2018年中考数学考点总动员系列 专题26 三角形（含解析）

考点二十六：三角形 聚焦考点温习理解一、三角形 1、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。2、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。推论：三角形的两边之差小于第三边。（2）三角形三边关系定理及推论的作用：判断三条已知线段能否组成三角形当已知两边时，可确定第三边的范围。证明线段不等关系。3、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180。推论：直角三角形的两个锐角互余。三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。二、全等三角形 1、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）2.全等三角形的性质：三、等腰三角形1、等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60。2、等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。3、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。名师点睛典例分类考点典例一、三角形的性质【例1】（2017郴州第8题）小明把一副的直角三角板如图摆放，其中，则等于 （ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：=1+D，=4+F，+=1+D+4+F=2+D+3+F=2+3+30+90=210，故选B考点：三角形的外角的性质.【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，利用三角形的外角的性质：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可解决有关角的计算问题【例2】（2017贵州遵义第10题）如图，ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则AFG的面积是（）A4.5B5C5.5D6【答案】A.【解析】试题分析：点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，AD是ABC的中线，BE是ABD的中线，CF是ACD的中线，AF是ABE的中线，AG是ACE的中线，AEF的面积=ABE的面积=ABD的面积=ABC的面积=，同理可得AEG的面积=，BCE的面积=ABC的面积=6，又FG是BCE的中位线，EFG的面积=BCE的面积=，AFG的面积是3=，故选：A考点：三角形中位线定理；三角形的面积【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用【举一反三】1.（2017甘肃庆阳第6题）将一把直尺与一块三角板如图放置，若1=45，则2为（）A115B120C135D145【答案】C2.（2017湖南张家界第5题）如图，D，E分别是ABC的边AB，AC上的中点，如果ADE的周长是6，则ABC的周长是（）A6B12C18D24【答案】B考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理考点典例二、等腰三角形【例3】（2017湖北武汉第10题）如图，在中，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）A4 B5 C 6 D7【答案】C【解析】试题解析：以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，BCD就是等腰三角形；以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，ACE就是等腰三角形；以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，BCF就是等腰三角形；作AC的垂直平分线交AB于点H，ACH就是等腰三角形；作AB的垂直平分线交AC于G，则AGB是等腰三角形；作BC的垂直平分线交AB于I，则BCI是等腰三角形故选C. 考点：等腰三角形.【点睛】本题考查了画等腰三角形；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论【举一反三】1. （2017海南第13题）已知ABC的三边长分别为4、4、6，在ABC所在平面内画一条直线，将ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）条A3B4C5D6【答案】B.考点：等腰三角形的性质.2.（2016湖南湘西州第14题）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A13cm B14cm C13cm或14cm D以上都不对【答案】C.【解析】试题分析：分4cm为等腰三角形的腰和5cm为等腰三角形的腰两种情况：当4cm为等腰三角形的腰时，三角形的三边分别是4cm，4cm，5cm符合三角形的三边关系，周长为13cm；当5cm为等腰三角形的腰时，三边分别是，5cm，5cm，4cm，符合三角形的三边关系，周长为14cm，故答案选C.