如图所示：BE=EF，F=EBF；AEB=EBF+F，F=AEB，C是的中点，AEC=BEC，AEB=AEC+BEC，AEC=AEB，AEC=F，CEBF；解：DAE=DCB，AED=CEB，ADECBE，即，CBD=CEB，BCD=ECB，CBECDB，即，CB=2，AD=6，AB=8，点C为劣弧AB的中点，OCAB，AG=BG=AB=4，CG=2，BCD的面积=BDCG=22=2考点：相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；三角形的外角性质；勾股定理.考点典例四、相似多边形与位似图形【例4】（2017甘肃兰州第17题）如图，四边形与四边形相似，位似中心点是，则.【答案】 【解析】试题解析：如图所示：四边形ABCD与四边形EFGH位似，OEFOAB，OFGOBC，考点：位似变换【点睛】本题考查了位似的作图，熟练掌握位似作图的性质是解题的关键【举一反三】（2017黑龙江绥化第6题）如图， 是在点为位似中心经过位似变换得到的，若的面积与的面积比是，则为（ ）A B C D【答案】A考点：位似变换课时作业能力提升1. （2017重庆A卷第8题）若ABCDEF，相似比为3：2，则对应高的比为（）A3：2B3：5C9：4D4：9【答案】A【解析】试题解析：ABCDEF，相似比为3：2，对应高的比为：3：2故选A考点：相似三角形的性质.2. （2016山东东营第8题）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3，6）、B（9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把ABO缩小，则点A的对应点A的坐标是( ) A（1，2） B（9，18）C（9，18）或（9，18）D（1，2）或（1，2）【答案】D.【解析】试题分析：方法一：ABO和ABO关于原点位似， ABOABO且.AEAD2，OEOD1.A（1,2）.同理可得A（1,2）.方法二：点A（3，6）且相似比为，点A的对应点A的坐标是（3，6），A（1,2）.点A和点A（1,2）关于原点O对称，A（1,2）.故答案选D.考点：位似变换.3. （2017年海南省定安县中考数学仿真）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=4，CD=12，那么EF的长是（）A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 2.8【答案】C4. （湖南省邵阳县黄亭市镇中学20172018学年九年级数学（上）期末）如图，1=2=3，则下列结论不正确的是（）A. DECABC B. ADEBEAC. ACEBEA D. ACEBCA【答案】C5. （2017年甘肃省兰州市七里河区杨家桥学校中考数学模拟）如图，在ABC 中，C=90，BC=3，D，E分别在AB、AC上，将ADE沿DE翻折后，点A落在点A处，若A为CE的中点，则折痕DE的长为（）A. B. 3 C. 2 D. 1【答案】D【解析】由题意得：DEAC，DEA=90，C=DEA，A=A，AEDACB,=,A为CE的中点，C A=E A，C A=E A=AE，=，DE=1.故选D.6. （陕西省西安铁一中2017届九年级下学期模拟）如图所示，在平行四边形中， 与相交于点， 为的中点，连接并延长交于点，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】为的中点，DE=OD，平行四边形，OD=BD，DE=BD，即.DFAB，,，=.故选7. （2017甘肃兰州第13题）如图，小明为了测量一凉亭的高度(顶端到水平地面的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶(米，三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得米，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得米，小明身高米，则凉亭的高度约为( )A.米B.米C.米D.10米【答案】A.【解析】试题解析：由题意AGC=FGE，ACG=FEG=90，ACGFEG， AC=8，AB=AC+BC=8+0.5=8.5米故选A点：相似三角形的应用8. （2017山东东营）如图，在正方形ABCD中，BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：BE=2AE；DFPBPH；PFDPDB；DP2=PHPC其中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：BPC是等边三角形，BP=PC=BC，PBC=PCB=BPC=60，在正方形ABCD中，AB=BC=CD，A=ADC=BCD=90ABE=DCF=30，BE=2AE；故正确；PC=CD，PCD=30，PDC=75，FDP=15，DBA=45，PBD=15，FDP=PBD，DFP=BPC=60，DFPBPH；故正确；FDP=PBD=15，ADB=45，PDB=30，而DFP=60，PFDPDB，PFD与PDB不会相似；故错误；PDH=PCD=30，DPH=DPC，DPHCPD，DP2=PHPC，故正确；故选C考点：1、正方形的性质，2、等边三角形的性质，3、相似三角形的判定和性质9. （2016辽宁沈阳第16题）如图，在RtABC中，A=90，AB=AC，BC=20，DE是ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O若OMN是直角三角形，则DO的长是【答案】或考点：三角形综合题.10. .（2017贵州六盘水）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F，若CD=5，BC=8，AE=2，则AF=_.