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专题五 解析几何第1讲直线与圆考情研析1.考查直线间的平行和垂直的条件，与距离有关的问题2.考查直线与圆相切和相交的问题，与直线被圆所截得的弦长有关的问题.核心知识回顾1.直线的斜率直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2)，其倾斜角为，则斜率ktan.2直线的两种位置关系3三种距离公式(1)两点间的距离：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB| .(2)点到直线的距离：点P(x0，y0)到直线AxByC0的距离d.(3)两平行线的距离：若直线l1，l2的方程分别为l1：AxByC10，l2：AxByC20(C1C2)，则两平行线的距离d.4圆的方程(1)标准方程：(xa)2(yb)2r2.(2)一般方程：方程x2y2DxEyF0表示圆的充要条件是D2E24F0，其中圆心是，半径r.5直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r.d与r的关系直线与圆的关系dr相离dr相切d0. 1在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，则满足|PA|2|PB|24且在圆x2y24上的点P的个数为()A0 B1 C2 D3答案C解析设P(x，y)，则由|PA|2|PB|24，得(x1)2y2x2(y1)24，所以xy20.求满足条件的点P的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离为3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条故选D(2)一条光线从点(1，1)射出，经y轴反射后与圆(x2)2y21相交，则入射光线所在直线的斜率的取值范围为()A BC D答案C解析由题意可知，反射光线必过(1，1)点，设反射光线斜率为k，则反射光线为kxyk10，由题意可知1，0k0)，若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为()A7 B6 C5 D4答案A解析由题意知，点P在以原点O(0,0)为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在圆C上，所以只要两个圆有交点即可圆心C(3,4)到O(0,0)的距离为5，所以|m2|5m2，解得3m7，即m的最大值为7.故选A2直线ykx3被圆(x2)2(y3)24截得的弦长为2，则k()A B C D答案A解析圆(x2)2(y3)24的圆心坐标为(2,3)，半径r2，圆心(2,3)到直线ykx3的距离d，直线ykx3被圆(x2)2(y3)24截得的弦长为2，由勾股定理得r2d22，即43，解得k.故选A3(2019朝阳区高三第一次模拟)已知圆C：(x2)2y22，直线l：ykx2，若直线l上存在点P，过点P引圆的两条切线l1，l2，使得l1l2，则实数k的取值范围是()A0,2)(2，)B2，2C(，0)D0，)答案D解析 圆心C(2,0)，半径r，设P(x，y)，因为两切线l1l2，如右图，PAPB，由切线性质定理，知PAAC，PBBC，|PA|PB|，所以四边形PACB为正方形，所以|PC|2，则有(x2)2y24，即点P的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆直线l：ykx2过定点(0，2)，直线方程即kxy20，只要直线l与P点的轨迹(圆)有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即d2，解得k0，即实数k的取值范围是0，)故选D真题押题真题模拟1(2019厦门模拟)“C2”是“点(1，)到直线xyC0的距离为3”的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件答案B解析若点(1，)到直线xyC0的距离为3，则有3，解得C2或C10，故“C2”是“点(1，)到直线xyC0的距离为3”的充分不必要条件，选B2(2019山东省高三第一次大联考)已知直线l：xy0与圆C：x2(y1)21相交于O，A两点，O为坐标原点，则COA的面积为()A B C D2答案A解析由题意，直线l，圆C均过原点，COA为等腰三角形，且|CO|CA|1，OCA60，所以SCOA|CO|CA|sinOCA12.故选A3(2019唐山市第一中学高三下学期冲刺(一)过点P(1，1)且不垂直于y轴的直线l与圆M：x2y22x30交于A，B两点，点C在圆M上，若ABC是正三角形，则直线l的斜率是()A B C D答案D解析根据题意得，圆M：x2y22x30即(x1)2y24，圆心M为(1,0)，半径r2，设正三角形ABC的高为h，由题意知M为正三角形ABC的中心，M到直线l的距离dh，又h|AB|，即d|AB|，由垂径定理可得d2r24，可得|AB|2，d1，由题意知设直线l的斜率存在且不为0，设为k，则直线l的方程为y1k(x1)，即kxyk10，则有1，解得k或0(舍去)故选D4(2019合肥市高三第二次教学质量检测)在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点(0,1)，(0,3)，且与x轴正半轴相切，若圆C上存在点M，使得直线OM与直线ykx(k0)关于y轴对称，则k的最小值为()A B C2 D4答案D解析圆C经过(0,1)，(0,3)，圆心在(0,1)，(0,3)的垂直平分线y2上，又圆C与x轴正半轴相切，圆的半径为2.