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轴对称、平移与旋转一、选择题1.下列图形中一定是轴对称图形的是（ ） A.B.C.D.【答案】D 【解析】 A、40的直角三角形不是轴对称图形，故不符合题意；B、两个角是直角的四边形不一定是轴对称图形，故不符合题意；C、平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故不符合题意；D、矩形是轴对称图形，有两条对称轴，故符合题意，故答案为：D.【分析】把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形就是轴对称图形；根据轴对称图形的定义，再一一判断即可。2.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A.正三角形B.菱形C.直角梯形D.正六边形【答案】C 【解析】 ：A.正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故正确，A符合题意；B.菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故错误，B不符合题意；C.直角梯形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误，C不符合题意；D.正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故错误，D不符合题意；故答案为：A.【分析】根据轴对称图形和中心对称图形定义一一判断对错即可得出答案.3.将抛物线y=-5x +l向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为（ ）. A.y=-5(x+1) -1B.y=-5(x-1) -1C.y=-5(x+1) +3D.y=-5(x-1) +3【答案】A 【解析】 ：将抛物线y=-5x+l向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为：y=-5（x+1）2+1再向下平移2个单位长度得到的抛物线为：y=-5(x-1)+1-2即y=-5(x+1)-1故答案为：A【分析】根据二次函数图像的平移规律：上加下减，左加右减，将抛物线y=ax2向上或向下平移m个单位，再向左或向右平移n个单位即得到y=a（xn）2m。根据平移规则即可得出平移后的抛物线的解析式。即可求解。4.在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是（ ） A.B.C.D.【答案】C 【解析】 ：点 关于原点对称的点的坐标为（3,5）故答案为：C【分析】根据关于原点对称点的坐标特点是横纵坐标都互为相反数，就可得出答案。5.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）. A.B.C.D.【答案】C 【解析】 ：A、此图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，因此A不符合题意；B、 此图案是中心对称图形，不是轴对称图形，因此B不符合题意；C、 此图案是轴对称图形，也是中心对称图形，因此C符合题意；D、 此图案是轴对称图形，不是中心对称图形，因此D不符合题意；故答案为：C【分析】根据中心对称图形是图形绕某一点旋转180后与原来的图形完全重合，轴对称图形是一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，对各选项逐一判断即可。6.在平面直角坐标系中，以原点为对称中心，把点A（3，4）逆时针旋转90，得到点B，则点B的坐标为（ ） A.（4，-3）B.（-4，3）C.（-3，4）D.（-3，-4）【答案】B 【解析】 ：如图：由旋转的性质可得：AOCBOD，OD=OC，BD=AC，又A（3,4），OD=OC=3，BD=AC=4，B点在第二象限，B（-4,3）.故答案为：B.【分析】建立平面直角坐标系，根据旋转的性质得AOCBOD，再由全等三角形的性质和点的坐标性质得出B点坐标，由此即可得出答案.7.下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A.B.C.D.【答案】C 【解析】 ：根据轴对称图形的概念，可知：选项C中的图形不是轴对称图形故答案为：C【分析】把一个图形沿着某条直线折叠，若直线两旁的部分能完全重合，则这个图形就是轴对称图形；根据定义即可一一判断。8.如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（ ）A.1条B.3条C.5条D.无数条【答案】C 【解析】 ：五角星有五条对称轴.故答案为：C.【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形,这条直线叫做对称轴。由此定义即可得出答案.9.如图，将一个三角形纸片 沿过点 的直线折叠，使点 落在 边上的点 处，折痕为 ，则下列结论一定正确的是（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 由折叠的性质知，BC=BE .