2018年秋九年级数学上册 第28章 圆本章总结提升 (新版)冀教版

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第28章 圆本章总结提升问题1垂径定理垂直于弦的直径有什么性质?这个性质与圆的轴对称性有什么关系?例1 赵州桥是我国建筑史上的一大创举,它距今约1400年,历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙如图28T1,若桥的跨度AB约为40米,主拱高CD约10米,则桥弧AB所在圆的半径R_米图28T1【归纳总结】与垂径定理有关的计算,通常需要作辅助线,常作的辅助线是连半径、作弦心距,从而构造直角三角形,利用勾股定理进行计算问题2弧、弦长、圆心角的关系及圆周角定理在同圆或等圆中,若两个圆心角相等,则它们所对的弧、弦有什么关系?这些关系和圆的中心对称性有什么联系? 同弧所对的圆周角和它所对的圆心角有什么关系? 圆的内接四边形有什么性质?例2 2017台州如图28T2,已知等腰直角三角形ABC,P是斜边BC上一点(不与点B,C重合),PE是ABP的外接圆O的直径(1)求证:APE是等腰直角三角形;(2)若O的直径为2,求PC2PB2的值图28T2【归纳总结】在解决与圆心角和圆周角有关的综合问题时,经常添加辅助线,利用同弧(或等弧)实现圆心角和圆周角之间的转化问题3弧长与扇形面积例3 2017咸宁如图28T3,O的半径为3,四边形ABCD内接于O,连接OB,OD.若BODBCD,则的长为()图28T3AB. C2 D3例4 如图28T4,用一个半径为30cm,面积为300cm2的扇形铁皮,制作一个无底的圆锥(不计损耗),则圆锥的底面圆的半径为()图28T4A5 cm B10 cm C20 cm D5 cm例5 如图28T5,在ABC中,ACB130,BAC20,BC4,以点C为圆心,CB长为半径的圆交AB于点D,交AC于点E.(1)求BD的长;(2)求阴影部分的面积图28T5【归纳总结】利用公式进行计算的关键是找到题目中的基本图形,找出扇形,利用已知条件确定公式中各个字母的值,然后利用公式进行计算问题4圆中的转化思想在圆的计算中,常常遇到求一个不规则图形的面积问题,你是怎么处理的?例6 2017贵阳如图28T6,C,D是半圆O上的三等分点,直径AB4,连接AD,AC,作DEAB,垂足为E,DE交AC于点F.(1)求AFE的度数;(2)求阴影部分的面积(结果保留和根号)图28T6【归纳总结】在有关圆的面积计算问题中,如果所求面积的图形是规则图形,按规则图形的面积公式去求,如果所求面积的图形是不规则图形,则需运用转化思想,把不规则图形的面积运用“割补法”“等积变形法”“平移法”“旋转法”等转化为规则图形的面积来求“滚动”中的数学数学来源于生活,滚动处处可见在千姿百态的滚动中,如果我们稍加留神,将会发现很多有趣的数学问题就在我们身边1沿直线滚动例1 如图28T7所示,一枚直径为d的硬币沿着一条直线l滚动一圈,圆心经过的距离是多少?图28T7解:圆心经过的距离是d.例2 如图28T8所示,边长为a的正方形四边贴着直线l向右“滚动”,当正方形“滚动”一周时,正方形的中心O经过的路程是多少?正方形的顶点A经过的路程又是多少?图28T8解:(1)如图28T9所示,当正方形四边贴着直线l “滚动”一周时,正方形的中心O所经过的路程为a4 a.图28T9(2)如图28T10所示,当正方形ABCD四边贴着直线l“滚动”一周时,顶点A所经过的路程为2 a22a.图28T102沿圆周滚动例3 如图28T11所示,已知两圆,其中大圆半径是小圆半径的5倍,将大圆固定(1)如果小圆在大圆外面贴着大圆边缘滚动一周,那么小圆自身旋转了几圈?(2)若小圆在大圆内部贴着大圆边缘无滑动地滚动一周,那么小圆自身旋转了几圈?图28T11解:(1)如图28T12所示,设小圆半径为R,则大圆半径为5R.当小圆在大圆外贴着大圆边缘滚动,自身旋转一周时,小圆圆心相对于大圆圆心的张角的度数为n,则2R,得n60.又因为360606,所以当小圆在大圆外贴着大圆滚动一周时,小圆自身旋转了6圈图28T12(2)如图28T13所示,设小圆自转一周时,小圆圆心相对于大圆圆心的张角的度数m,则2R,得m90,360904.所以当小圆在大圆内贴着大圆滚动一周时,小圆自身旋转了4圈图28T133沿正方形滚动例4 已知半径为1的O与边长为10的正方形ABCD,当O在正方形ABCD的内部沿四边无滑动地滚动一周时,O经过的面积是多少?当O在正方形ABCD的外部沿四边无滑动地滚动时,O经过的面积又是多少?解:当O在正方形ABCD内沿四边无滑动地滚动一周时,O所经过的面积为S102(104)2460.当O在正方形ABCD外沿四边无滑动地滚动一周时,O所经过的面积为S(104)21024804.4沿正多边形滚动例5 如图28T14所示,平面内一个正五边形与一个正方形的边长正好相等,在它们相接的地方形成一个完整的“苹果”图案,如果让正方形沿着正五边形的四周滚动,并且始终保持正方形和正五边形有两条边邻接,那么第一次恢复“苹果”的图案时,正方形要绕正五边形转_圈()图28T14A10B5 C4 D上述答案均不正确解析 C正方形有4条边,根据旋转的性质,可得当正方形绕正五边形转4圈时,第一次恢复“苹果”的图案教师详解详析【整合提升】例125解析 根据垂径定理,得ADAB20米设圆的半径是R,根据勾股定理,得R2202(R10)2,解得R25.故答案为25.例2解:(1)证明:ABAC,BAC90,CABC45,AEPABP45.PE是O的直径,PAE90,APEAEP45,APAE,APE是等腰直角三角形(2)ACAB,APAE,CABPAE90,CAPBAE,CAPBAE,PCEB.PE为O的直径,PBE90,PC2PB2EB2PB2PE2224.例3C解析 四边形ABCD内接于O,BCDA180.BOD2A,BODBCD,2AA180,A60,BOD120,的长为2.故选C.例4B解析 扇形的半径为30 cm,面积为300 cm2,扇形的圆心角为120(度),扇形的弧长为20(cm)圆锥的底面圆的周长等于它的侧面展开扇形的弧长,根据圆的周长公式,得2r20,解得r10,圆锥的底面圆的半径为10 cm.故选B.例5解:(1)如图,作CHAB于点H.由题意,知B180AACB1802013030.在RtBCH中,CHB90,B30,BC4,CHBC2,BHCH2.CHBD,DHBH,BD2BH4. (2)连接CD,如图所示BCDC,CDBB30,BCD120.由(1)知,BD4,CH2,S阴影S扇形BCDSCBD424,即阴影部分的面积为4.例6解:(1)连接OD,OC.C,D是半圆O上的三等分点, AODCOB18060.CABCOB30.DEAB,AFE903060.(2) 由题意及(1),可知OA2,DE2sin602,S阴影S扇形AODSAOD2,即阴影部分的面积为.11
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