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知识点33 圆的基本性质一、选择题1. （2018浙江衢州，第5题，3分）如图，点A，B，C在O上，ACB=35，则AOB的度数是（ ）第5题图A75 B70 C65 D35【答案】B【解析】本题考查了圆周角定理等知识，解题的关键是明确圆周角定理AOB与ACB所对的弧相等，AOB是圆心角，ACB是圆周角，故得到AOB=70，故选B.【知识点】圆周角定理2. （2018浙江衢州，第10题，3分）如图，AC是O的直径，弦BDAO于E，连接BC，过点O作OFBC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（ ）A3cm Bcm C2.5cm Dcm【答案】D【解析】本题考查了垂径定理、中位线定理、勾股定理等知识. 连接AB，因为AC为直径，ACBD，故BE=ED，又因为OFBC，根据垂径定理可知BF=CF，故可得知OF为ABC的中位线，从而得到OF=0.5AB，易得BE=4,利用勾股定理得到AB的值，故解得。连接AB，因为AC为直径，故ABC为直角，又ACBD，BE=ED=82=4，AE=2，根据勾股定理可得：AB=又OFBC，根据垂径定理可知BF=CF，故可得知OF为ABC的中位线，OF=AB=故选D。第10题图【知识点】垂径定理、中位线定理、勾股定理；3. （2018甘肃白银，9，3） 如图，A过点O(0,0),D(0,1),点B是轴下方A上的一点，连接BO,BD,则OBD的度数是（ ） A.15，B.30 C.45 D.60【答案】B【思路分析】由DOC=90，于是想到连接DC由题意知DO=1,OC=,所以算出直径DC=2,由此得DCO=30，所以OBD=OCD=30。【解题过程】连接DC.在A中，DOC=90，DC过圆心A,即DC是A的直径。,D(0,1）DO=1,CO=在RTDOC中，CD=DCO=30。OBD=DCO=30。故选B【知识点】90的圆周角所对的弦是直径；一条直角边等于斜边的一半则这条直角边所对的角是30；同弧所对的圆周角相等。4. （2018山东聊城，7，3分）如图，中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB、OC.若A=60，ADC=85，则C的度数是（ ） A.25 B.27.5 C.30 D.35 【答案】C【解析】A=60，ADC=85，B=ADC-A=85-60=25，O=2B=225=50，C=ADC-O=85-50=30，【知识点】三角形内外角的关系、圆周角定理、5. （2018年山东省枣庄市，8，3分）如图，是的直径，弦交于点，则的长为（ ）A B C D8【答案】C【思路分析】过O作OECD于E，连接OD，在RtOEP中，由OPE=30，OP=2计算OE的长；在RtOCE中，由OC和OE的长利用勾股定理计算CE的长；最后得出CD=2CE即可.【解题过程】过O点作OECD于E，AB=8, OA=OB=4, OP=2,OE=OP=1.在RtOCE中，CE=OECD，O是圆心，CD=2CE=.故选C.【知识点】 垂径定理；勾股定理6.（2018四川省南充市，第5题，3分）如图，BC是O的直径，A是O上的一点，OAC=32，则B的度数是（ ）A58 B60 C64 D68【答案】A【解析】解：BC是O的直径，CAB=90，OA=OC，OAC=32，C=OAC=32，B=90 32=58，故选A.【知识点】直径所对圆周角是直角；等腰三角形的性质；直角三角形的两锐角互余7. （2018江苏省盐城市，7，3分）如图，AB为O的直径，CD为O的弦，ADC35，则CAB的度数为（ ）A35 B45 C55 D65 【答案】C【解析】AB为O的直径，ACB90，ABCADC35，CAB65故选C.【知识点】圆的基本性质8. （2018山东省济宁市，4，3）如图，点B，C，D在O上，若BCD=130，则BOD的度数是 ( )A.50 B.60 C.80 D.100【答案】D【解析】先找出圆周角BCD所对的优弧度数为260，再结合图形确定劣弧BD的度数为100，从而根据圆心角BOD与劣弧BD的度数之间的相等关系，即BOD的度数是100，因此，本题应该选D.【知识点】圆周角 圆心角9.