故答案为：D【分析】根据折叠的性质可知BC=BE根据线段的和差及等量代换即可得出答案。10.如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（ ）A.主视图B.左视图C.俯视图D.主视图和左视图【答案】C 【解析】 ：主视图和左视图都是一个“倒T”字型，不是中心对称图形；而俯视图是一个“田”字型，是中心对称图形，故答案为：C.【分析】根据三视图的定义即可得出答案.11.如图，将ABC绕点C顺时针旋转90得到EDC 若点A ， D ， E在同一条直线上，ACB=20，则ADC的度数是（ ）A.55B.60C.65D.70【答案】C 【解析】 ：将ABC绕点C顺时针旋转90得到EDC ACE=90，AC=CE ， E=45，ADC是CDE的外角，ADC=E+DCE=45+20=65，故答案为：C。【分析】根据旋转的性质可知，旋转前后的两个图形是全等的，并且对应边的旋转角的度数是一样的。则ACE=90，AC=CE ， DCE=ACB=20，可求出E的度数，根据外角的性质可求得ADC的度数12.如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则ABC的面积为（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 ：ABC为等边三角形，BA=BC，可将BPC绕点B逆时针旋转60得BEA，连EP，且延长BP，作AFBP于点F如图，BE=BP=4，AE=PC=5，PBE=60，BPE为等边三角形，PE=PB=4，BPE=60，在AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，AE2=PE2+PA2 ， APE为直角三角形，且APE=90，APB=90+60=150APF=30，在直角APF中，AF= AP= ，PF= AP= 在直角ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+ ）2+（ ）2=25+12 则ABC的面积是 AB2= （25+12 ）=9+ 故答案为：A【分析】根据等边三角形的性质得出BA=BC，可将BPC绕点B逆时针旋转60得BEA，连EP，且延长BP，作AFBP于点F如图，根据旋转的性质得出BE=BP=4，AE=PC=5，PBE=60，从而根据有一个角是60的等腰三角形是等边三角形判断出BPE为等边三角形，根据等边三角形的性质得出PE=PB=4，BPE=60，在AEP中，由勾股定理的逆定理得出APE为直角三角形，且APE=90，根据角的和差及邻补角的定义得出APF=30，在直角APF中，根据含30角的直角三角形三边之间的关系得出AF,PF的长，在直角ABF中，根据勾股定理得出AB2的值，从而得出答案。二、填空题 13. 点A（2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标是_ 【答案】（2，1） 【解析】 ：点A（2，1）与点B关于原点对称， 点B的坐标是（2，1），故答案为：（2，1）【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案14.在平面直角坐标系中，将点（3,-2）先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得的点的坐标是_. 【答案】（5,1） 【解析】 ：点（3,-2）先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得的点的坐标为：（5,1）.故答案为：（5,1）.【分析】根据点坐标平移特征：右加上加，从而得出平移之后的点坐标.15.（2017百色）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0），将正方形OABC沿着OB方向平移 OB个单位，则点C的对应点坐标为_【答案】（1，3） 【解析】 ：在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0），OC=OA=2，C（0，2），将正方形OABC沿着OB方向平移 OB个单位，即将正方形OABC向右平移1个单位，再向上平移1个单位，点C的对应点坐标是（1，3）故答案为（1，3）【分析】将正方形OABC沿着OB方向平移 OB个单位，即将正方形OABC向右平移1个单位，再向上平移1个单位，根据平移规律即可求出点C的对应点坐标16.已知点 是直线 上一点，其横坐标为 .若点 与点 关于 轴对称，则点 的坐标为_. 【答案】（ ， ） 【解析】 ：点A在直线y=x+1上，其横坐标为 ，当x= 时，y= +1= ,点A（ ， ）.点B与点A关于y轴对称，点B（ ， ）故答案为：（ ， ）【分析】点A是直线y=x+1上的一点，由其横坐标求出点A的坐标，再根据关于y轴对称的性质“两点的横坐标是互为相反数”得到点B的坐标.17. 