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考点二十八：直角三角形 聚焦考点温习理解一、直角三角形1.定义有一个角是直角的三角形叫作直角三角形2.性质（1）直角三角形两锐角互余.（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.3.判定（1）两个内角互余的三角形是直角三角形.（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.二、勾股定理及逆定理1. 勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2;2. 勾股定理的逆定理如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.三、直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，除了有一般三角形全等的判定方法，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）四、解直角三角形解直角三角形的常用关系在RtABC中，C90，则：(1)三边关系：a2b2c2；(2)两锐角关系：AB90；(3)边与角关系：sinAcosB，cosAsinB，tanA；(4)sin2Acos2A1名师点睛典例分类考点典例一、直角三角形的判定【例1】（2017-2018学年山东省诸城市桃林镇桃林初中期末模拟）下列条件不能判定一个三角形为直角三角形的是（ ）A. 三个内角之比为1：2：3 B. 一边上的中线等于该边的一半C. 三边为 、 、 D. 三边长为m2+n2、m2n2、2mn（m0，n0）【答案】C【举一反三】（2017年广西防城港市防城区扶隆中学中考数学模拟）如图，ABC中，CDAB，垂足为D下列条件中，能证明ABC是直角三角形的有 （多选、错选不得分）A+B=90 AB2=AC2+BC2 CD2=ADBD 【答案】【解析】试题解析：三角形内角和是180，由知A+B=90，ACB=180-（A+B）=180-90=90，ABC是直角三角形故选项正确AB，AC，BC分别为ABC三个边，由勾股定理的逆定理可知，正确题目所给的比例线段不是ACB和CDB的对应边，且夹角不相等，无法证明ACB与CDB相似，也就不能得到ACB是直角，故错误；若ABC是直角三角形，已知CDAB，又CD2=ADBD，（即 ）ACDCBDACD=BACB=ACD+DCB=B+DCB=90ABC是直角三角形故选项正确；故答案为：考点典例二、直角三角形的性质【例2】（2017江苏无锡第10题）如图，ABC中，BAC=90，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将ABD沿AD翻折得到AED，连CE，则线段CE的长等于（）A2BCD 【答案】D【解析】试题解析：如图连接BE交AD于O，作AHBC于H在RtABC中，AC=4，AB=3，BC=5，CD=DB，AD=DC=DB=，BCAH=ABAC，AH=，AE=AB，DE=DB=DC，AD垂直平分线段BE，BCE是直角三角形，ADBO=BDAH，OB=，BE=2OB=，在RtBCE中，EC= .故选D考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.直角三角形斜边上的中线；3.勾股定理【举一反三】（2017湖南株洲第11题）如图示在ABC中B=【答案】25.【解析】试题分析：C=90，B=90A=9065=25；故答案为：25考点：直角三角形的性质考点典例三、直角三角形斜边上的中线【例3】（2017辽宁大连第8题）如图，在中，垂足为，点是的中点，则的长为（ ）A B C. D 【答案】B.考点：直角三角形斜边上的中线.【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理及直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是据图找出规律【举一反三】（2016四川达州第9题）如图，在ABC中，BF平分ABC，AFBF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（）A2B3C4D5【答案】B.考点：直角三角形斜边上的中线；平行线的判定；相似三角形的判定与性质考点典例四、解直角三角形【例4】（2017浙江嘉兴第15题）如图，把个边长为1的正方形拼接成一排，求得，计算 ，按此规律，写出 （用含的代数式表示）【答案】，.【解析】试题解析：作CHBA4于H，由勾股定理得，BA4=，A4C=，BA4C的面积=4-2-=，CH=，解得，CH=，则A4H=，tanBA4C=，1=12-1+1，3=22-2+1，7=32-3+1，tanBAnC=.考点：1.解直角三角形；2.勾股定理；3.正方形的性质【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理和正方形的性质.【举一反三】（广东省广州市越秀区2016年中考数学一模）如图，ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE，若BE=5，BC=6，则sinC=_ 【答案】【解析】DE是BC的垂直平分线，CE=BE=5，CD=BD=3，CDE=90，DE=4，sinC=，故答案为： 课时作业能力提升一、选择题1. （重庆市秀山县2017-2018学年八年级上学期八校联考）如图， 中， ，则AB长为 A. 2B. C. 4D. 【答案】C【解析】在RtABC中，A=30，BC=2，AB=2BC=4，故选C2. （浙江省金华市第五中学2017-2018学年八年级上册期末模拟）在ABC中,ACB=90,A=30,CDAB于D,AB=4cm,则BD的长为（ ）.A. 3 B. 4 C. 1 D. 7【答案】C【解析】根据含30角的直角三角形的性质,结合已知ACB=90,A=30，得ABC=60,BC=2,；再由含30角的直角三角形可得BD是BC的一半为1. 故选：C.3. （浙江省宁波市李兴贵中学2017-2018学年八年级上册期末模拟）直角三角形两直角边长为a，b，斜边上高为h，则下列各式总能成立的是（ ）A. ab=h2 B. a2+b2=2h2 C. D. 