(2018山东青岛中考，5，3分)如图，点在O上，点是的中点，则的度数是（ ）A B C D【答案】D【解析】连接OB，点是的中点，AOB=AOC=70AOB是所对的圆心角，D是所对的圆周角，D=AOB=35故选D【知识点】弧、弦、圆心角的关系；圆周角定理10. （2018山东威海，10，3分）如图，O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若ABC30，则弦AB的长为( )AB5CD【答案】D【解析】如图，连接OA、OC，OC 交AB于点M根据垂径定理可知OC垂直平分AB，因为ABC30，故AOC60，在RtAOM中，sin60，故AM，即AB故选D【知识点】垂径定理、锐角三角函数1. (2018山东菏泽，6，3分)如图，在O中，OCAB，ADC=32，则OBA的度数是（ ）A64 B58 C32 D26【答案】D【解析】OCAB，=ADC是所对的圆周角，BOC是所对的圆心角，BOC=2ADC=64，OBA=90BOC=9064=26故选D【知识点】垂径定理；圆周角定理及推论；2. （2018四川遂宁，8，4分） 如图，在O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是（ ）A5 B6 C7 D8【答案】B.【解析】解：设O的半径为r，则OA=OE=OC=r，OCAB，AD=AB=.CD=1，OD=r-1，OD2+AD2=OA2，(r-1)2+()2=r2,r=4，OD=3.AE是O的直径，ABBE，ODBE，BE=2OD=6.故选B.【知识点】垂径定理，勾股定理3. （2018广东广州，7，3分）如图，AB是O的弦，OCAB，交O于点C，连接OA，OB，BC，若ABC20，则AOB的度数是（ ）A40B50C70D80【答案】D【解析】因为AOC2ABC220=40，而OCAB，所以=，从而有AOB2AOC240=80；故答案为D【知识点】垂径定理；圆周角定理4. （2018贵州遵义，12题，3分）如图，四边形ABCD中，ADBC，ABC=90，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E，若DE=3，则AD的长为A.5 B.4 C. D.第12题图【答案】D【解析】连接BE，因为DAE=DBE，DAE=ACB，所以DBE=ACB，因为BD是直径，所以BED=90，DAB=90，因为ADBC，所以ABC=180-DAB=90，所以BED=ABC，BEDCBA，所以，得到BE=6，RtBED中，可得BD=，在RtADB中，可得AD=，故选D【知识点】圆的对称性，圆周角定理，相似三角形5. （2018江苏淮安，8，3） 如图，点A、B、C都在O上，若AOC=140,则B的度数是A. 70 B. 80 C. 110 D. 140【答案】C【解析】分析：本题考查圆周角定理，由 AOC=140可得优角AOC的度数，再由圆周角定理可得结果.解：由AOC=140可得优角AOC=220由圆周角定理可得 故选：C【知识点】圆周角定理；圆周角性质6.（2018福建A卷，9，4）如图，AB是O的直径，BC与O相切于点B，AC交O于点D，若ACB=50，则BOD等于 ( )A40 B. 50 C. 60 D. 80【答案】D【解析】根据同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半，即可求出结果. 解： AB是O的直径，ABC=90，ACB=50，A=90-ACB=40，BOD=2A=80.【知识点】圆；圆的有关性质；圆心角、圆周角定理7. （2018福建B卷，9，4）如图，AB是O的直径，BC与O相切于点B，AC交O于点D，若ACB=50，则BOD等于 ( )A40 B. 50 C. 60 D. 80【答案】D【解析】根据同弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半，即可求出结果. 解： AB是O的直径，ABC=90，ACB=50，A=90-ACB=40，BOD=2A=80.【知识点】圆；圆的有关性质；圆心角、圆周角定理8. （2018贵州安顺，T9，F3）已知O的直径CD= 10cm，AB是O的弦，AB丄CD,垂足为M, 且AB = 8cm,则AC的长为（ ）A. cmB. cmC. cm或 cmD. cm或 cm【答案】C【解析】由题可知，直径CD=10cm，AB丄CD, AB = 8cm,当点M在线段OC上时，OA=OC=5cm，AM=4cm.OA=AM+OM，OM=3cm，即CM=OC-OM=2cm.由勾股定理，得AC=AM+CM= cm. 当点M在线段OD上时，CM=OC+CM=8cm.由勾股定理，得AC=AM+CM=cm.故AC的长为 cm或 cm.【知识点】垂径定理，勾股定理.9.（2018四川雅安，12题，3分）如图，AB、CE是圆O的直径，且AB=4，点M是AB上一动点，下列结论：CED=BOD；DMCE；CM+DM的最小值为4；设OM为x，则SOMC=x，上述结论中，正确的个数是第12题图A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】CED=COD，因为，所以COD=BOD，所以CED=BOD，正确；M是直径AB上一动点，而CE确定，因此DMCE不一定成立，错误；因为DEAB，所以D和E关于AB对称，因此CM+DM的最小值在M和O重合时取到，即CE的长，因为AB=4，所以CE=AB=4，正确；连接AC，因为，所以COA=60，则AOC为等边三角形，边长为2，过C作CNAO于N，则CN=，COM中，以OM为底，OM边上的高为CN，所以，故错误。