资源描述
与圆的有关计算一、选择题1. 甘肃兰州，12，4分）如图，用个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ） Acm B2cm C3cm D5cm【答案】C【逐步提示】先明确重物上升的距离就是P旋转的圆弧长，再求出该弧长即可.【详细解答】解：当滑轮上一点P旋转了108时，重物上升的距离就是P旋转的弧长，h=l=3(cm)，故选择C.【解后反思】本题是有关弧长公式的应用题，解题的关键是能将实际问题转化为数学问题【关键词】弧长公式；转化思想 .2. （ 湖北省十堰市，9，3分）如图，从一张腰长为60厘米，顶角为120的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗）则圆锥的高为（ ）A. 10cm B.15cm C.10cm D.20cm.【答案】D 【逐步提示】本题主要考查解直角三角形、弧长计算、圆锥的侧面展开等计算问题；解题的关键是把一个扇形围成一个圆锥后，弄清圆锥的母线长、底面半径与原扇形弧长、半径之间的关系.解题思路：圆锥的侧面积展开后的扇形面积弧长半径 .【详细解答】解：如图，因为等腰三角形铁皮腰长为60厘米，顶角为120，所以剪出的最大的扇形OCD 的半径是30厘米，扇形的圆心角是120；因为围成的圆锥的底面周长是=20，设圆锥的底面半径为r， 所以2r= 20, r=10; h= 故选择D . 【解后反思】本题中的等腰三角形的计算、解直角三角形、扇形弧长的计算是重点；而把扇形围成圆锥，计算母线长、底面半径是园中计算的一个难点.归纳拓展：在圆锥的相关计算中，关键抓住以下几点：(1)圆锥的侧面展开图是扇形；(2)扇形的半径是圆锥的母线；(3)扇形的弧长是圆锥底面的周长在圆柱的侧面积计算中，关键抓住下面两点：(1)圆柱的侧面展开图是一个矩形，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面的周长，所以圆柱的侧面积等于底面的周长乘圆柱的高，即S圆柱侧2rh； (2)防止漏掉圆柱的底面积而出错 【关键词】解直角三角形；圆中的计算问题；弧长；扇形 ；圆锥的侧面积与全面积3. （江苏省无锡市，7，3分）已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面展开图的面积等于（ ）A24 cm2B48 cm2C24cm2 D12cm2【答案】C【逐步提示】本题考查了圆锥侧面积的求法，解题的关键是掌握侧面展开图与圆锥底面半径和母线之间的关联本题可以先求出圆锥的底面周长，即展开图扇形的弧长，然后套用扇形面积公式即可【详细解答】解：圆锥的底面半径为4cm，圆锥底面周长为8cm，所以S侧8624cm2，故选择C .【解后反思】（1）若O的半径为R，弧长为l，圆心角为n，则有如下公式：弧长公式l=；扇形面积公式S=（2）若圆锥的母线为l，底面半径为r，则圆锥的侧面积公式：S侧=rl（3）圆锥的侧面展开图是扇形，要注意扇形与圆锥间的联系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长【关键词】圆锥侧面展开图；扇形面积；二、填空题1. （ 安徽，13，5分）如图，已知O的半径为2，A为O外一点.过点A作O的一条切线AB，切点为B.AO的延长线叫O于点C.若BAC=300，则劣弧BC的长为 【答案】【逐步提示】连接OB，由切线的性质求出BOC的度数，然后代入弧长计算公式求解.【详细解答】解：如图，连接OB，AB是O的切线，ABO=900,BAC=300,AOB=600,BOC=1200, 劣弧BC的长为，故答案为 .【解后反思】弧长=,其中n是圆弧所对的圆心角的度数，R是圆弧所在圆的半径，求弧长应确定圆弧的圆心角n和半径R.另扇形面积=,其中n是扇形的圆心角，R是扇形的半径，是扇形的圆弧长.【关键词】圆的计算，弧长的计算公式2. （ 甘肃省天水市，17，4分）如图，在ABC中，BC6，以点A为圆心，2为半径的A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是优弧上的一点，且EPF50，则图中阴影部分的面积是_ABDCPEF【答案】6【逐步提示】本题考查了切线的性质，求扇形的面积，圆周角定理，解题的关键是1.连结AD，可得ADBC，则有AD2，这样就能求得ABC的面积2. 