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考点四十：与圆有关的位置关系聚焦考点温习理解一、点和圆的位置关系设O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：dr点P在O外。二、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下： （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。如果O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与O相交 = dr；切线的判定和性质 ： （1）、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。如右图中，OD垂直于切线。切线长定理 ： （1）、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点 到圆的切线长。（2）、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。（3）、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。(4)、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。如图圆O是ABC的内切圆。三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。三、圆和圆的位置关系 1、圆和圆的位置关系如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。2、圆心距两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。3、圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么两圆外离dR+r两圆外切d=R+r两圆相交R-rdr）两圆内含dr）4、两圆相切、相交的重要性质如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。名师点睛典例分类考点典例一、直线与圆的位置关系【例1】（2017广西百色第11题）以坐标原点为圆心，作半径为2的圆，若直线与相交，则的取值范围是（ ） A B C. D【答案】D【解析】则若直线y=x+b与O相交，则b的取值范围是2b2故选D考点：1.直线与圆的位置关系；2.一次函数图象与系数的关系【点睛】考查了直线与圆的位置关系和一次函数的图象与性质，解题的关键是了解直线与圆的位置关系与d与r的数量关系【举一反三】在平面直角坐标系中，直线经过点A（3，0），点B（0，），点P的坐标为（1，0），与轴相切于点O，若将P沿轴向左平移，平移后得到（点P的对应点为点P），当P与直线相交时，横坐标为整数的点P共有（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】C【解析】考点典例二、切线的性质及判定【例2】（2017广西贵港第24题）如图，在菱形中，点在对角线上，且，是的外接圆. （1）求证：是的切线；（2）若求的半径.【答案】(1)证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）连结OP、OA，OP交AD于E，由PA=PD得弧AP=弧DP，根据垂径定理的推理得OPAD，AE=DE，则1+OPA=90，而OAP=OPA，所以1+OAP=90，再根据菱形的性质得1=2，所以2+OAP=90，然后根据切线的判定定理得到直线AB与O相切；（2）连结BD，交AC于点F，根据菱形的性质得DB与AC互相垂直平分，则AF=4，tanDAC=，得到DF=2，根据勾股定理得到AD=2，求得AE=，设O的半径为R，则OE=R，OA=R，根据勾股定理列方程即可得到结论试题解析：（1）连结OP、OA，OP交AD于E，如图，PA=PD，弧AP=弧DP，OPAD，AE=DE，1+OPA=90，OP=OA，OAP=OPA，1+OAP=90，四边形ABCD为菱形，1=2，2+OAP=90，OAAB，直线AB与O相切；（2）连结BD，交AC于点F，如图，四边形ABCD为菱形，DB与AC互相垂直平分，AC=8，tanBAC=，AF=4，tanDAC=，DF=2，AD=2，AE=，在RtPAE中，tan1=，PE=，设O的半径为R，则OE=R，OA=R，在RtOAE中，OA2=OE2+AE2，R2=（R）2+（）2，R=，即O的半径为考点：切线的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形【点晴】本题考查了圆的有关性质的综合应用，灵活运用知识解决问题是本题的解题关键【举一反三】（2017江苏徐州第16题）如图，与相切于点，线段与弦垂直，垂足为，则 【答案】60【解析】试题解析：OABC，BC=2，根据垂径定理得：BD=BC=1在RtABD中，sinA=A=30AB与O相切于点B，ABO=90AOB=60考点：切线的性质.