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考点十七推理与证明 一、选择题1(2019河北衡水质检四)利用反证法证明：若0，则xy0，假设为()Ax，y都不为0 Bx，y不都为0Cx，y都不为0，且xy Dx，y至少有一个为0答案B解析xy0的否定为x0或y0，即x，y不都为0，故选B.2(2019重庆巴蜀中学适应性月考七)某演绎推理的“三段”分解如下：函数f(x)lg x是对数函数；对数函数ylogax(a1)是增函数；函数f(x)lg x是增函数则按照演绎推理的三段论模式，排序正确的是()A BC D答案C解析大前提是，小前提是，结论是.故排列的次序应为，故选C.3若P，Q，a0，则P，Q的大小关系是()APQ BP0，Q0，所以Q.4观察下列各式：7249,73343,742401，则72020的末两位数字为()A01 B43 C07 D49答案A解析7249,73343,742401,7516807,76117649,77823543，即7n的末两位数分别为49,43,01,07，周期为4，又202050444，则72020的末两位数与74的末两位数相同，故选A.5设x，y，z(0，)，ax，by，cz，则a，b，c三数()A至少有一个不大于2 B都大于2C至少有一个不小于2 D都小于2答案C解析abcxyz2226，当且仅当xyz时，等号成立，所以a，b，c三数至少有一个不小于2，故选C.6如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，则照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是()答案A解析观察三个图案知，其规律是每次闪烁，三块黑色区域都顺时针旋转两个角故选A.7观察下列不等式：12，22，4，22，据此可以归纳猜想出的一般结论为()A.2(nN)B.2(nN)C.2(n2且nN*)D.2(n2且nN*)答案D解析12即为2，22即为2，4即为2，22即为2，故可以归纳猜想出的一般结论是：0，nN*)，若bmc，bnd(nm2，m，nN*)，则可以得到bmn_.答案解析设等比数列的首项为b1，公比为q0.则bmcb1qm1，bndb1qn1，bq(nm)(nm1)，所以b1qnm1bmn.三、解答题13设Sn为数列an的前n项和，给出如下数列：5,3,1，1，3，5，7，；14，10，6，2,2,6,10,14,18，.(1)对于数列，计算S1，S2，S4，S5；对于数列，计算S1，S3，S5，S7；(2)根据上述结果，对于存在正整数k，满足akak10的这一类等差数列an前n项和的规律，猜想一个正确的结论，并加以证明解(1)对于数列：S15，S28，S48，S55；对于数列：S114，S330，S530，S714.(2)akak10，2a1(12k)d，S2knSn(2kn)a1dna1d(2kn)(12k)(2kn)(2kn1)(12k)nn(n1)2k4k2n2nk4k22kn2k2nkn2nn2knn2n00.一、选择题1已知 2， 3， 4，依此规律，若 8，则a，b的值分别是()A48,7 B61,7 C63,8 D65,8答案C解析由 2， 3， 4，归纳可得 n ，故当n8时，b8，a82163，故选C.2(2019河北衡水十三中质检四)平面内的一条直线将平面分成2部分，两条相交直线将平面分成4部分，三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分，则平面内六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为()A16 B20 C21 D22答案D解析由题意得k条直线增加到k1条直线时增加k1个部分，所以平面内六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为65432222，选D.3平面内直角三角形两直角边长分别为a，b，则斜边长为 ，直角顶点到斜边的距离为.空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，类比推理可得底面积为 ，则三棱锥顶点到底面的距离为()A. B. C. D. 答案C解析设三条棱长分别为x，y，z，又因为三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，S1xy，S2yz，S3xz，则S2S3xyz2S1z2，z .类比推理可得底面积为，若三棱锥顶点到底面的距离为h，可知三棱锥体积为VS1 h ，h，故选C.4(2019北京通州一模)由正整数组成的数对按规律排列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，.若数对(m，n)满足(m21)(n23)2019，其中m，nN*，则数对(m，n)排在()A第351位 B第353位C第378位 D第380位答案B解析20193673(673为质数)，故或(m，nN*)，得mn28，在所有数对中，两数之和不超过27的有1232626351个，在两数之和为28的数对中，(2,26)为第二个第一个是(1,27)，故数对(2,26)排在第3512353位，故选B.答案A解析.6我国古代数学名著九章算术中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程x确定x2，则1()A. B. C. D.答案C解析设1x，则1x，即x2x10，解得x，故1，故选C.7面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i1,2,3,4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i1,2,3,4)，若k，则h12h23h34h4.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hi(i1,2,3,4)，若K，则H12H23H34H4()A. B. C. D.答案B解析根据三棱锥的体积公式VSH，得S1H1S2H2S3H3S4H4V，即KH12KH23KH34KH43V，所以H12H23H34H4.8下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的个数是()“数轴上两点间距离公式为|AB|，平面上两点间距离公式为|AB|”，类比推出“空间内两点间的距离公式为|AB|”；“代数运算中的完全平方公式(ab)2a22abb2”类比推出“向量中的运算(ab)2a22abb2仍成立”；“平面内两不重合的直线不平行就相交”类比到空间，“空间内两不重合的直线不平行就相交”也成立；“圆x2y21上点P(x0，y0)处的切线方程为x0xy0y1”，类比推出“椭圆1(ab0)上点P(x0，y0)处的切线方程为1”A1 B2 C3 D4答案C解析对于，根据空间内两点间距离公式可知，类比正确；对于，(ab)2(ab)(ab)a2abbab2a22abb2，类比正确；对于，在空间不平行的两直线，有相交和异面两种情况，类比错误；对于，椭圆1(ab0)上点P(x0，y0)处的切线方程为1为真命题综合上述，可知正确个数为3，故选C.二、填空题9观察下列等式：2212；222223；222234；222245；照此规律，2222_.答案解析观察前4个等式，由归纳推理可知222n(n1).10(2019全国卷改编)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测甲：我的成绩比乙高乙：丙的成绩比我和甲的都高丙：我的成绩比乙高成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人中成绩最高的是_答案甲解析若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲、乙、丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲、乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意11(2019山东淄博3月模拟)古代埃及数学中发现有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单分数和的形式例如，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够，每人，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得.形如(n2,3，4，)的分数的分解：，按此规律，_(n2,3,4，)答案解析通过分析题目所给的特殊项，的分解是由两个部分构成，第一个部分是，第二个部分是，故.12(2019山东威海二模)“克拉茨猜想”又称“3n1猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.已知正整数m经过6次运算后得到1，则m的值为_答案10或64解析如果正整数m按照上述规则经过6次运算得到1，则经过5次运算后得到的一定是2；经过4次运算后得到的一定是4；经过3次运算后得到的为8或1(不符合题意，舍去)；经过2次运算后得到的是16；经过1次运算后得到的是5或32；所以开始时的数为10或64.所以正整数m的值为10或64.三、解答题13先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a1，a2R，a1a21，求证：aa.证明：构造函数f(x)(xa1)2(xa2)2，则f(x)2x22(a1a2)xaa2x22xaa，因为对一切xR，恒有f(x)0，所以48(aa)0，从而得aa.(1)若a1，a2，anR，a1a2an1，请写出上述结论的推广式；(2)参考上述证法，对你推广的结论加以证明解(1)若a1，a2，anR，a1a2an1，则aaa.(2)证明：构造函数f(x)(xa1)2(xa2)2(xan)2，则f(x)nx22(a1a2an)xaaanx22xaaa，因为对一切xR，恒有f(x)0，所以44n(aaa)0，从而得aaa.
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