根据圆周角定理求得EAF2EPF100，而半径已知，就可求得扇形EAF的面积3. 根据阴影部分的面积ABC的面积扇形EAF的面积求解【详细解答】解：连结AD，ABDCPEFA与BC相切于点D，ADBC，AD2SABCBCAD626圆周角EPF与圆心角EAF对的是同一条弧，EPFEAF而EPF50，EAF2EPF100S扇形EAFS阴影SABCS扇形EAF6故答案为6【解后反思】求阴影部分面积时，一般考虑将不规则的阴影图形，割（或补）成几个规则图形的面积之和（或差），从而代入公式求值【关键词】圆心角、圆周角定理；切线的判定与性质；扇形与弓形；面积法3. （广东省广州市，15，3分）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB=12，OP=6，则劣弧AB()的长为 （结果保留）O A P B 【答案】8【逐步提示】根据弧长计算公式，要求劣弧AB()的长，需知道半径OB的长与圆心角ABO的大小于是连接OA与OB，在小圆O中，易得OPAB，则在大圆O中，有AP=PB，据此，通过解RtOPB，可求OB的长与POB的度数，进而可得AOB的度数，最后利用弧长公式计算求值即可【详细解答】解：连接OA，OB大圆的弦AB是小圆的切线，OPAB，根据垂径定理，得BP=AB=6在RtOBP中，OB=12，tanPOB=，POB=60OA=OB，OPAB，AOB=2POB=120劣弧AB()的长=8故答案为8O A P B 【解后反思】（1）n的圆心角所对的弧长为：l=，弧长l，圆心角度数n与半径R中，知其中两个量可求第三个量（2）圆的切线垂直于过切点的半径这样可把要求值的线段或角放在直角三角形中去解决【关键词】切线的性质；垂径定理；勾股定理；锐角三角形函数；弧长计算公式4. （贵州省毕节市，20，5分）如图，分别以边长等于1的正方形的四边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_ （第20题图）【答案】1【逐步提示】本题考查正方形的性质、扇形、弓形的面积算法，解题的关键是掌握扇形面积的计算公式及能将阴影部分转化为可求面积的图形之和或之差，再进一步求解【详细解答】解：由题意可知，阴影部分面积为8个完全相同的弓形的面积组成，而 81，故答案为1.【解后反思】此类问题容易出错的地方是不能正确表示阴影部分面积【关键词】扇形与弓形；转化思想；图景信息型5. （ 河南省，14，3分）如图，在扇形AOB中，AOB=90，以点A为圆心，OA的长为半径作交于点C. 若OA=2，则阴影部分的面积为_.【答案】【逐步提示】本题考查扇形面积公式、解直角三角形，解题的关键是把阴影部分的面积转化为几个规则图形面积的和差，特别是OAC是等边三角形.思路：阴影部分是不规则图形，求它的面积一般采用割补法转化为几个规则图形的面积和差，问题中的关键点是C点，连接OC，则S阴影=S扇形OBA-S扇形OCA-S弓形OC或阴影扇形弓形怎样确定扇形OCA的圆心角的大小呢？利用得是等边三角形可以确定CO=60，则BO=30，最后利用扇形面积公式和解直角间三角形求解扇形和弓形的面积.【详细解答】解：连接O和 ，OC=OA=，是等边三角形作于点在中，S弓形OC=S扇形AOC-SC=-=S阴影=S扇形OBA-S扇形OCA-S弓形OC=方法二：连接O和 ，OC=OA=，是等边三角形BOC=30作于点在中，S弓形OC=S扇形AOC-SC=-=阴影扇形弓形=（）= ，故答案为 .【解后反思】本题的重点是利用割补法确定规则图形难点是确定关键点和是等边三角形.一般思维模式是不规则图形的面积可采用割补法，利用规则图形的面积和差求解，构造了特殊角的直角三角形借助三角函数或勾股定理求它的高或高得面积，再确定扇形的圆心角，利用扇形面积公式求出扇形面积，从而求出阴影部分的面积【关键词】扇形面积的计算；等边三角形；弓形；解直角三角形；化归思想6.