设圆心坐标为(x0,2)，x00，由x(23)24，得x0，圆心坐标为(，2)，设OM的斜率为k0，因为k0，所以k00，当k0最大时k最小，设OM：yk0x(k00)引切线，若切线长的最小值为，则r的值为()A2 B C D1答案D解析从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，显然圆心(，0)到直线的距离最小时，切线长也最小圆心(，0)到直线yx1的距离为2，切线长的最小值为，解得r1或r1(舍去)，选D7已知P是直线kxy40(k0)上一动点，PA，PB是圆C：x2y22y0的两条切线，切点分别为A，B，若四边形PACB的最小面积为2，则k的值为()A3 B2 C1 D答案B解析S四边形PACB|PA|AC|PA|，可知当|CP|最小，即CPl时，其面积最小，由最小面积2得|CP|min，由点到直线的距离公式得|CP|min，因为k0，所以k2.选B 配套作业一、选择题1与直线3x2y70关于y轴对称的直线方程为()A3x2y70 B3x2y70C2x3y70 D3x2y70答案B解析由题知，与直线3x2y70关于y轴对称的直线方程是3(x)2y70，即3x2y70，故选B2已知直线3x4y30与直线6xmy140平行，则它们之间的距离是()A B C8 D2答案D解析，m8，直线6xmy140可化为3x4y70，两平行线之间的距离d2.3已知直线l经过圆C：x2y22x4y0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，则直线l的方程为()Ax2y50 B2xy50Cx2y50 Dx2y30答案C解析圆心C(1,2)，故kOC2，|OC|，所以lOC，kl，直线l的方程为y2(x1)，即x2y50，故选C4(2019芜湖市四校高二上学期期末联考)圆x2(y3)21上的动点P到点Q(2,3)的距离的最小值为()A2 B1 C3 D4答案B解析圆x2(y3)21上的动点P到点Q(2,3)的距离的最小值为圆心到点Q(2,3)的距离减去半径圆x2(y3)21的圆心坐标为C(0,3)，半径为r1，|CQ|r211，圆x2(y3)21上的动点P到点Q(2,3)的距离的最小值为1.故选B5集合A(x，y)|x2y22mxm24，B(x，y)|x2y22x2my8m2，若ABA，则实数m的范围是()A1,0 B(1,0) C0,1 D(0,1)答案A解析设A，B表示的两圆的圆心分别为C1，C2，由ABA，得AB，则圆(xm)2y24与圆(x1)2(ym)29的关系是内切或内含，则|C1C2|32，得m2m0，即1m0.6已知点P(1,2)和圆C：x2y2kx2yk20，过点P作圆C的切线有两条，则k的取值范围是()AkR BkCk0 Dk0，即k0.k2k920恒成立，k的取值范围是.7(2019内江、眉山等六市高三第二次诊断)若直线xmym0与圆(x1)2y21相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m的取值范围是()A(0,1) B(0,2)C(1,0) D(2,0)答案D解析圆与直线联立整理得(1m2)y22m(m1)ym22m0.直线与圆相交且有两个交点，方程有两个不相等的实数根，即0，4m2(m1)24(m22m)(m21)8m0，得m0.圆(x1)2y21上的点都在y轴右侧及原点，若要交点在两个象限，则交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限y1y20，解得2m0)，设p：00)上至多有两个点到直线xy30的距离为1，又圆心(1,0)到直线的距离d2，则r213，所以0r3，又p：00)与圆x2y24交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有2，那么k的取值范围是()A(，) B，2)C，) D，2)答案B解析根据题意得，圆x2y24的圆心为(0,0)，半径r2，设圆心到直线xyk0的距离为d，若直线xyk0(k0)与圆x2y24交于不同的两点A，B，则d2，则有k0)内一点，过点P的直线AB交圆C于A，B两点，若ABC面积的最大值为4，则正实数m的取值范围为_答案m解析圆的标准方程为(x1)2(ym)28，则圆心坐标为(1，m)，半径r2，SABCr2sinACB4sinACB，当ACB90时，ABC的面积取得最大值4，此时ABC为等腰直角三角形，ABr4，则点C到直线AB的距离等于2，故2PC2，即22，41m28，即3m20，m.14(2019宜宾市高三第二次诊断)已知直线l1：3xy60与圆心为M(0,1)，半径为的圆相交于A，B两点，另一直线l2：2kx2y3k30与圆M交于C，D两点，则AB的中点坐标为_，四边形ACBD面积的最大值为_答案5解析以M(0,1)为圆心，半径为的圆的方程为x2(y1)25，联立解得A(2,0)，B(1,3)，AB的中点坐标为.直线l2：2kx2y3k30恒过定点，要使四边形的面积最大，只需直线l2过圆心即可，即CD为直径，此时AB垂直CD，|AB|，四边形ACBD面积的最大值为S|AB|CD|25.
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