综上，共2个正确，选B。第12题解图【知识点】圆的对称性，圆周角定理，最小值问题，等边三角形，三角形面积10. （2018武汉市，10，3分）如图，在O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D若O的半径为，AB4，则BC的长是（ ）A BC D【答案】B【思路分析】连接OD，过C作CEAB于E，过O作OFCE于F，四边形OFED为正方形；连接AC、DC，由折叠及圆内接四边形的性质可得CA=CD，可求得ED=1，再求出CE的长，可求得BC的长.【解题过程】连接AC、DC、OD，过C作CEAB于E，过O作OFCE于F，沿BC折叠，CDB=H，H+A=180，CDA+CDB=180，A=CDA，CA=CD，CEAD，AE=ED=1，AD=2，OD=1，ODAB，OFED为正方形，OF=1，CF=2，CE=3，. 第10题答图【知识点】轴对称的性质 圆内接四边形的性质 正方形的性质与判定 等腰三角形的性质与判定 勾股定理11. （2018四川自贡，9，4分）如图，若内接于半径为的 ,且,连接，则边的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图所示，延长CO交于点D，连接BD，.CD是直径，.在RtBCD中，故选择D.【知识点】圆周角定理，解直角三角形12. （2018湖北省襄阳市，10，3分）如图，点A、B、C、D都在半径为2的O上，若OABC，CDA=30，则弦BC的长为()A.4B.C.D.【答案】【解析】解：AO与BC交于点E，OABC，OA为半径，弧AC=弧AB，CE=BE，AOB=2ADC=60，在RtBOE中，BOE=60，BE=OBsin60=，BC=2BE=.故选D.【知识点】垂径定理、圆周角定理、特殊角的三角函数13. （2018 湖南张家界，6，3分）如图,是的直径,弦 于点,则( ) （6题图）【答案】A【解析】解：弦于点，AE=OA+OE=5+3=8cm. 【知识点】垂径定理，勾股定理14. （2018山东省泰安市，12，3）如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为（ ）A3 B4 C6 D8【答案】C【思路分析】是Rt的斜边，连接OP，则OP是Rt斜边的中线，求的最小值的问题就转化为求OP最小值的问题，连接OM交于点P，此时OP取得最小值.【解题过程】解;连接MO，交于点P，则点P就是所求的点，过点P作过点M作，的坐标为 由勾股定理得; 又 又OP是Rt的中线 【知识点】直角三角形性质，相似三角形性质，两点之间线段最短15. （2018陕西，9，3分）如图，ABC是O的内接三角形，AB=AC，BCA=65，作CDAB，并与O相交于点D，连接BD，则DBC的大小为（ ） A15B35C25D45【答案】A【思路分析】先求出ABC和A的度数，然后根据圆周角和平行线的性质求出ABD的度数，即可求出DBC的度数【解题过程】AB=AC，ABC=ACB=65A=180652=50D=A50CDAB,ABD=D=50DBC=ABCABD=6550=15故选择A【知识点】圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的性质二、填空题1. （2018江苏无锡，16，3分）如图，点A、B、C都在上，OCOB，点A在劣弧上，且OA=AB，则ABC= . 【答案】15【思路分析】利用圆的半径相等，OCOB，OA=AB，可以证明OBC是等腰直角三角形、ABO是等边三角形，进而利用特殊三角形的性质求得结论.【解题过程】OCOB，OB=OC，CBO=45.OB=OA=AB，ABO=60.ABC=ABO-CBO=60-45=15.【知识点】圆的基本性质、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质2. （2018四川省达州市，16，3分）如图，RtABC中，C90，AC2，BC5，点D是BC边上一点且CD1，点P是线段DB上一动 ，连接AP，以AP为斜边在AP的下方作等腰RtAOP.