（ 湖北省黄石市，15，3分）如图所示，正方形ABCD对角线AC所在直线上有一点O，OAAC2，将正方形绕O点顺时针旋转60，在旋转过程中，正方形扫过的面积是_【答案】【逐步提示】本题考查了与圆有关的面积计算，解题的关键是正确表示出阴影部分的面积正方形扫过的面积可看成是正方形ABCD的面积扇形OCC的面积扇形OAA的面积【详细解答】解：S正方形扫过的面积S正方形ABCDS扇形OCCS扇形OAA，故答案为【解后反思】计算阴影部分的面积，如果阴影部分是不规则图形，一般运用割补法，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来计算【关键词】圆中的计算问题7. （湖北省荆州市，16，3分）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据计算这个几何体的表面积为 cm2【答案】4【逐步提示】本题考查了根据几何体的三视图判断几何体的形状以及圆锥的侧面积与全面积的计算公式，解题的关键是从三视图中获取物体的形状和数量关系【详细解答】解：根据俯视图可得该几何体的底面是圆，根据主视图和左视图都是等腰三角形可得侧面应该是锥体，所以该几何体是圆锥，根据几何体的三视图得原圆锥的底面直径为2、母线长为3，因此该几何体的几何体的表面积=圆锥的侧面积+ 圆锥的底面积=3+=4 ，故答案为4 .【解后反思】由视图到立体图形，根据视图想像出视图所反映的立体形状，我们称为读图读图的一般规律：（1）长、宽、高的关系：主视图和俯视图长度相等，主视图和左视图高度相等，俯视图和左视图宽度相等（2）上下、前后、左右的关系：读图时，可从主视图上分清物体各部分的上下和左右位置；从俯视图上分清物体各部分的左右和前后位置；从左视图上分清物体各部分的上下和前后位置【关键词】三视图的反向思维；圆锥的侧面积与全面积8. （湖南常德，14，3分）如图5，ABC是O的内接正三角形，O的半径为3则图中阴影部分的面积是 【答案】【逐步提示】本题考查了等边三角形的性质和扇形面积公式关键是利用等边三角形的性质求出AOB的度数，从而利用扇形面积公式求出阴影部分的面积【详细解答】解：ABC是O的内接正三角形，AOB120，S阴影=故答案为【解后反思】：设扇形的半径为r，圆心角为n，弧长为l，则扇形的面积为：或【关键词】等边三角形的性质；扇形面积公式9.（ 湖南省湘潭市，14，3分）如图，一个扇形的圆心角为90，半径为2，则该扇形的弧长是 .（结果保留）902【答案】【逐步提示】本题考查了弧长公式，解题的关键是熟记弧长公式，然后把圆心角、半径代入弧长公式求解即可【详细解答】解：扇形圆心角为90，半径为2，扇形的弧长为，故答案为.【解后反思】半径为r的圆中，n的圆心角所对的弧长为，要求出弧长关键弄清公式中各个字母的含义【关键词】弧长公式10. （ 年湖南省湘潭市，14，3分）如图，一个扇形的圆心角为90，半径为2，则该扇形的弧长为_.（结果保留）902【答案】【逐步提示】本题考查了弧长的计算公式，解题的关键是掌握扇形的弧长公式。先确定圆的半径和圆心角度数，再代入到扇形弧长的计算公式。【详细解答】解：扇形的圆心角为90，半径为2， ，故答案为 .【解后反思】弧长的计算公式是l=，其中n是圆弧所对的圆心角大小，R是圆弧所在圆的半径，要运用公式首先要找准圆心，找对半径.【关键词】圆；圆中的计算问题；弧长；11. （ 湖南省益阳市，12，5分）下图是一个圆柱体的三视图，由图中数据计算此圆柱体的侧面积为 （结果保留） 【答案】【逐步提示】由圆柱体的三视图可得底面直径为4，高为6，再根据圆柱的侧面积=底面圆的周长圆柱的高，代入相应数值求解即可【详细解答】解：由图可知立体图是圆柱，半径r=2，高h=6， 所以 ，故答案为.【解后反思】解决此类问题的关键是根据三视图确定几何体的形状，然后根据相应公式求解.圆柱的侧面积=底面圆的周长圆柱的高，圆柱的体积=底面圆的面积圆柱的高.【关键词】三视图；圆柱体的侧面展开图12. (湖南省岳阳市，11，4)在半径为6cm的圆中，120的圆心角所对的弧长是_cm.【答案】4【逐步提示】根据弧长公式，这里r=6，n=120，将相关数据代入弧长公式求解.【详细解答】=4，所以填：4。【解后反思】半径为r的圆中，n的圆心角所对的弧长为，要求出弧长关键弄清公式中各个字母的含义这类问题容易出错的地方是弧长公式和扇形面积公式S混淆面出错误。