考点典例三、圆和圆的位置关系【例3】如图，当半径分别是5和r的两圆O1和O2外切时，它们的圆心距O1O2=8，则O2的半径r为（）A12 B8 C5 D3【答案】D【解析】试题分析：根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和，得该圆的半径是8-5=3故选D考点：圆与圆的位置关系【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系.注意：两圆外切，圆心距等于两圆半径之和.【举一反三】如图，等圆O1和O2相交于A、B两点，O1经过O2的圆心O2，连接AO1并延长交O1于点C，则ACO2的度数为（ ）A60 B45 C30 D20【答案】C【解析】试题分析：如答图，连接O1O2，AO2，等圆O1和O2相交于A、B两点，O1经过O2的圆心O2，连接AO1并延长交O1于点C，AO1=AO2=O1O2.AO1O2是等边三角形.AO1O2=60.ACO2的度数为30故选C课时作业能力提升一选择题1（2016湖南湘西州第18题）在RTABC中，C=90，BC=3cm，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则C与直线AB的位置关系是（）A相交 B相切 C相离 D不能确定【答案】A考点：直线与圆的位置关系2. （2017浙江宁波第9题）如图，在中，以的中点为圆心分别与，相切于，两点，则的长为( )A.B.C.D.【答案】B.【解析】试题解析：如图，连接OD，OEAC，AB是圆O的切线OEAC，ODABO是BC的中点点E，点D分别是AC，AB的中点OE=AB，OD=ACOE=OD AC=ABBC=2由勾股定理得AB=2 OE=1的弧长=.故选B.3. （2017贵州如故经9题）如图，O的直径AB=4，BC切O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD的长为（）ABCD【答案】B【解析】试题解析：连接BDAB是直径，ADB=90OCAD，A=BOC，cosA=cosBOCBC切O于点B，OBBC，cosBOC=，cosA=cosBOC=又cosA=，AB=4，AD=故选B4. （2017江苏无锡第9题）如图，菱形ABCD的边AB=20，面积为320，BAD90，O与边AB，AD都相切，AO=10，则O的半径长等于（）A5B6C2 D3【答案】C.【解析】试题解析：如图作DHAB于H，连接BD，延长AO交BD于E菱形ABCD的边AB=20，面积为320，ABDH=32O，DH=16，在RtADH中，AH=12，HB=ABAH=8，在RtBDH中，BD=，设O与AB相切于F，连接AFAD=AB，OA平分DAB，AEBD，OAF+ABE=90，ABE+BDH=90，OAF=BDH，AFO=DHB=90，AOFDBH，OF=2故选C考点：1.切线的性质；2.菱形的性质 5.已知两圆半径分别为3、5，圆心距为8，则这两圆的位置关系为（ ）A. 外离 B. 内含 C. 相交 D. 外切【答案】D.【解析】考点：圆与圆的位置关系6. （2017四川自贡第10题）AB是O的直径，PA切O于点A，PO交O于点C；连接BC，若P=40，则B等于（）A20B25C30D40【答案】B.【解析】试题解析：PA切O于点A，PAB=90，P=40，POA=9040=50，OC=OB，B=BCO=25，故选B考点：切线的性质.7. （2016贵州遵义第12题）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，连接AC，P和Q分别是ABC和ADC的内切圆，则PQ的长是（）ABCD【答案】B【解析】试题分析：四边形ABCD为矩形，ACDCAB，P和Q的半径相等在RtBC中，AB=4，BC=3，AC=5，P的半径r=1连接点P、Q，过点Q作QEBC，过点P作PEAB交QE于点E，则QEP=90，如图所示在RtQEP中，QE=BC2r=32=1，EP=AB2r=42=2，PQ=故选B考点：三角形的内切圆与内心；矩形的性质二填空题8. （2016湖南永州第20题）如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM=d我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m如d=0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m=4，由此可知：（1）当d=3时，m=；（2）当m=2时，d的取值范围是【答案】（1）1；（2）0d3【解析】试题分析：（1）当d=3时，因32，即dr，直线与圆相离，则m=1，；（2）当m=2时，则圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为2，可得直线与圆相交或相切或相离，所以0d3，即d的取值范围是0d3.