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考点十二数列综合问题一、选择题1若数列an满足an1an(1)nn，则数列an的前20项的和为()A100 B100 C110 D110答案A解析由an1an(1)nn，得a2a11，a3a43，a5a65，a19a2019，an的前20项的和为a1a2a19a20131910100.2(2019辽宁葫芦岛二模)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜据明代杨慎丹铅总录记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一”在某种玩法中，用an表示解下n(n9，nN*)个圆环所需的最少移动次数，an满足a11，且an则解下4个环所需的最少移动次数为()A7 B10 C12 D22答案A解析依题意a42a312(2a22)122(2a11)217，故选A.3(2019西藏拉萨中学第二次月考)数列an的前n项和为Sn，若a11，an13Sn(n1)，则a6()A344 B3441 C44 D441答案A解析由an13Sn得an3Sn1(n2)，两式相减得an1an3(SnSn1)3an，则an14an(n2)，又a11，a23S13a13，ana2qn234n2(n2)，即a6344，故选A.4等差数列an中，a1a2，a2a54，设bnan，x表示不超过x的最大整数，0.80，2.12，则数列bn的前8项和S8()A24 B20 C16 D12答案C解析由已知可得an1(n1)nb1b2b31，b4b52，b6b7b83S816.5已知数列an的各项均为正数，a12，an1an，若数列的前n项和为5，则n()A35 B36 C120 D121答案C解析用裂项相消法求数列的前n项和因为an1an，所以aa4，所以数列a是首项为4，公差为4的等差数列，所以a4n，因为数列an的各项均为正数，所以an2，所以()，所以Sn()()()()(1)5，解得n120，故选C.6(2019安徽宣城第二次调研)已知正项等比数列an满足a9a82a7，若存在两项am，an，使得aman2a，则的最小值为()A2 B. C3 D3答案C解析设等比数列的公比为q(q0)，a9a82a7，a7q2a7q2a7，q2q20，q2或q1(舍去)，存在两项am，an使得aman2a，aqm1n12a，2mn22，mn21，mn3，(mn)93，当且仅当m1，n2时等号成立故选C.7(2019浙江三校联考二)已知数列an满足a1a0，an1atan(nN*)，若存在实数t，使an单调递增，则a的取值范围是()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)答案A解析由an单调递增，得an1atanan，又a1a0，则an0，所以tan1(nN*)n1时，ta1.n2时，ta2ta1，即(a1)t1，式等价于ta1，与式矛盾，不符合题意排除B，C，D，故选A.8已知数列an满足a1a2a3an2n2(nN*)，且对任意nN*都有t，则t的取值范围为()A. B.C. D.答案D解析数列an满足a1a2a3an2n2(nN*)，当n1时，a12；当n2时，a1a2a3an12(n1)2，可得an22n1，数列为等比数列，首项为，公比为.，对任意nN*都有a91a1a2a7，即a8为数列an的最大项，故m8.11(2019湖南株洲二模)已知数列an的前n项和为Sn，a14,4Sna1a2an1(n1)，则an_.答案解析当n2时，由4Sna1a2an1，得4Sn1a1a2an，4Sn4Sn1an1，即4anan1，4(n2)，又4S14a1a1a2，a14，a212，当n2时，an124n234n1.又a14，不满足上式，所以所求通项公式为an12(2019山东聊城三模)我国古代的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1,2，9填入33的方格内，使三行、三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数1,2,3，n2填入nn个方格中，使得每行、每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n阶幻方记n阶幻方的对角线上的数字之和为Nn，如图三阶幻方的N315，那么N9的值为_答案369解析根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，N3(123456789)15，N4(12345678910111213141516)34，N5(12345678910111213141516171819202122232425)65，Nn(12345n2)，故N9941369.三、解答题13(2019辽宁丹东质量测试二)数列an中，a11，an1an2n1.(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和解(1)因为an1an2n1，所以当n2时，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a113(2n1)n2.由于a11满足ann2，所以所求an的通项公式为ann2.(2)因为bn，所以数列bn的前n项和为Tnb1b2bn.14(2019山东烟台适应性练习)已知数列an的前n项和Sn满足Sn2an2(nN*)，bn是等差数列，且a3b42b1，b6a4.(1)求an和bn的通项公式；(2)求数列(1)nb的前2n项和T2n.解(1)Sn2an2，当n1时，得a12，当n2时，Sn12an12，作差得an2an1(n2)，所以数列an是以2为首项，公比为2的等比数列，所以an2n.设等差数列bn的公差为d，由a3b42b1，b6a4，所以83db1,165db1，所以d3，b11，所以bn3n2.(2)T2n(bb)(bb)(bb)3(b1b2)3(b3b4)3(b2n1b2n)3(b1b2b2n)，又因为bn3n2，则T2n33n13(2n)218n23n. 