当点P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长为_ 第16题图【答案】2【解析】如图，以AC为斜边在AC的右下方作等腰RtAEC,以AD为斜边在AD的右下方作等腰RtAMD，以AB为斜边在AB的下方作等腰RtANB，连接NM并延长，则点E、点C在NM的延长线上. C90，ANB90，A、C、B、N四点共圆.ANCABCANEABC在等腰RtAEC中，AC2，AE，NE当点P与点C重合时，点O的位于点E的位置当点P从点D出发运动至点B停止时，点O的从点M出发运动至点N，MN2 【知识点】圆的基本性质；四点共圆；相似三角形的判定与性质，比例的性质3. （2018浙江绍兴，14，3分） 等腰三角形中，顶角为，点在以为圆心，长为半径的圆上，且，则的度数为 【答案】或【解析】（1） 如下图：BP=BA=AC，AP=BC，四边形APBC为平行四边形，BAC=ABP=40ABC=ACB=70PBC=ABPABC=70+40=110第14题(1)答图(2) 由AP=BC，BP=AC，AB=AB;BAPABC，PBA=BAC=40;PBC=ABCABP=7040=30第14题(2)答图【知识点】圆的相关定义、平形四边形的判定和性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质。4. （2018湖南长沙，18题，3分）如图，点A，B，D在圆O上，A=20，BC是圆O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则OCB=_度。第18题图【答案】50【解析】A=20，由圆周角定理，O=2A=40，因为BC与圆O相切，所以OBBC，OBC=90，所以RtOBC中，OCB=90-O=50【知识点】圆周角定理，切线性质，直角三角形5. （2018山东临沂，18，3分）如图，在ABC中，A60，BC5cm.能够将ABC完全覆盖的最小圆形片的直径是 cm 第18题图【答案】【解析】能够将ABC完全覆盖的最小圆形片是如图所示的ABC外接圆O，连接OB，OC，则BOC=2BAC=120，过点D作ODBC于点D，BOD=BOC=60，由垂径定理得BD=BC=cm，OB=，能够将ABC完全覆盖的最小圆形片的直径是.【知识点】垂径定理 三角函数 三角形外接圆6.（2018山东烟台，16，3分）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为 . 【答案】（1，2）【解析】如图，连接AB，BC，分别作AB和BC的中垂线，交于G点由图知，点G的坐标为（1，2）【知识点】垂径定理7. （2018四川省宜宾市，15，3分）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DEAB于点E且DE交AC于点F,DB交AC于点G，若 =,则 = . 【答案】【解析】如图：连接OD、AD、BC，则ADB=ACB=90，ODAC，DEAB，FAE=FDG,AFEDOE,设OD=y,EF=3x,AE=4x,则AF=5x,AFEDOE,即，y=10x,OE=6x，DE=8x,EF=3x，DF=AF=5x，DAF=ADF，=sinCBG，CBG=DAF，sinCBG=sinDAF=sinADF=.【知识点】相似三角形的性质和判定；勾股定理；解直角三角形8. （2018浙江杭州，14，4分） 如图，AB是O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DEAB，交O于点D，E两点，过点D作直径DF，连接AF，则DFA=_.【答案】30【解析】【知识点】垂径定理，圆的角度计算1. （2018湖北鄂州，16，3分）如图，正方形ABCD的边长为2，E为射线CD上一动点（不与C重合），以CE为边向正方形ABCD外作正方形CEFG，连接DG，直线BE、DG相交于点P，连接AP，当线段AP的长为整数时，则AP的长为 【答案】2或1【思路分析】先利用SAS定理证明BCEDCG，从而证得BPDG，再由圆周角定理的逆定理证得A、B、C、D、P五点共圆，得到APBD即可【解析】解：四边形ABCD和CEFG是正方形，BCEDCG90，BCCD，CECG，则在BCE和DCG中，BCEDCG（SAS），PBGDCG，又DCGDGC90，PBGBGP90，即BPG90，即BPDG，、B、C、D、P五点共圆，则BD是圆的直径，故弦APBD，又BD，AP，当线段AP的长为整数时，则AP的长为2或1【知识点】五点同圆；圆周角定理的逆定理；勾股定理；圆的性质；全等三角形的判定定理2. （2018湖北黄冈，11题，3分）如图，ABC内接于O，AB为O的直径，CAB=60，弦AD平分CAB，若AD=6，则AC=_第11题图【答案】【解析】连接BD，CAB=60，弦AD平分CAB，所以DAB=30，ABC=30，因为AB是O的直径，所以C=D=90，所以，因为C=90，CAB=60，所以ABC=30，所以第11题解图【知识点】圆周角定理的推论，直角三角形性质，三角函数3. （2018内蒙古呼和浩特，16，3分）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合）且AMAB, CBE由DAM平移得到，若过点E作EHAC，H为垂足，则有以下结论：点M位置变化，使得DHC=60时，2BE=DM;无论点M动到何处，都有DM=HM; 无论点M运动到何处，CHM一定大于135，其中正确结论的序号为_【答案】 【解析】连接BH,易证CDHCBH.CHB=DHC=.CBH=900,EHAC,点C,B,E,H四点共圆，BEC=BHC=,BCE=,CE=2BE,由平移知DM=CE=2BE.