【关键词】弧长计算公式13. （ 江苏省淮安市，17，3分）若一个圆锥的底面圆的半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角为【答案】120【逐步提示】本题考查了与圆锥的侧面积有关的计算，掌握圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长、扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键【详细解答】解：设扇形的圆心角为n，则22解得n120，故答案为 120 【解后反思】如果扇形的半径为R，圆心角为n，那么扇形弧长l，面积的计算公式为：S扇形如果扇形所对的弧长为l，扇形的半径为R，那么扇形面积的计算公式为：S扇形lR【关键词】圆锥侧面展开图 ；弧长公式；14. （ 江苏省连云港市，16，3分）如图，的半径为5，、是圆上任意两点，且，以为边作正方形（点、在直线两侧）若边绕点旋转一周，则边扫过的面积为 【答案】【逐步提示】本题考查与旋转有关的图形面积的计算，弄清楚线CD随着线段AB的旋转是绕着P点旋转一周这个结论是解题的关键 求出OD的长度以及P到CD的距离，最后利用圆环的面积公式求出CD扫过的面积【详细解答】解：本题考查与旋转有关的图形面积的计算，过点P作PFAB于F，交CD于点E，则有AF=AB=3，四边形ABCD是正方形，CDAB，PECD，PF=，PE=AD+PF=6+4=10，=9+100=109，于是AB绕点P旋转一周，CD边扫过的面积等于=，故答案为 【解后反思】处理动线的问题的时候，要分析题意，探究出图形在变化的过程中那些元素是变化的，那些是不变化的，本题中变化的是线段AB，它的长度不变，但它的位置在P上运动，线段CD也是在变化的，但PD的PE的长度是不变，由此得出CD是绕着点P旋转一周的，从而使问题得以解决【关键词】图形的旋转 ；动线题型；15. （江苏泰州，15，3分）如图，O的半径为2，点A、C在O上，线段BD经过圆心O，ABD=CDB=90，AB=1，CD=，则图中阴影部分的面积为 .（第15题图） （第15题答图）【答案】【逐步提示】本题考查了直角三角以及扇形的面积公式，解题的关键是找出S阴影部分=S扇形AOC连接AO、CO，通过计算可以证明SABO=SODC，将图中阴影部分面积转化为扇形AOC的面积，最后只要求出AOC的度数后代入扇形面积公式即可.【详细解答】解：连接AO、CO，则AO=CO=2，ABD=CDB=90，AB=1，CD=，OD=1，BO=，SABO=SODC，AOB=30，COD=60，AOC=1806030=150，S阴影部分=S扇形AOC=.故答案为.【解后反思】求不规则图形面积时，一般都是通过割补法将不规则图形转化为规则图形（三角形、特殊四边形、扇形等）来求面积【关键词】割补法；扇形；面积16.（ 湖南省怀化市，11，4分）已知扇形的半径为6 cm，面积为10 cm 2，则该扇形的弧长等于_.【答案】【逐步提示】此题已知扇形面积为10 cm 2，扇形的半径为6 cm，根据扇形面积公式S扇形，计算可得【详细解答】解： l, S扇形10,l ，故答案为.【解后反思】此题考查扇形面积公式，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式S扇形 ，其中，l是弧长，r是半径. 【关键词】扇形与弓形17. （江苏盐城，14，3分）若圆锥的底面半径为2，母线长为4，则圆锥的侧面积为 【答案】8p【逐步提示】本题考查了圆锥侧面积的计算，解题的关键是根据圆锥侧面积的计算公式，由圆锥的底面半径、母线长，直接计算出圆锥侧面积【详细解答】解：Srl24=8p，故答案为8p【解后反思】圆中的计算公式：1圆的周长C2rd；2圆的面积Sr2；3圆环形面积S(R2r2) ；4弧长l；5扇形面积； 6圆锥侧面积Srl【关键词】圆锥的侧面积与全面积18. （山东省德州市，16，4分）如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M圆心O重合，则阴影部分的面积是 。【答案】【逐步提示】（1）求阴影部分的面积，用半圆的面积减去空白部分的面积，即：；（2）已知半径，半圆的面积好求；弓形的面积=扇形OAMB面积-三角形AOB的面积；在RtAOC中利用边的关系，易求OAC=30，进而易求圆心角AOB=120，再根据扇形的面积公式即可求出扇形面积；在RtAOC利用勾股定理求出线段AC的长，所以很容易求出三角形AOB的面积。问题得以解决。【详细解答】解：如图16-1，连接OA、OB、OM，OM与AB交于点C，由题意可知：,，在RtOAC中，OAC=30，AOC=60，AOB=120，OA=OB=OM=1，故答案为 .【解后反思】（1）求阴影部分的面积通常采用割补或拼凑的方法，此题难点在于利用边的关系求出圆心角AOB的度数；（2）熟记扇形面积公式也是解决此类问题的关键.【关键词】圆心角 ；垂径定理；扇形与弓形；勾股定理；面积法；数形结合思想19.