一、选择题1已知数列bn满足b11，b24，bn2bncos2，则该数列的前23项的和为()A4194 B4195 C2046 D2047答案A解析由题意，得当n为奇数时，bn22bn，数列为以2为公比的等比数列，当n为偶数时，bn2bn1，数列为以1为公差的等差数列，S23(b1b3b23)(b2b4b22)1141212144554194.2(2019浙江金华十校模拟)等差数列an，等比数列bn，满足a1b11，a5b3，则a9能取到的最小整数是()A1 B0 C2 D3答案B解析设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，由a1b11，a5b3，可得14dq2，则a918d12(q21)2q211，可得a9能取到的最小整数是0，故选B.3中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则，例如周髀算经和易经里对二十四节气的晷(gu)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，下表为周髀算经对二十四节气晷影长的记录，其中115.1寸表示115寸1分(1寸10分)已知易经中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么易经中所记录的惊蛰的晷影长应为()A72.4寸 B81.4寸 C82.0寸 D91.6寸答案C解析设晷影长为等差数列an，公差为d，a1130.0，a1314.8，则130.012d14.8，解得d9.6，a6130.09.6582.0，易经中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸4已知数列an满足an若对于任意的nN*都有anan1，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.答案D解析对于任意的nN*都有anan1，数列an单调递减，即a1.又由题意知a9a8，即92，故a1.5已知数列an的首项a11，前n项和为Sn，且满足2an1Sn2(nN*)，则满足的n的最大值为()A9 B8 C7 D6答案A解析由2an1Sn2得2(Sn1Sn)Sn2，即Sn1Sn1，Sn12(Sn2)，且S12a121，所以Sn2n1，Sn2n1，所以1n，即n，4n9，所以n的最大值为9，故选A.6(2019陕西西安4月联考)已知函数f(x)，若等比数列an满足a1a20191，则f(a1)f(a2)f(a3)f(a2019)()A2019 B. C2 D.答案A解析f(x)，f(x)f2.a1a20191，f(a1)f(a2019)2，an为等比数列，则a1a2019a2a2018a1009a1011a1.f(a2)f(a2018)f(a1009)f(a1011)2，f(a1010)1，即f(a1)f(a2)f(a3)f(a2019)2100912019.7(2019江西新八校联考二)设等差数列an的前n项和为Sn，已知(a20171)20192019a2017(a20171)20212000，(a20201)20192019a2020(a20201)20212038，则S4036()A2020 B2038 C4034 D4036答案D解析由(a20171)20192019a2017(a20171)20212000得(a20171)20192019(a20171)(a20171)202119，由(a20201)20192019a2020(a20201)20212038得(a20201)20192019(a20201)(a20201)202119，令f(x)x20192019xx2021，则式即为f(a20171)19，式即为f(a20201)19，又f(x)f(x)0，即f(x)是奇函数，则(a20171)(a20201)0，即a2017a20202，S40362018(a1a4036)2018(a2017a2020)4036.故选D.8(2019广东韶关模拟)已知数列an满足a1a2a3ann2n(nN*)，设数列bn满足bn，数列bn的前n项和为Tn，若Tn(nN*)恒成立，则实数的取值范围为()A. B.C. D.答案D解析因为a1a2a3ann2n，所以当n2时，a1a2a3an1(n1)2(n1)，则an2n，故an2n2(a12满足此式)，所以bn，则Tn，由于Tn(nN*)恒成立，故，因为y在nN*上单调递减，故当n1时，max，所以，故选D.二、填空题9(2019辽宁沈阳质量监测三)数列an的前n项和为Sn，且Sn2n1，则数列bna7an6的最小值为_答案6解析由Sn2n1，得a1S11，当n2时，anSnSn12n12n112n1，a11适合上式，an2n1.则bna7an62，当an4时，(bn)min26.10(2019辽宁沈阳东北育才学校第八次模拟)已知数列an中，a11，Sn是数列an的前n项和，且对任意的r，tN*，都有2，则an_.答案2n1解析若rn，tn1，nN*，则，令Snn2k，Sn1(n1)2k，则a1S1k1，Snn2，Sn1(n1)2，an1Sn1Sn(n1)2n22n12(n1)1，an2n1，经验证，n1时，满足an2n1，所以an2n1.11已知数列an的前n项和为Sn，数列an为，若Sk14，则ak_.答案解析因为，所以数列，是首项为，公差为的等差数列，所以该数列的前n项和Tn1.令Tn14，解得n7，所以ak.12(2019河北衡水四月大联考)历史上数列的发展折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，.即F(1)F(2)1，F(n)F(n1)F(n2)(n3，nN*)，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列bn，又记数列cn满足c1b1，c2b2，cnbnbn1(n3，nN*)，则c1c2c3c2019的值为_答案3解析记“兔子数列”为an，则数列an每个数被4整除后的余数构成一个新的数列bn为1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0，可得数列bn构成一周期为6的数列，由题意得数列cn为1,1,1,1，2，1,1,0,1,1，2，1,1,0,1,1，2，1，观察数列cn可知该数列从第三项开始后面所有的数列构成一周期为6的数列，且每一周期的所有项的和为0，所以c1c2c3c2019(c1c2)(c3c2018)c20191113.三、解答题13(2019河北石家庄二中二模)已知等比数列an满足anan1，a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)若bnanlogan，Snb1b2bn，求Sn.解(1)设等比数列an的首项为a1，公比为q.依题意得2(a32)a2a4，代入a2a3a428，得a38.因此a2a420，即有解得或又anan1，数列an单调递增，则故an2n.(2)bn2nlog2nn2n，Sn12222323n2n，2Sn122223324(n1)2nn2n1，得Sn222232nn2n1n2n12n1n2n12(1n)2n12.14(2019河北廊坊期中联合调研)已知数列an满足a12a23a3nan2.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)a12a23a3nan2，当n1时，a12；当n2，a12a23a3(n1)an12，nan2，可得an，又当n1时也成立，an.(2)bn，bn，Tn.
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