考点：直线与圆的位置关系9. （2017浙江衢州第15题）如图，在直角坐标系中，A的圆心A的坐标为（-1，0），半径为1，点P为直线上的动点，过点P作A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是_【答案】【解析】试题解析：连接AP，PQ，当AP最小时，PQ最小，当AP直线y=x+3时，PQ最小，A的坐标为（1，0），y=x+3可化为3x+4y12=0，AP=3，PQ=考点：1.切线的性质；2.一次函数的性质.10. （2017黑龙江齐齐哈尔第15题）如图，是的切线，切点为，是的直径，交于点，连接，若，则的度数为 【答案】80【解析】试题分析：AC是O的切线，C=90，A=50，B=40，OB=OD，B=ODB=40，COD=240=80考点：切线的性质11. （2017上海第17题）如图，已知RtABC，C=90，AC=3，BC=4分别以点A、B为圆心画圆如果点C在A内，点B在A外，且B与A内切，那么B的半径长r的取值范围是 【答案】8r10【解析】试题分析：如图1，当C在A上，B与A内切时，A的半径为：AC=AD=4，B的半径为：r=AB+AD=5+3=8；如图2，当B在A上，B与A内切时，A的半径为：AB=AD=5，B的半径为：r=2AB=10；B的半径长r的取值范围是：8r10故答案为：8r10考点：1.圆与圆的位置关系；2.点与圆的位置关系；3.勾股定理.三、解答题12. （2017浙江衢州第19题）如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D。连结OD，作BECD于点E，交半圆O于点F。已知CE=12，BE=9（1）求证：CODCBE；（2）求半圆O的半径的长【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】试题分析：试题解析： （1）CD切半圆O于点D，CDOD，CDO=90，BECD，E=90=CDO，又C=C，CODCBE考点：1. 切线的性质；2.相似三角形的判定与性质.13. （2017山东德州第20题）如图，已知RtABC,C=90，D为BC的中点.以AC为直径的圆O交AB于点E.（1）求证：DE是圆O的切线.(2)若AE:EB=1:2,BC=6，求AE的长.【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】：试题分析：利用思路：知（连）半径，证垂直，证明DE是圆O的切线；利用射影定理或相似三角形证明：BE2=BEBA,再列方程，求AE的长.试题解析：(1)如图所示，连接OE，CEAC是圆O的直径AEC=BEC=90D是BC的中点EDBCDC1=2OE=OC3=41+3=2+4,即OED=ACDACD=90OED=90,即OEDE又E是圆O上的一点DE是圆O的切线.（2）由（1）知BEC=90在RtBEC与RtBCA中，B为公共角，BECBCA即BC2=BEBA AE:EB=1：2，设AE=x，则BE2x，BA=3x.又BC=662=2x3xx=,即AE=.考点：圆切线判定定理及相似三角形14. （2017甘肃庆阳第27题）如图，AN是M的直径，NBx轴，AB交M于点C（1）若点A（0，6），N（0，2），ABN=30，求点B的坐标；（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是M的切线【答案】(1) B（，2）(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）在RtABN中，求出AN、AB即可解决问题；（2）连接MC，NC只要证明MCD=90即可试题解析：（1）A的坐标为（0，6），N（0，2），AN=4，ABN=30，ANB=90，AB=2AN=8，由勾股定理可知：NB=，B（，2）MCN+NCD=90，即MCCD直线CD是M的切线考点：切线的判定；坐标与图形性质15. （2017江苏盐城第25题）如图，在平面直角坐标系中，RtABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，F与y轴相交于另一点G（1）求证：BC是F的切线；（2）若点A、D的坐标分别为A（0，-1），D（2，0），求F的半径；（3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论【答案】（1）证明见解析；（2）F的半径为；（3）AG=AD+2CD证明见解析.试题解析：（1）连接EF，AE平分BAC，FAE=CAE，FA=FE，FAE=FEA，FEA=EAC，FEAC，FEB=C=90，即BC是F的切线；（2）连接FD，设F的半径为r，则r2=（r-1）2+22，解得，r=，即F的半径为；考点：圆的综合题23
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