山东滨州16，4分）如图，ABC是等边三角形，AB=2，分别以A，B，C为圆心，以2为半径长作弧，则图中阴影部分的面积是 【答案】2【逐步提示】用扇形的面积减去等边三角形的面积再乘以3就是阴影部分的面积【详细解答】解：扇形BAC的面积=等边三角形ABC的面积=阴影部分的面积=3（）=2故答案为2【解后反思】扇形面积公式：S扇形清楚地反映了变量S， n， R三者之间的关系，据此可解决相关的“知二求一”问题求阴影部分的面积，特别是不规则几何图形的面积时，常通过平移、旋转、分割等方法，把不规则图形面积转化为规则图形面积的和或差，使复杂问题简单化，便于求解【关键词】 扇形面积的计算 转化思想20. （ 镇江，9,2分）圆锥底面圆的半径为4，母线长为5，它的侧面积等于 （结果保留）.【答案】20.【逐步提示】本题考查了圆锥的有关计算，解题的关键是熟记圆锥的侧面积计算公式圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的侧面积就是相关扇形的面积，直接利用圆锥的侧面积公式S=rl计算【详细解答】解：S=rl=45=20，故答案为20p 【解后反思】对于圆锥的计算考查主要有三种形式：（1）圆锥的半径、高、母线长中已知两个求圆锥的侧面积或全面积；（2）知道圆锥的侧面积和底面半径，求母线长或高或圆锥侧面展开图的圆心角；（3）已知圆锥侧面展开图弧长及圆心角度数，求圆锥的底面半径和高. 解此类题的方法主要利用圆锥的底面周长与侧面展开图扇形弧长相等的关系式、圆锥的母线就是侧面展开图扇形的半径以及勾股定理求解此类问题容易出错的地方是误以为圆锥的侧面积公式S=rl或S=2rl【关键词】 圆锥的侧面积21. （ 镇江，11,2分）如图1，O的直径AB=4cm，点C在O上，设ABC的度数为x（单位：度，0x90）,优弧的弧长与劣弧的弧长的差设为y(单位：厘米)，图2表示y与x的函数关系，则a= 度 .【答案】22.5【逐步提示】本题考查了弧长公式及一次函数的图像，解题的关键是熟记弧长公式先用x表示优弧的弧长与劣弧的弧长，再求它们的差，从而表示出y，最后把点（a,3）代入关系式求出a的值.【详细解答】解：连结OC，ABC=x，AOC=2x，,BOC=（180-x）。.把点（a,3）代入,得，解得a=22.5. 故答案为 22.5.【解后反思】（1）弧长的计算公式是l=，其中n是圆弧所对的圆心角大小，R是圆弧所在圆的半径，要运用公式首先要找准圆心，找对半径.（2）一个点在函数的图像上，则这个点的坐标满足函数关系式.【关键词】弧长；数形结合；待定系数法三、解答题1. （ 福建福州，24，12分）如图，正方形ABCD内接于O，M 为中点，连接BM，CM （1）求证：BMCM；（2）当O的半径为2 时，求的长【逐步提示】本题考查了正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握弧长的计算公式、圆心距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键（1）根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可；（2）根据弧长公式计算【详细解答】解：（1）证明：四边形ABCD是正方形，,M为中点,.（2）解：连接.,BOMCOM,正方形ABCD内接于O，.由弧长公式，得的长【解后反思】此类问题容易出错的地方是不能求出圆心角的度数及弧长公式用错.在弧长公式l=中，当圆心角n、半径R和弧长l已知两个时，可求得第三个.【关键词】正方形的性质；弧、弦、弦心距；弧长；2. （ 甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市等9市，22，8分）图是小明在健身器上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图是小明锻炼时上半身由ON位置运动到与地面垂直的OM位置时的示意图，已经AC=0.66米，BD=0.26米，=20（参考数据：sin200.342，cos200.940，tan200.364）（1）求AB的长（精确到0.01米）；（2）若测得ON=0.8米，试计算小明头顶由N点运动到M点的路径的长度（结果保留） 图 