正确.易证BEHMAH,HM=HB=HD,MHA=BHE=OBH=ODH,OHD+AHM=,DHM=,即DH是等腰直角三角形，故DM=MH.正确.由得DHM=90,CHDCAD=45,CHM135,正确;【知识点】正方形的性质，平移的性质，圆的性质，全等三角形的判定与性质4. （2018四川雅安，17题，3分）九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积=(弦矢+矢2).弧田（如图阴影部分），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为120，半径等于4米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为_米2.第17题图【答案】【解析】由题可知，AOB=120，OB=4，OCAB，“矢”为CD的长，则AD=DB，RtBOD中，OBD=30，所以OD=2，“矢”为CD的长，CD=2，BD=，AB=2BD=，即“弦”的长，由公式，弧田面积=(弦矢+矢2)=(2+22)=第17题解图【知识点】垂径定理，含30的直角三角形5. （2018湖北省孝感市，14，3分）已知O的半径为10cm，是O的两条弦，AB=16cm，CD=12cm，则弦和之间的距离是 【答案】2或14【解析】分两种情况：如图，当弦AB和CD在圆心的同侧时，AB=16cm，CD=12cm，AE=AB=8cm，CF=CD=6cm，根据勾股定理，OE=6（cm），OF=8（cm）.EF=OF-OE=8-6=2（cm）.如图, 当弦AB和CD在圆心的同侧时，AB=16cm，CD=12cm，AE=AB=8cm，CF=CD=6cm，根据勾股定理， OE=6（cm），OF=8（cm）.EF=OE+OF=8+6=14（cm）. 综上，弦和之间的距离是2cm或14cm. 【知识点】垂径定理；勾股定理.6.（2018四川凉山州，15，4分）如图，ABC外接圆的圆心坐标是 【答案】(4,6)【解析】因为是外接圆的圆心,所以外心到三个顶点的距离都相等,等于外接圆的半径.那么就是各边中垂线的交点.【知识点】外接圆的圆心，中垂线，点的坐标.7. （2018四川凉山州，16，4分）如图，AB是O的直径，弦CDAB于E，若CD8，D60，则O的半径为 【答案】【解析】先在RtADE中，由勾股定理建立方程，解出AE.再连接OD,设OD=OA=x，则OE=4-x，在RtODE中，由勾股定理建立方程，解出x.(第16题答图)【知识点】勾股定理，二元一次方程的解.8. （2018北京，12，2）如图，点A，B，C，D在O上，弧CB弧CD，CAD30，ACD50，则ADB_【答案】70【解析】弧CB弧CD，CAD30，弧CB与弧CD的度数都为60ACD50，弧AD的度数都为100劣弧AB的度数都为140ADB14070【知识点】圆周角定理；圆的有关性质9.（2018广西玉林，16题，3分）小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm），请你帮小华算出圆盘的半径是_cm第16题图【答案】10【解析】由题可知，AB=12，CD=2，OCAB于点D，所以AD=DB=6，设OB=r，则在RtODB中，(r-2)2+62=r2，解得，r=10【知识点】垂径定理，勾股定理10. （2018山东省泰安市，14，3）如图，是的外接圆，则的直径为 【答案】【解析】（1）构造以直径BD为斜边的Rt，根据圆周角A和圆周角D之间的关系推出是等腰直角三角形，从而可求出直径的长。（2）连接OB、OC，根据圆心角O和圆周角A之间的关系推出是等腰直角三角形，先求出半径OB或OC的长，从而再求出直径的长.解法一：如图1，过点B作直径BD，连接DC，则BCD=90 是等腰直角三角形， 根据勾股定理得：解法二：如图2，连接OB、OC 是等腰直角三角形， 根据勾股定理得： 【知识点】圆周角性质，等腰三角形性质，勾股定理.三、解答题1. （2018四川内江，23，6） 如图，以AB为直径的O的圆心O到直线l的距离OE3，O的半径r2，直线AB不垂直于直线l，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点D、C，则四边形ABCD的面积的最大值为 【答案】12【思路分析】由于四边形ABCD为梯形，所以面积为两底之和的一半再乘以高，由已知条件可以通过构造三角形的中位线，证得两底之和与线段OE的长度有关，是一个定值，所以四边形面积的大小取决于高，当直径AB为梯形的高时，面积最大【解题过程】解：连接DO并延长交CB的延长线于F，ADl，BCl，ADBC，DAOFBO，ADOF，OAOB，AODBOF，ADBF，ODOF，OEl，ADBCOE，DECE，OECF (BFBC)(ADBC)，ADBC2OE6，四边形ABCD的面积(ADBC)CD，当ABl时，即AB为梯形的高时四边形ABCD的面积最大，最大值为6412【知识点】三角形中位线，梯形的面积公式；全等三角形；2. （2018安徽省，20，10分）如图,O为锐角ABC的外接圆,半径为5.