考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系考点典例三、全等三角形【例4】（2017湖南怀化第15题）如图，请你添加一个适当的条件：，使得.【答案】CE=BC本题答案不唯一【解析】试题解析：添加条件是：CE=BC，在ABC与DEC中，ABCDEC故答案为：CE=BC本题答案不唯一点：全等三角形的判定【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，证明三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，还有直角三角形的HL定理【举一反三】（2017湖南怀化第6题）如图，点在一条直线上，写出与之间的关系，并证明你的结论 【答案】证明见解析：【解析】试题分析：通过证明CDFABE，即可得出结论试题解析：CD与AB之间的关系是：CD=AB，且CDAB证明：CE=BF，CF=BE在CDF和BAE中 CDFBAECD=BA，C=BCDBA考点：全等三角形的判定与性质.考点典例四、相似三角形【例5】（2017哈尔滨第9题）如图，在中，分别为边上的点，点为边上一点，连接交于点，则下列结论中一定正确的是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：A、DEBC，ADEABC，故A错误；B、DEBC，故B错误；C、DEBC，故C正确；D、DEBC，AGEAFC，故D错误；故选C考点：相似三角形的判定与性质【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用BDE的面积表示出ABC的面积是解题的关键【举一反三】（2017甘肃兰州第13题）如图，小明为了测量一凉亭的高度(顶端到水平地面的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶(米，三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得米，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得米，小明身高米，则凉亭的高度约为( )A.米B.米C.米D.10米【答案】A.【解析】故选A点：相似三角形的应用考点典例五、位似三角形【例6】（2017黑龙江绥化第6题）如图， 是在点为位似中心经过位似变换得到的，若的面积与的面积比是，则为（ ）A B C D【答案】A【解析】考点：位似变换【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出是解题关键【举一反三】（2017甘肃兰州第17题）如图，四边形与四边形相似，位似中心点是，则.【答案】 【解析】试题解析：如图所示：四边形ABCD与四边形EFGH位似，OEFOAB，OFGOBC，考点：位似变换考点典例六：直角三角形【例7】（2017辽宁大连第8题）如图，在中，垂足为，点是的中点，则的长为（ ）A B C. D 【答案】B.考点：直角三角形斜边上的中线.【点睛】本题可以考查直角三角形的性质，观察图形根据条件能够看出CE是RtABC的斜边上的中线是解题的关键【例8】（2017甘肃兰州第3题）如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于( ) A.B.C.D.【答案】C考点：解直角三角形的应用坡度坡角问题【点睛】本题可以考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比边【举一反三】1.（2017江苏无锡第10题）如图，ABC中，BAC=90，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将ABD沿AD翻折得到AED，连CE，则线段CE的长等于（）A2BCD 【答案】D【解析】试题解析：如图连接BE交AD于O，作AHBC于H在RtABC中，AC=4，AB=3，BC=5，CD=DB，AD=DC=DB=，BCAH=ABAC，AH=，AE=AB，DE=DB=DC，AD垂直平分线段BE，BCE是直角三角形，ADBO=BDAH，OB=，BE=2OB=，在RtBCE中，EC= .故选D考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.直角三角形斜边上的中线；3.勾股定理2. （2017河池第12题）已知等边的边长为，是上的动点，过作于点，过作于点，过作于点.当与重合时，的长是（）A B C. D【答案】B.【解析】试题分析：设AD=x，根据等边三角形的性质得到A=B=C=60，由垂直的定义得到ADF=DEB=EFC=90，解直角三角形即可得到结论设AD=x，ABC是等边三角形，A=B=C=60，DEAC于点E，EFBC于点F，FGAB，ADF=DEB=EFC=90，AF=2x，CF=122x，CE=2CF=244x，BE=12CE=4x12，BD=2BE=8x24，AD+BD=AB，x+8x24=12，x=4，AD=4故选B 考点：等边三角形的性质；含30度角的直角三角形.