如图，已知直线l1l2 ， l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=4 ，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足ABl2 ， 且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=_【答案】4 【解析】 ：作PEl1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，连接QC交l2于B，作BAl1于A，此时PA+AB+BQ最短作QDPF于D在RtPQD中，D=90，PQ=4 ，PD=18，DQ= = ，AB=PC=8，ABPC，四边形ABCP是平行四边形，PA=BC，PA+BQ=CB+BQ=QC= = =4 故答案为4 【分析】作PEl1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，连接QC交l2于B，作BAl1于A，此时PA+AB+BQ最短作QDPF于D首先证明四边形ABCP是平行四边形，PA+BQ=CB+BQ=QC，利用勾股定理即可解决问题18.有五张卡片(形状、大小、质地都相同)，正面分别画有下列图形：线段；正三角形；平行四边形；等腰梯形；圆.将卡片背面朝上洗匀，从中任取一张，其正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是_ 【答案】【解析】 ：这5个图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形有其正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率： .【分析】根据题意得出5个图形中满足条件的只有2种，根据概率公式即可求解。19.如图，在矩形 中， ， ，将矩形 沿 折叠，点 落在 处，若 的延长线恰好过点 ，则 的值为_【答案】【解析】 ：由折叠知，AE=AE，AB=AB=6，BAE=90，BAC=90在RtACB中，AC= =8，设AE=x，则AE=x，DE=10x，CE=AC+AE=8+x在RtCDE中，根据勾股定理得：（10x）2+36=（8+x）2 ， x=2，AE=2在RtABE中，根据勾股定理得：BE= =2 ，sinABE= = 故答案为： 【分析】根据折叠的性质，可得出AE=AE，AB=AB=6，BAE=90，再根据勾股定理求出AC、AE、BE的长，然后利用锐角三角函数的定义，可求解。20.在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将ACD沿对角线AC折叠，点D落在ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则ADE的周长等于_【答案】10 【解析】 ：四边形ABCD是平行四边形，CD=AB=2由折叠，知：DC=CE=2,AE=AD=3ADE的周长为：3+3+2+2=10故答案为：10【分析】根据平行四边形的对边相等得出CD=AB=2，根据折叠的性质可知DC=CE=2,AE=AD=3，根据三角形的周长计算方法即可得出答案。21. 如图，在正方形ABCD中，AD=2 ，把边BC绕点B逆时针旋转30得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为_ 【答案】6 10 【解析】【解答】解：四边形ABCD是正方形， ABC=90，把边BC绕点B逆时针旋转30得到线段BP，PB=BC=AB，PBC=30，ABP=60，ABP是等边三角形，BAP=60，AP=AB=2 ，AD=2 ，AE=4，DE=2，CE=2 2，PE=42 ，过P作PFCD于F，PF= PE=2 3，三角形PCE的面积= CEPF= （2 2）（42 ）=6 10，故答案为：6 10【分析】根据旋转的想知道的PB=BC=AB，PBC=30，推出ABP是等边三角形，得到BAP=60，AP=AB=2 ，解直角三角形得到CE=2 2，PE=42 ，过P作PFCD于F，于是得到结论三、解答题 22.在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：（1）作出ABC向左平移4个单位长度后得到的A1B1C1 ， 并写出点C1的坐标；作出ABC关于原点O对称的A2B2C2 ， 并写出点C2的坐标； （2）已知ABC关于直线l对称的A3B3C3的顶点A3的坐标为（4，2），请直接写出直线l的函数解析式. 【答案】（1）解：如图所示， C1的坐标C1（-1,2）, C2的坐标C2（-3,-2）（2）解：A（2,4），A3（-4，-2），直线l的函数解析式：y=-x. 【解析】【分析】（1）利用正方形网格特征和平移的性质写出A、B、C对应点A1、B1、C1的坐标，然后在平面直角坐标系中描点连线即可得到A1B1C1.根据关于原点对称的点的特征得出A2、B2、C2的坐标，然后在平面直角坐标系中描点连线即可得到A2B2C2.（2）根据A与A3的点的特征得出直线l解析式.23.已知:在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点E，且ACBD,作BFCD垂足为点F,BF与AC交于点G.BGE=ADE.