【答案】 【解析】如图，过点O作OG/AB，平行四边形中，AB=CD=5，BC=AD=8，BO=DO，OG/AB，ODGBDA且相似比为1:2，OFGEFA，OG=AB=2.5，AG=AD=4，AF:FG=AE:OG=4：5，AF=AG=，故答案为： .11. （2017黑龙江齐齐哈尔第17题）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”如图，线段是的“和谐分割线”，为等腰三角形，和相似，则的度数为 【答案】113或92【解析】试题分析：BCDBAC，BCD=A=46，ACD是等腰三角形，ADCBCD，ADCA，即ACCD，当AC=AD时，ACD=ADC=67，ACB=67+46=113，当DA=DC时，ACD=A=46，ACB=46+46=92，故答案为113或92考点：1.相似三角形的性质；2.等腰三角形的性质12. （2017四川自贡第14题）在ABC中，MNBC 分别交AB，AC于点M，N；若AM=1，MB=2，BC=3，则MN的长为【答案】1.【解析】试题解析：MNBC，AMNABC，即，MN=1.考点：相似三角形的判定与性质.13. （2017山东烟台第16题）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1.与是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点都在格点上，则点的坐标是 .【答案】（2，）【解析】试题解析：由题意得：AOB与AOB的相似比为2：3，又B（3，2）B的坐标是3，2，即B的坐标是（2，）考点：位似变换；坐标与图形性质14. （2017年重庆市合川中学中考数学模拟）如图，ABCD中，M、N是BD的三等分点，连接CM并延长交AB于点E，连接EN并延长交CD于点F，以下结论：E为AB的中点；FC=4DF；SECF=；当CEBD时，DFN是等腰三角形其中一定正确的是_【答案】【解析】M、N是BD的三等分点,由题意可得DN=NM=MB，DFNBEN，DMCBME，DF：BE=DN：NB=1：2，BE：DC=BM：MD=1：2,又AB=DC,可得DF：AB=1：4 错误., E为AB的中点, 正确.SBEM= SNEM =，SFEC: SBCE=3：2，SECF=, 正确.垂直平分线性质有EB=EN,根据等腰直角三角形性质有ENB=EBN,所以CDN=DNF, DFN是等腰三角形. 正确.15.（江苏省扬州市宝应县射阳湖镇天平初级中学2018届九年级上学期第二次月考）如图，梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD交于点O，BECD交CA延长线于E 求证：（1）；（2）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析: (1)通过ADBC可得.(2)根据BECD可得，从而可证得答案试题解析: (1) BCADAODCOB(2) BECDBOEDOC16. （2017湖南株洲第22题）如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF求证：DAEDCF； 求证：ABGCFG【答案】.证明见解析；证明见解析.【解析】试题分析：由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS即可得证；由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到BAG=BCF，再由对顶角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证延长BA到M，交ED于点M，ADECDF，EAD=FCD，即EAM+MAD=BCD+BCF，MAD=BCD=90，EAM=BCF，EAM=BAG，BAG=BCF，AGB=CGF，ABGCFG考点：相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质17（2017湖南常德第26题）如图，直角ABC中，BAC=90，D在BC上，连接AD，作BFAD分别交AD于E，AC于F（1）如图1，若BD=BA，求证：ABEDBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：GM=2MC；AG2=AFAC【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；证明见解析试题解析：（1）在RtABE和RtDBE中，BA=BD，BE=BE，ABEDBE；（2）过G作GHAD交BC于H，AG=BG，BH=DH，BD=4DC，设DC=1，BD=4，BH=DH=2，GHAD，GM=2MC；过C作CNAC交AD的延长线于N，则CNAG，AGMNCM，由知GM=2MC，2NC=AG，BAC=AEB=90，ABF=CAN=90BAE，ACNBAF，AB=AG，2CNAG=AFAC，AG2=AFAC考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；和差倍分18.（2017青海西宁第26题）如图，在中，以为直径作交于点，过点作的切线交于点，交延长线于点.（1）求证：； （2）若，求的长.【答案】（1）证明见解析；（2）BF=.【解析】试题分析：（1）连接OD、AD，由AB=AC且ADB=90知D是BC的中点，由O是AB中点知ODAC，根据ODDE可得；（2）证ODFAEF，根据相似的性质即可得答案试题解析： （1）连接OD、AD，DE切O于点D，ODDE，AB是直径，ADB=90，AB=AC，D是BC的中点，又O是AB中点，ODAC，DEAC；考点： 1.切线的性质；2.等腰三角形的性质；3.相似三角形的判定与性质24
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