课时作业能力提升一、选择题1. （2017甘肃庆阳第8题） 已知a，b，c是ABC的三条边长，化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为（）A2a+2b-2cB2a+2bC2cD0【答案】D【解析】试题解析：a、b、c为ABC的三条边长，a+b-c0，c-a-b0，原式=a+b-c+（c-a-b）=0故选D考点：三角形三边关系2. （2017贵州黔东南州第2题）如图，ACD=120，B=20，则A的度数是（）A120B90C100D30【答案】C【解析】试题解析：A=ACDB=12020=100，故选：C考点：三角形的外角性质3. （2017重庆A卷第8题）若ABCDEF，相似比为3：2，则对应高的比为（）A3：2B3：5C9：4D4：9【答案】A【解析】试题解析：ABCDEF，相似比为3：2，对应高的比为：3：2故选A考点：相似三角形的性质.4. （2017浙江嘉兴第2题）长度分别为，的三条线段能组成一个三角形，的值可以是（ ）ABCD 【答案】C.【解析】试题解析：由三角形三边关系定理得7-2x7+2，即5x9因此，本题的第三边应满足5x9，把各项代入不等式符合的即为答案4，5，9都不符合不等式5x9，只有6符合不等式，故选C考点：三角形的三边关系.5. （2017湖南株洲第5题）如图，在ABC中，BAC=x，B=2x，C=3x，则BAD=（）A145B150C155D160【答案】B.【解析】试题分析：在ABC中，B+C+BAC=180，BAC=x，B=2x，C=3x，6x=180，x=30，BAD=B+C=5x=150，故选B考点：三角形内角和定理6. （2017湖南株洲第10题）如图示，若ABC内一点P满足PAC=PBA=PCB，则点P为ABC的布洛卡点三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（ALCrelle 17801855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 18451922）重新发现，并用他的名字命名问题：已知在等腰直角三角形DEF中，EDF=90，若点Q为DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（）A5B4C3+ D2+【答案】D.【解析】试题分析：如图，在等腰直角三角形DEF中，EDF=90，DE=DF，1=2=3，1+QEF=3+DFQ=45，QEF=DFQ，2=3，DQFFQE，DQ=1，FQ=，EQ=2，EQ+FQ=2+，故选D.考点：旋转的性质；平行线的判定与性质；等腰直角三角形二、填空题7. （2017湖南常德第14题）如图，已知RtABE中A=90，B=60，BE=10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得CDE=30，则CD长度的取值范围是 【答案】0CD5考点：含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线8. （2017黑龙江齐齐哈尔第17题）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”如图，线段是的“和谐分割线”，为等腰三角形，和相似，则的度数为 【答案】113或92【解析】试题分析：BCDBAC，BCD=A=46，ACD是等腰三角形，ADCBCD，ADCA，即ACCD，当AC=AD时，ACD=ADC=67，ACB=67+46=113，当DA=DC时，ACD=A=46，ACB=46+46=92，故答案为113或92考点：1.相似三角形的性质；2.等腰三角形的性质9. （2017黑龙江绥化第20题）在等腰中，交直线于点，若，则的顶角的度数为 【答案】30或150或90【解析】试题分析：BC为腰，ADBC于点D，AD=BC，ACD=30，如图1，AD在ABC内部时，顶角C=30，如图2，AD在ABC外部时，顶角ACB=18030=150，BC为底，如图3，ADBC于点D，AD=BC，AD=BD=CD，B=BAD，C=CAD，BAD+CAD=180=90，顶角BAC=90，综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30或150或90考点：1.含30度角的直角三角形；2.等腰三角形的性质10. （2017黑龙江绥化第21题）如图，顺次连接腰长为2 的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第个小三角形的面积为 【答案】【解析】试题分析：记原来三角形的面积为s，第一个小三角形的面积为s1，第二个小三角形的面积为s2，s1= s= s，s2=s=s，s3=s，sn=s=22=.考点：1.三角形中位线定理；2.等腰直角三角形11. （2017湖北咸宁第16题）如图，在中，斜边的两个端点分别在相互垂直的射线上滑动，下列结论：若两点关于对称，则；两点距离的最大值为；若平分，则；斜边的中点运动路径的长为.其中正确的是 【答案】试题分析：在RtABC中，BC=2，BAC=30，AB=4，AC= ，若C、O两点关于AB对称，如图1，AB是OC的垂直平分线，则OA=AC=2；所以正确；如图1，取AB的中点为E，连接OE、CE，AOB=ACB=90，OE=CE=AB=2，当OC经过点E时，OC最大，则C、O两点距离的最大值为4；所以正确；如图2，同理取AB的中点E，则OE=CE，AB平分CO，OF=CF，ABOC，所以正确；如图3，斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以2为半径的圆周的，则：=所以不正确；综上所述，本题正确的有：；考点：三角形综合题三解答题12. （2017四川泸州第18题）如图，点A、F、C、D在同一条直线上，已知AF=DC，A=D，BCEF，求证：AB=DE【答案】证明见解析.