【答案】D【解析】根据直角三角形的面积可以导出：斜边c= 再结合勾股定理：a2+b2=c2 进行等量代换，得a2+b2=，两边同除以a2b2， 得故选D4. （华师大版九年级数学下册：2018年中考模拟）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学九章算术中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得（单位：尺），则井深为（ ） A. 1.25尺 B. 57.5尺 C. 6.25尺 D. 56.5尺【答案】B【解析】依题意有ABFADE， AB:AD=BF:DE，即5:AD=0.4:5，解得AD=62.5，BD=ADAB=62.55=57.5尺。故选：B.5. （2017广西百色第10题）如图，在距离铁轨200米处的处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，10秒钟后，动车车头到达处，恰好位于处西北方向上，则这时段动车的平均速度是（ ）米/秒. A B C. 200 D300【答案】A【解析】考点：1.解直角三角形的应用方向角问题；2.勾股定理的应用二、填空题6. （2017湖南常德第14题）如图，已知RtABE中A=90，B=60，BE=10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得CDE=30，则CD长度的取值范围是 【答案】0CD5【解析】试题分析：当点D与点E重合时，CD=0，当点D与点A重合时，A=90，B=60，E=30，CDE=E，CDB=B，CE=CD，CD=CB，CD=BE=5，0CD5，故答案为：0CD5考点：含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线7. （山东省平邑县阳光中学2018届九年级一轮复习）如图，平行四边形ABCD中，AEBC于E，AFCD于F，若AE=6，AF=4，cosEAF=，则CF=_ 【答案】【解析】试题解析：AEBC，AFDC， 又ABDC， .又 ， . ， ，即 .又 B=D，所以 ， .由题，AF=4，AE=6，则根据勾股定理，易得 ， ， .所以本题的正确答案为 .8.在ABC中，B=30，AB=12，AC=6，则BC= 【答案】【解析】试题分析：B=30，AB=12，AC=6，ABC是直角三角形，BC=，故答案为：考点：1含30度角的直角三角形；2勾股定理9.如图，在RtABC中，ABC=90，AB=3，AC=5，点E在BC上，将ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B处，则BE的长为 【答案】【解析】考点：1. 折叠的性质；2.勾股定理；3.方程思想的应用.10. （2017江苏无锡第18题）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tanBOD的值等于 【答案】3.【解析】试题解析：平移CD到CD交AB于O，如图所示，则BOD=BOD，tanBOD=tanBOD，设每个小正方形的边长为a，则OB=，OD=，BD=3a，作BEOD于点E，则BE=，OE=，tanBOE=，tanBOD=3.考点：解直角三角形11. （2017黑龙江绥化第21题）如图，顺次连接腰长为2 的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第个小三角形的面积为 【答案】【解析】试题分析：记原来三角形的面积为s，第一个小三角形的面积为s1，第二个小三角形的面积为s2，s1= s= s，s2=s=s，s3=s，sn=s=22=.考点：1.三角形中位线定理；2.等腰直角三角形三、解答题12. （2017黑龙江齐齐哈尔第23题）如图，在中，于，分别是，的中点（1）求证：，；（2）连接，若，求的长【答案】（1）证明见解析；（2）EF=5 【解析】试题分析：（1）证明BDGADC，根据全等三角形的性质、直角三角形的性质证明；（2）根据直角三角形的性质分别求出DE、DF，根据勾股定理计算即可试题解析：（1）ADBC，ADB=ADC=90，在BDG和ADC中， ，BDGADC，BG=AC，BGD=C，ADB=ADC=90，E，F分别是BG，AC的中点，DE=BG=EG，DF=AC=AF，DE=DF，EDG=EGD，FDA=FAD，EDG+FDA=90，DEDF；（2）AC=10，DE=DF=5，由勾股定理得，EF= =5 考点：1.全等三角形的判定与性质；2.勾股定理13. （2017辽宁大连第24题）如图，在中，点分别在上（点与点不重合），且.将绕点逆时针旋转得到.当的斜边、直角边与分别相交于点（点与点不重合）时，设.（1）求证：；（2）求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）根据等角的余角相等即可证明；（2）分两种情形如图1中，当CE与AB相交于Q时，即时，过P作MNDC，设B=当DC交AB于Q时，即时，如图2中，作PMAC于M，PNDQ于N，则四边形PMDN是矩形，分别求解即可；试题解析：（1）证明：如图1中，EDE=C=90，ADP+CDE=90，CDE+DEC=90，ADP=DEC （2）解：如图1中，当CE与AB相交于Q时，即时，过P作MNDC，设B=MNAC，四边形DCMN是矩形，PM=PQcos=y，PN=（3x），（3x）+y=x，当DC交AB于Q时，即时，如图2中，作PMAC于M，PNDQ于N，则四边形PMDN是矩形，PN=DM，DM=（3x），PN=PQsin=y，（3x）=y，综上所述， 考点：旋转的性质；函数关系式；矩形的判定与性质；解直角三角形.14.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DEAB，过点E作EFDE，交BC的延长线于点F.（1）求F的度数；（2）若CD=2，求DF的长.【答案】（1）30；（2）4.【解析】考点：1.等边三角形的判定与性质；2.平行的性质；3.含30度角的直角三角形的性质17
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