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考点十五直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线一、选择题1(2019陕西宝鸡中学二模)若直线x(1m)y20与直线mx2y40平行，则m的值是()A1 B2 C1或2 D答案A解析当m1时，两直线分别为x20和x2y40，此时两直线相交，不符合题意当m1时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得解得m1，故选A.2(2019湖北黄冈调研)过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为()Ayx1 Byx3C2xy0或xy3 D2xy0或xy1答案C解析当直线过原点时，方程为y2x，即2xy0；当直线不过原点时，设直线的方程为xyk，把点(1,2)代入直线的方程可得k3，故直线方程是xy30.综上可得所求的直线方程为2xy0或xy30，故选C.3(2019东北三省三校第二次模拟)圆x24xy20与圆x2y24x30的公切线共有()A1条 B2条 C3条 D4条答案D解析x24xy20(x2)2y222，圆心坐标为(2,0)，半径为2；x2y24x30(x2)2y212，圆心坐标为(2,0)，半径为1.两圆圆心距为4，两圆半径和为3，因为43，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条，故选D.4(2019河北邯郸一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m，跨径为12 m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()A. m B. m C. m D. m答案D解析以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y轴建立直角坐标系xOy，结合题意可知，该抛物线x22py(p0)经过点(6，5)，则3610p，解得p，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为p，故选D.5已知双曲线1的离心率为，则a的值为()A1 B2 C1或2 D1答案C解析当焦点在x轴上时，a0,2a20，e22，解得a1，当焦点在y轴上时，a0，2a20)上的点A(x0，)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于()A. B1 C. D2答案D解析由题意3x0x0，x0，则2，p0，p2.8已知椭圆C：y21与动直线l：2mx2y2m10(mR)，则直线l与椭圆C交点的个数为()A0 B1 C2 D不确定答案C解析由题2mx2y2m10，即m(2x2)12y0可知直线l过定点，将代入y2，得b0)，由题意得解得a2，b1，所以椭圆C的方程为y21.12过抛物线y24x的焦点且倾斜角为60的直线被圆x2y24x4y0截得的弦长是_答案解析依题意，抛物线的焦点坐标是(1,0)，相应的直线方程是y(x1)，即xy0.题中的圆(x2)2(y2)216的圆心坐标是(2，2)、半径为4，则圆心(2，2)到直线xy0的距离d，因此所求的弦长为2.三、解答题13过原点O作圆x2y28x0的弦OA.(1)求弦OA的中点M的轨迹方程；(2)延长OA到N，使|OA|AN|，求点N的轨迹方程解(1)设M的坐标为(x，y)，则A(2x,2y)，因为点A在圆x2y28x0上，所以(2x)2(2y)216x0，即x2y24x0.因此点M的轨迹方程为x2y24x0.(2)设N(x，y)，|OA|AN|，A为线段ON的中点，A，又A在圆x2y28x0上，224x0，即x2y216x0.因此，点N的轨迹方程为x2y216x0.14(2019安徽合肥第二次质检)已知点A(1,0)和动点B，以线段AB为直径的圆内切于圆O：x2y24.(1)求动点B的轨迹方程；(2)已知点P(2,0)，Q(2，1)，经过点Q的直线l与动点B的轨迹交于M，N两点，求证：直线PM与直线PN的斜率之和为定值解(1)如图，设以线段AB为直径的圆的圆心为C，取A(1，0)依题意，圆C内切于圆O，设切点为D，则O，C，D三点共线，O为AA的中点，C为AB的中点，|AB|2|OC|.|BA|BA|2|OC|2|AC|2|OC|2|CD|2|OD|4|AA|2，动点B的轨迹是以A，A为焦点，长轴长为4的椭圆，设其方程为1(ab0)，则2a4,2c2，a2，c1，b2a2c23，动点B的轨迹方程为1.(2)证明：当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x2，此时直线l与椭圆1相切，与题意不符当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y1k(x2)由消去y整理得(4k23)x2(16k28k)x16k216k80.直线l与椭圆交于M，N两点，(16k28k)24(4k23)(16k216k8)0，解得k0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C交于M，N两点，其中M在左支上，N在右支上若F2MNF2NM，则|MN|()A8 B8 C4 D4答案A解析由F2MNF2NM可知|F2M|F2N|.由又|MF2|MF1|4，|NF1|NF2|4，所以|NF1|MF1|MN|8，故选A.5抛物线C：y24x的焦点为F，N为准线上一点，M为y轴上一点，MNF为直角，若线段MF的中点E在抛物线C上，则MNF的面积为()A. B. C. D3答案C解析如图所示，不妨设点N在第二象限，连接EN，易知F(1,0)，因为MNF为直角，点E为线段MF的中点，所以|EM|EF|EN|，又E在抛物线C上，所以EN准线x1，E，所以N(1，)，M(0，2)，所以|NF|，|NM|，所以MNF的面积为.6抛物线y22px(p0)的焦点为F，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|8，则抛物线的方程为()Ay23x By24x Cy26x Dy28x答案C解析抛物线y22px(p0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线方程为y，联立直线与抛物线的方程，得3x25pxp20，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xAxB.