（1）用尺规作图作出BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹,不写作法)；（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长.【思路分析】(1)按照角的平分线的尺规作图步骤，可做成AE符合要求；（2）根据相等圆周角，确定弧BE=弧EC，根据垂径定理知OEBC，在RtODC中以及RtDEC中，可求出CE的长【解题过程】（1）如图所示：（2） 连接OE、OC、EC,由（1）知AE为BAC的角平分线，BAE=CAE, 弧BE=弧EC，根据垂径定理知OEBC，则DE=3. OE=OC=5，OD=OE-DE=2. 在RtODC中，在RtDEC中， 弦CE的长为【知识点】角平分线的尺规作图，垂径定理，勾股定理3. （2018江苏无锡，24，8分）如图，四边形ABCD内接于，AB=17，CD=10，A=90，cosB=，求AD的长.【思路分析】如图所示，延长AD、BC交于点E，利用圆内接四边形的性质证明ECDEAB，进而利用相似三角形的性质可以求得AD的长.【解题过程】如图所示，延长AD、BC交于点E，四边形ABCD内接于，A=90，EDC=B，ECD=A=90，ECDEAB，.cosEDC=cosB=，CD=10，ED=,.，AD=6.【知识点】圆内接四边形的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义、勾股定理、分式方程的解法4. （2018山东省济宁市，18，7）（7分）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所示）面积的方法.现有以下工具：卷尺；直棒EF；T型尺（CD所在的直线垂直平分线段AB）.（1） 在图1中，请你画出用T型尺找大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）；（2） 如图2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N之间的距离，就可求出环形花坛的面积.”如果测得MN=10cm，请你求出这个环形花坛的面积.【思路分析】（1）根据垂径定理，可知：圆心O必在直线CD上，则直线CD与CD的交点即为所求的点O；（2）设切点为C，连接OM，OC从而化归直角三角形中，应用勾股定理即可解决问题.【解题过程】（1）如图点O即为所求；（2）设切点为C，连接OM，OC MN是切线，OCMN，CM=CN=5， OM2-OC2=CM2=25，S圆环=OM2-OC2=25【知识点】尺规作图的应用 线段的垂直平分线的性质 垂径定理 勾股定理1. （2018贵州遵义，26题，12分）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的点，AC的垂直平分线交半圆于点D，交AC于点E，连接DA、DC，已知半圆O的半径为3，BC=2（1）求AD的长；（2）点P是线段AC上一动点，连接DP，做DPF=DAC，PF交线段CD于点F，当DPF为等腰三角形时，求AP的长。第26题图【思路分析】（1）连接OD，通过已知线段长度和DE是AC的垂直平分线求得OE长，在RtDOE中求得DE长，进而在RtADE中求得AD长；（2）因为等腰三角形不确定，应分类讨论当DP=DF时，P与A重合，当PD=PF时，可通过相似得到CDP是等腰三角形，从而求出CP和AP，当FP=FD时，可通过角的等量代换得到CDP是等腰三角形，在RtDEP中利用勾股定理求得DP，从而求出CP和AP。【解析】（1）如图1，连接OD，因为半径为3，所以OA=OB=OD=3，因为BC=2，所以AC=8，因为DE垂直平分AC，所以DA=DC，AE=4，DEO=90，OE=1，在RtDOE中，在RtADE中，第26题解图1（2）因为PDF为等腰三角形，因此分类讨论：当DP=DF时，如图2，A与P重合，则AP=0第26题解图2当PD=PF时，如图3，因为DPF=A=C，PDF=CDP ，所以PDFCDP，因为PD=PF，所以CP=CD，所以CP=，AP=AC-PC=第26题解图3当FP=FD时，如图4，因为FDP和DAC都是等腰三角形，DPF=A，所以FDP=DPF=A=C，所以,设DP=PC=x，则EP=4-x，在RtDEP中，DE2+EP2=DP2，得，得x=3，则AP=5第26题解图4综上所述，当DPF为等腰三角形时，AP的长可能为0，5【知识点】勾股定理，等腰三角形，相似三角形2. （2018河北省，23，9）如图，AB50，P为AB的中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意一点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设BPNa （1）求证：APMBPN； （2）当MN2BN时，求的度数； （3）若BPN的外心在该三角形的内部，直接写出的取值范围 第23题图【思路分析】（1）根据已知条件可知，APM与BPN存在两组对应角及其中一条边对应相等，可证全等；（2）当MN2BN时，利用第（1）的结论，可得到BPN为等腰三角形，从而求出的度数；（3）根据三角形外心的特点：锐角三角形外心的三角形内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部可求得的度数【解析】（1）P为AB的中点， APBP1分 又AB，PAMBPN， APMBPN2分 （2）APMBPN， PMPN1分 MN2BN， BNPN B502分 （3）BPN的外心在该三角形的内部， BPN是锐角三角形1分 090，01805090 40902分【知识点】三角形全等，等腰三角形性质，三角形内角和，三角形的外心3. （2018湖南省湘潭市，25，10分）如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径COAO，点M是上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM（1）若半圆的半径为10当AOM=60时，求DM的长；当AM=12时，求DM的长（2）探究：在点M运动的过程中，DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由 【思路分析】（1）当AOM=60时，D=30，AMO为等边三角形，然后根据含有30角的直角三角形的性质得到AD=2AO，再结合AMO为等边三角形求出DM的长；连接BM，则可得AMB=90，根据两个角相等的三角形是相似三角形得到AODABM，从而得到求出AD的长，进而求出DM的长；（2）在图a中，由于AB是直径，所以AMB=90，所以DMC+CMB=90，然后根据所对的圆心角与圆周角的关系得到CMB=COB，从而得到DMC的度数为45，是一个定值；在图b中,连接AC、MB，由于ACMB是圆内接四边形，根据性质可得CMB与CAO互补，再结合ACO为等腰直角三角形，从而得到DMC的度数仍然是一个定值.【解析】解：（1）当AOM=60时，OM=OA，AMO是等边三角形，A=MOA=60，MOD=30，D=30，COAO，AD=2AO=20，DM=OM=10.连接MB，AB是直径，AMB=90，COAO，AOD=90，A=A，ADOABM，AO=10，AM=12，AD=,DM=AD-AM=（2）当点M位于之间时，连接BM，如图：AB是直径，AMB=90，DMC+CMB=90，CMB=COB=45，CMD=45；当点M位于之间时，连接BM、AC，如图：四边形ACMB为圆内接四边形，CMB+CAO=180，COAO，AOD=90，ACO为等腰之间三角形，CAO=45，AMB=90，DMC=180-90-45=45.综上所述，CMD=45.【知识点】圆内接四边形；圆周角定理；等边三角形的性质；含30直角三角形的性质4. （2018福建A卷，24，12）如图1，四边形ABCD内接于O，AC为直径，DEAB交AB于点E，交O于点F(1)延长DC、FB交于点P，求证：PB=PC；(2) 如图2，过点B作BGAD于点G，交DE于H若AB=，DH=1，OHD=80，求EDB的度数EE(图2)【思路分析】（1）利用直径所对的圆周角为直角，推出DEA=ABC，判定出BE、DF的位置关系，进而得出F=PBC，再根据“同角的补角相等”证得PCB=F，代换出PCB、PBC的关系，就可得出结论PB=PC；（2）先判定四边形DHBC是平行四边形，利用正弦函数求得ACB度数，然后根据等腰三角形性质和平行线性质计算出EDB的度数.【解题过程】解：（1）AC是O的直径，ABC=90，DEAB，DEA=90，DEA=ABC，BEDF，F=PBC，四边形BCDF是圆内接四边形，F+DCB=180，又PCB+DCB=180，PCB=F，PCB=PBC，PC=PB；（2）如图2，连结OD，AC是O的直径，ADC=90，BGAD，AGB=90，ADC=AGB，BGDC，又BCDE，四边形DHBC为平行四边形，BC=DH=1,在ABC中，AB=，ACB=60，从而BC=AC=OD，DH=OD，在等腰三角形DOH中，DOH=OHD=80，ODH=20，设DE交AC于N，BCDE，ONH=ACB=60，NOH=180-（ONH+OHD）=40，DOC=DOH-NOH=40，OA=OD，OAD=DOC=20，则CBD=OAD=20，BCDE，BDE-CBD=20.