（1）如图1,求证:AD=CD； （2）如图2,BH是ABE的中线,若AE=2DE,DE=EG,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四个三角形,使写出的每个三角形的面积都等于ADE面积的2倍. 【答案】（1）证明:如图1ACBDAED=DEC=BEG=90BGE+EBG=90BFCDBFD=90BDF+EBG=90BGE=BDFBGE=ADEADE=BDFDE=DEADECDEAD=CD（2）解：ACD、ABE、BCE、GBH 【解析】【解答】（2）设DE=a，则AE=2DE=2a，EG=DE=a，SADE=AEDE=2aa=a2,BH是ABE的中线，AH=HE=a，AD=CD、ACBD，CE=AE=2a，则SADC=ACDE=（2a+2a）a=2a2=2SADE;在ADE和BGE中，,ADEBGE(ASA),BE=AE=2a，SABE=AEBE=(2a）2a=2a2,SACE=CEBE=(2a）2a=2a2,SBHG=HGBE=(a+a)2a=2a2,综上，面积等于ADE面积的2倍的三角形有ACD、ABE、BCE、GBH。【分析】（1）根据已知ACBD，可证得AED=DEC=90，根据直角三角形两锐角互余，得出EBG+BGE=90，再根据垂直的定义及直角三角形两锐角互余，可得出EBG+BDF=90，结合已知可证得ADE=BDF，然后根据全等三角形的判定定理，证明ADECDE，从而可证得结论。（2）根据（1）ADECDE，可得出ADC的面积为ADE面积的2倍；根据条件AE=2DE，可得出ABE的面积为ADE面积的2倍，根据轴对称图形，可得出ABEBCE；根据DE=EG，可得出GHB的面积等于ADE面积的2倍，综上所述，即可得出答案。24.如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=x，（1）当AM= 时，求x的值； （2）随着点M在边AD上位置的变化，PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值； （3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值. 【答案】（1）解：由折叠性质可知：BE=ME=x，正方形ABCD边长为1AE=1-x，在RtAME中，AE2+AM2=ME2 ， 即（1-x）2+ =x2 ， 解得：x= .（2）解：PDM的周长不会发生变化，且为定值2.连接BM、BP，过点B作BHMN，BE=ME，EBM=EMB，又EBC=EMN=90，即EBM+MBC=EMB+BMN=90，MBC=BMN，又正方形ABCD，ADBC，AB=BC，AMB=MBC=BMN，在RtABM和RtHBM中， ,RtABMRtHBM（AAS），AM=HM，AB=HB=BC，在RtBHP和RtBCP中， ,RtBHPRtBCP（HL），HP=CP，又CPDM=MD+DP+MP， =MD+DP+MH+HP， =MD+DP+AM+PC, =AD+DC, =2.PDM的周长不会发生变化，且为定值2.（3）解：过F作FQAB，连接BM，由折叠性质可知：BEF=MEF,BMEF，EBM+BEF=EMB+MEF=QFE+BEF=90,EBM=EMB=QFE，在RtABM和RtQFE中， ,RtABMRtQFE（ASA），AM=QE，设AM长为a，在RtAEM中，AE2+AM2=EM2,即（1-x）2+a2=x2,AM=QE= ,BQ=CF=x- ，S= （CF+BE）BC， = （x- +x）1， = （2x- ）,又（1-x）2+a2=x2,x= =AM=BE，BQ=CF= -a，S= （ -a+ ）1， = （a2-a+1）, = （a- ）2+ ，0a1，当a= 时，S最小值= . 【解析】【分析】（1）由折叠性质可知BE=ME=x，结合已知条件知AE=1-x，在RtAME中，根据勾股定理得（1-x）2+ =x2 ， 解得：x= .（2）PDM的周长不会发生变化，且为定值2.连接BM、BP，过点B作BHMN，根据折叠性质知BE=ME，由等边对等角得EBM=EMB，由等角的余角相等得MBC=BMN，由全等三角形的判定AAS得RtABMRtHBM，根据全等三角形的性质得AM=HM，AB=HB=BC，又根据全等三角形的判定HL得RtBHPRtBCP，根据全等三角形的性质得HP=CP，由三角形周长和等量代换即可得出PDM周长为定值2.（3）过F作FQAB，连接BM，由折叠性质可知：BEF=MEF,BMEF，由等角的余角相等得EBM=EMB=QFE，由全等三角形的判定ASA得RtABMRtQFE，据全等三角形的性质得AM=QE；设AM长为a，在RtAEM中，根据勾股定理得（1-x）2+a2=x2,从而得AM=QE= ,BQ=CF=x- ，根据梯形得面积公式代入即可得出S与x的函数关系式；又由（1-x）2+a2=x2,得x= =AM=BE，BQ=CF= -a（0a1），代入梯形面积公式即可转为关于a的二次函数，配方从而求得S的最小值.18
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