所以|AB|xAxBp8，所以p3，所以抛物线的方程为y26x.7(2019山东四校联合考试)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的一点，MF1F2的内心为I，直线MI交x轴于点E，若2，则椭圆C的离心率是()A. B. C. D.答案B解析MF1F2的内心为I，连接F1I和F2I，则F1I为MF1F2的平分线，即，同理，所以2，即2，则e，故选B.8(2019广西桂林、崇左二模)过双曲线x21的右支上一点P分别向圆C1：(x2)2y24和圆C2：(x2)2y21作切线，切点分别为M，N，则|PM|2|PN|2的最小值为()A5 B4 C3 D2答案A解析圆C1：(x2)2y24的圆心为(2,0)，半径为r12，圆C2：(x2)2y21的圆心为(2,0)，半径为r21，设双曲线x21的左、右焦点为F1(2，0)，F2(2,0)，连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得|PM|2|PN|2(|PF1|2r)(|PF2|2r)(|PF1|24)(|PF2|21)|PF1|2|PF2|23(|PF1|PF2|)(|PF1|PF2|)32a(|PF1|PF2|)32(|PF1|PF2|)322c32435.当且仅当P为右顶点时，取得等号，故选A.二、填空题9两条渐近线所成的锐角为60，且经过点(，)的双曲线的标准方程为_答案x21或1解析因为两条渐近线所成的锐角为60，所以一条渐近线的倾斜角为30或60，斜率为或，方程为xy0或xy0.设双曲线的标准方程为x23y2(0)或3x2y2(0)，将点(，)代入可求得7，3.所以双曲线的标准方程为x21或1.10(2019河北邯郸一模)若圆C：x22n的圆心为椭圆M：x2my21的一个焦点，且圆C经过M的另一个焦点，则圆C的标准方程为_答案x2(y1)24解析由题意得，椭圆M：x21(m0)的一个焦点坐标为，另一个焦点在圆C上，所以解得m，n4，所以圆C的标准方程为x2(y1)24.11若圆x2y24x4y0上至少有三个不同的点到直线l：ykx的距离为，则直线l的斜率的取值范围是_答案2，2解析圆的方程可化为(x2)2(y2)28，其圆心为(2,2)，半径为2，当圆心(2,2)到直线kxy0的距离为时，有，整理得k24k10，解得k2，结合图形可知(图略)，为使圆x2y24x4y0上至少有三个不同的点到直线l的距离为，需有k2，212如图，F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点若|AB|BF2|AF2|345，则双曲线的离心率为_答案解析据题意设|AB|3x，|BF2|4x，|AF2|5x，故有ABBF2，又根据双曲线定义，得解得xa，|AF1|3a，故有|F1B|6a，|BF2|4a，|F1F2|2c，由勾股定理可得36a216a24c2，所以e.三、解答题13在直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的离心率为，点P在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率存在，纵截距为2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若直线AP，BP的斜率均存在，求证：直线AP，OP，BP的斜率依次成等差数列解(1)由，1及a2b2c2，得a2，b，c1，C：1.(2)证明：设l：ykx2，代入椭圆C的方程，知(34k2)x216kx40.0，k2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，kAPkBP3.kAPkBP2kOP，直线AP，OP，BP的斜率依次成等差数列14(2019湖北武汉高三阶段测试)已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，x轴上方的点M(2，m)在抛物线上，且|MF|，直线l与抛物线交于A，B两点(点A，B与M不重合)，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2.(1)求抛物线的方程；(2)当k1k22时，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标解(1)由抛物线的定义可知|MF|(2)，p1，抛物线的方程为y22x.(2)证明：由(1)可知，点M的坐标为(2,2)，当直线l的斜率不存在时，设直线l：xt，则可取A(t，)，B(t，)，k1k22，得t0，故A，B重合，舍去当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxb，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线l与抛物线方程联立得整理得k2x2(2kb2)xb20，(2kb2)24k2b28kb40，x1x2，x1x2，又k1k22，即(kx1b2)(x22)(kx2b2)(x12)2(x12)(x22)，2kx1x22k(x1x2)b(x1x2)2(x1x2)4b82x1x24(x1x2)8.将代入得，b2b22k(b1)0，即(b1)(b22k)0，得b1或b22k.当b1时，直线l为ykx1，此时直线恒过(0，1)；当b22k时，直线l为ykx2k2k(x2)2，此时直线恒过(2,2)(舍去)直线l恒过定点(0，1)
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