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2003年上海市普通高校春季高考数学试卷 (2003.12.20)一、填空题（本大题满分48分）1若复数满足，则的实部是_.2方程的解_.3在中，分别是、所对的边。若， 则_.4过抛物线的焦点作垂直于轴的直线，交抛物线于、两点，则以为圆心、 A B C V E 为直径的圆方程是_.5已知函数，则方程的解_.6如图，在底面边长为2的正三棱锥中，是的中点，若 的面积是，则侧棱与底面所成角的大小为_7在数列中，且对任意大于1的正整数，点在直线。 上，则_.。8根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第个图中有_个点.。（1） （2） （3） （4） （5）9一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇。若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是_（结果用分数表示）.10若平移椭圆，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与轴、轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是_.第0行 1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1 11如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_行中从左至右第14与第15个数的比为.12在等差数列中，当时，必定是常数数列。然而在等比数列中，对某些正整数、，当时，非常数数列的一个例子是_.二、填空题（本大题满分16分）13下列函数中，周期为1的奇函数是 （ ）（A） （B） （C） （D）14若非空集合，则“或”是“”的 （ ）（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件15在中，有命题；若，则为等腰三角形；若，则为锐角三角形.上述命题正确的是 （ ）（A） （B） （C） （D）16若，则下列不等式恒成立的是 （ ）（A） （B） （C） （D）三、解答题（本大题满分86分）17. 在直角坐标系中，已知点和点，其中. 若向量与垂直，求的值.18.已知实数满足不等式，试判断方程有无实根，并给出证明.19. 某市2003年共有1万辆燃油型公交车。有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？20.已知函数，（为正常数），且函数与的图象在轴上的截距相等。（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间；（3）若为正整数，证明：.21.已知倾斜角为的直线过点和点，在第一象限，.(1) 求点的坐标；(2)若直线与双曲线相交于、两点，且线段的中点坐标为，求的值；(3)对于平面上任一点，当点在线段上运动时，称的最小值为与线段的距离. 已知点在轴上运动，写出点到线段的距离关于的函数关系式.2003年上海市普通高校春季高考数学试卷参考答案一、填空题11 22 32 4 51 6 73 8 9 101134 12，与同为奇数或偶数二、选择题 13D 14B 15C 16B三、解答题17. 由，得，利用，化简后得，于是或，.18. 由，解得，. 方程的判别式.，由此得方程无实根.19.(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列，其中则在2010年应该投入的电力型公交车为（辆）。(2)记，依据题意，得。于是（辆），即，则有因此。所以，到2011年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的。20. (1) 证：； (2) 解：在斜三棱柱中，有，其中为 平面与平面所组成的二面角. 上述的二面角为,在中， 由于， 有.21.(1)由题意，又，所以。(2),当时，它在上单调递增；当时，它在上单调递增。(3)设，考查数列的变化规律：解不等式，由，上式化为,解得，因得，于是，而所以。22. (1) 直线方程为，设点，由及，得，点的坐标为。（2）由得，设，则，得。（3）(解法一)设线段上任意一点坐标为，记，当时，即时，当，即时，在上单调递减，；当，即时，在上单调递增，。综上所述，(解法二) 过、两点分别作线段的垂线，交轴于、，当点在线段上，即时，由点到直线的距离公式得：；当点的点在点的左边，时，；当点的点在点的右边，时，。综上所述，4
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