【知识点】等腰三角形的性质；圆；平行线判定及性质，直角三角形性质5. （2018福建B卷，24，12）如图,D是ABC外接圆上的动点,且B,D位于AC的两侧,DEAB,垂足为E,DE的延长线交此圆于点F,BGAD,垂足为G,BG交DE于点H,DC,FB的延长线交于点P,且PC=PB.(1)求证:BGCD;(2)设ABC的外接圆的圆心为O,若AB=DH, OHD=80,求BDE的大小.【思路分析】（1）先利用等腰三角形性质、圆内接四边形性质推出角相等，从而证得BC、DF的位置关系，再利用平行线性质证得ABC=90，得出AC是圆的直径，由此可计算出ADC度数，再由BGAD，即可证得结论；（2）先判定四边形DHBC是平行四边形，利用正弦函数求得ACB度数，分别判断出BC、AC和DH、AC的数量关系，再分两种情况讨论，利用根据等腰三角形性质计算出EDB的度数.【解题过程】解：（1）PC=PB，PCB=PBC，四边形ABCD是圆内接四边形，BAD+BCD=180，又PCB+BCD=180，PCB=BAD，BAD=BFD，BFD=PCB=PBC，BCDF，DEAB，DEB=90，ABC=90，AC是圆的直径，ADC=90，BGAD，AGB=90，ADC=AGB，BGCD。（2）由（1）知BCDF，BGCD，四边形BCDH为平行四边形，BC=DH，在ABC中，AB=DH，ACB=60，BAC=30，ADB=60，BC=AC，DH=AC。（）当点O在DE的左侧时，如图1，作直径DM，连结AM，则DAM=90，AMD+ADM=90，DEAB，BED=90，ABD+BDE=90，AMD=ABD，ADM=BDE。DH=AC，DH=OD，DOH=OHD=80，ODH=20，ADB=60，ADM+BDE=40，ADM=BDE=20；（）当点O在DE的右侧时，如图2，作直径DN，连结BN，同（）可得ADE=BDN=20，ODH=20，BDE=BDN+ODH=40，综上，BDE =20或BDE=40。【知识点】等腰三角形的性质；平行线的判定及性质；圆周角的性质6.（2018广东省深圳市，22，？分）如图在O中，BC2，ABAC，点D为AC上的动点，且cosABC.(1)求AB的长度；(2)求ADAE的值；(3)过A点作AHBD，求证：BHCDDH.【思路分析】（1）过点A作AMBC于点M，由垂径定理可得BMMCBC1，再由cosABC即可求出AB的长度；（2）由ABAC，可得ABCACB，然后由圆内接四边形对角互补可证得ADCACE，从而证出EACCAD，从而求出ADAE的值；（3）在BD上取一点N，使得BNCD，可证得ABNACD，可得ANAD，再由等腰三角形三线合一的性质可得DHNH，即可证得BHCDDH.【解题过程】解：（1）过点A作AMBC于点M，ABAC，AMBC ，BC2，BMMCBC1，又cosABC，则在RtAMB中，即，解得AB；(2)连接CD，ABAC，ABCACB，四边形ABCD内接于O，ADCABC180，又ACEACB180，ADCACE，又EACDAC，EACCAD，即，ADAE10；（3）在BD上取一点N，使得BNCD，则在ABN和ACD中，ABNACD（SAS），ANAD，又AHBD，DHNH，又BNCD，BHBNNHCDDH.【知识点】锐角的三角函数；圆周角定理的推论；垂径定理；等腰三角形的性质；相似三角形的性质和判定；全等三角形的性质和判定7. （2018河南，22，10分）（1）问题发现如图1,在OAB和OCD中,OA=OB,OC=OD,AOB=COD=40,连接AC,BD交于点M填空：的值为 ；AMB的度数为 （2）类比探究如图2,在OAB和OCD中, AOB = COD = 90,OAB=OCD=30, 连接AC交BD的延长线于点M请判断的值及AMB的度数,并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下,将OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M若OD=1, OB=,请直接写出当点C与点M重合时AC的长【思路分析】(1)依据条件，构造三角形全等，得到对应边相等，比值为1;对应角相等,再根据三角形内角和为180，求出AMB的度数.或者由题意可知OAC可由OBD旋转而得到，所以根据对应边所在直线夹角等于旋转角这一性质得到AMB的度数.(2)首先由含30角的直角三角形的三边关系得到.由（1）中三角形全等过渡到第二问三角形相似（根据两边对应成比例且夹角相等两三角形相似），得到=.且对应角相等，即CAO=BOD,再根据三角形内角和得到AMD=AOB=90.（3）画出符合要求的图形
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