【解析】试题分析：欲证明AB=DE，只要证明ABCDEF即可试题解析：AF=CD，AC=DF，BCEF，ACB=DFE，在ABC和DEF中，ABCDEF（ASA），AB=DE考点：全等三角形的判定与性质13. （2017江苏徐州第25题）如图，已知，垂足为，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接.（1）线段 ；（2）求线段的长度.【答案】（1）4；（2）. 【解析】试题分析：（1）证明ACD是等边三角形，据此求解；（2）作DEBC于点E，首先在RtCDE中利用三角函数求得DE和CE的长，然后在RtBDE中利用勾股定理求解试题解析：（1）AC=AD，CAD=60，ACD是等边三角形，DC=AC=4（2）作DEBC于点EACD是等边三角形，ACD=60，又ACBC，DCE=ACB-ACD=90-60=30，RtCDE中，DE=DC=2，CE=DCcos30=4，BE=BC-CE=3-2=RtBDE中，BD=考点：旋转的性质.14. （2017湖南株洲第22题）如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF求证：DAEDCF； 求证：ABGCFG【答案】.证明见解析；证明见解析.【解析】试题分析：由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS即可得证；由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到BAG=BCF，再由对顶角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证试题解析：正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，ADC=EDF=90，AD=CD，DE=DF，ADE+ADF=ADF+CDF，ADE=CDF，在ADE和CDF中，ADECDF；延长BA到M，交ED于点M，ADECDF，EAD=FCD，即EAM+MAD=BCD+BCF，MAD=BCD=90，EAM=BCF，EAM=BAG，BAG=BCF，AGB=CGF，ABGCFG考点：相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质15. （2017湖南常德第26题）如图，直角ABC中，BAC=90，D在BC上，连接AD，作BFAD分别交AD于E，AC于F（1）如图1，若BD=BA，求证：ABEDBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：GM=2MC；AG2=AFAC【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；证明见解析【解析】试题分析：（1）根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）过G作GHAD交BC于H，由AG=BG，得到BH=DH，根据已知条件设DC=1，BD=4，得到BH=DH=2，根据平行线分线段成比例定理得到，求得GM=2MC；过C作CNAD交AD的延长线于N，则CNAG，根据相似三角形的性质得到，由知GM=2MC，得到2NC=AG，根据相似三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；和差倍分16. （2017内蒙古呼和浩特第18题）如图，等腰三角形中，分别是两腰上的中线（1）求证：；（2）设与相交于点，点，分别为线段和的中点当的重心到顶点的距离与底边长相等时，判断四边形的形状，无需说明理由【答案（1）证明见解析；（2）四边形DEMN是正方形.【解析】试题分析：（1）根据已知条件得到AD=AE，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据三角形中位线的性质得到EDBC，ED=BC，MNBC，MN=BC，等量代换得到EDMN，ED=MN，推出四边形EDNM是平行四边形，由（1）知BD=CE，求得DM=EN，得到四边形EDNM是矩形，根据全等三角形的性质得到OB=OC，由三角形的重心的性质得到O到BC的距离=BC，根据直角三角形的判定得到BDCE，于是得到结论试题解析：（1）由题意得，AB=AC，BD，CE分别是两腰上的中线，AD=AC，AE=AB，AD=AE，在ABD和ACE中 ，ABDACE（ASA）BD=CE；考点：1.全等三角形的判定与性质；2.三角形的重心；3.等腰三角形的性质17. （2017上海第21题）如图，一座钢结构桥梁的框架是ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且ADBC（1）求sinB的值；（2）现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE=2AE，且EFBC，垂足为点F，求支架DE的长【答案】（1）sinB= ；（2）DE =5【解析】试题分析：（1）在RtABD中，利用勾股定理求出AB，再根据sinB=计算即可；（2）由EFAD，BE=2AE，可得 ,求出EF、DF即可利用勾股定理解决问题；考点：1.解直角三角形的应用；2.平行线分线段成比例定理.27