图第22题图【逐步提示】本题考查解直角三角形和弧长的计算公式，解题的关键是构造直角三角形，（1）借助于20这一条件，把20和AB边共同放置于一个直角三角形中，即过点B作AC的垂线段，设垂足为F，在直角ABF中，利用三角函数求解；（2）是以点O为圆心，ON为半径的圆中的一条弧且所对的圆心角是110，利用弧长公式进行计算即可【详细解答】解：（1） 过点B作BFAC于点F 1分 AF=ACBD=0.4(米)， 2分 AB=AFsin201.17(米)； 3分（2） MON=9020=110， 4分 (米) 6分【解后反思】在一般三角形中已知一些边和角求另外的边长的问题，通常都是通过添作垂线，构造直角三角形，运用解直角三角形的知识来解决问题；对于弧长的计算，一是要知道弧所在圆的半径二是要知道圆心角的度数，再利用进行计算【关键词】 三角函数；解直角三角形；圆的有关计算；3. （广东茂名，24，8分）如图，在ABC中，C=90，D、F是AB边上的两点，以DF为直径的O与BC相交于点E，连接EF，过F作FGBC于点G，其中OFE=A.（1）求证：BC是O的切线；（2）若sinB=，O的半径为r，求EHG的面积.（用含r的代数式表示）【逐步提示】本题考查了切线的判定定理、圆中有关线段的求值问题，解题的关键是掌握切线的判定方法以及构造直角三角形，利用锐角三角函数、勾股定理等使问题获解（1）由于BC与O有一个确定的公共点E，根据切线的判定定理，只要连接OE，证明OEBC即可说明BC是O的切线；（2）连接DE，过点E作EQAB，垂足为Q，由于EDQ与题中已知条件的联系比较密切，较容易求出它的两直角边的长度，因此证EDQEHG，将“求EHG的面积”转化为“求EDQ的面积”.【详细解答】解：（1）连接OE.O中，OE=OF，OEF=OFE.BOE为OEF的外角，BOE=OEF+OFE=2OFE.OFE=A，BOE=A，OEAC，BEO=C. C=90，BEO=90，即OEBC.BC是O的切线；（2）连接DE，过点E作EQAB，垂足为Q.在RtBEO中，sinB=，即=，BO=r，BE=r.在RtBQE中，sinB=，即=QEr，解得QE=r.在RtOQE中，OQ=r，DQ=ODOQ=rr=r.SEDQ=DQQE=r2.OEBC，FGBC，OEFG，OEF=EFG.OEF=OFE，OFE=EFG，EF是QFG的平分线，=.在O中，ED=EH.又EF是QFG的平分线，EQAB，EGFG，EQ=EG，EDQEHG（HL），SEHG=SEDQ=r2.【解后反思】（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线的基本证明方法：切点已知，连过切点的半径，证所连半径垂直于要证明的切线；切点未知，作垂线段，证垂线段等于半径.（2）求EHG的面积也可采用证EHGFEG，先求出EG、HG长度，再求EHG面积，不管哪一种方法，都要将条件“sinB=”置于直角三角形，沟通直角三角形边、角间的关系，从而为求EHG的面积创设条件.【关键词】直线与圆相切；锐角三角函数；勾股定理.4. （ 河北省，25，10分）如图，半圆O的直径AB=4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在AQ（弧）上且不与A点重合，但Q点可与B点重合.发现 AP（弧）的长与QB（弧）的长之和为定值l，求l；思考 点M与AB的最大距离为_，此时点P，A间的距离为_；点M与AB的最小距离为_，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为_.探究 当半圆M与AB相切时，求AP（弧）的长.（注：结果保留，cos 35=，cos 55=） 备用图【逐步提示】本题是一道与圆有关的综合题，涉及圆、三角形等知识，难度较大.（1）如图1，连结OP,OQ，易证OPQ是等边三角形，易求得POQ=60和的长，进而求得和的长之和l.（2）如图2，当PQAB时，点M与AB的距离最大；如图3，当点Q与点B重合时，点M与AB的距离最小.（3）半圆M与AB相切，分两种情况：半圆M与AO相切和半圆M与BO相切. 图1图2 图3【详细解答】解：（1）发现：连结OP,OQ，则OP=OQ=PQ=2.POQ=60.的长=.l=.思考： 2 探究：半圆M与AB相切，分两种情况：如图1，半圆M与AO相切于点T时，连结PO,MO,TM.则MTAO，OMPQ.在RtPOM中，sinPOM=30.在RtTOM中，TO=，cosAOM=，即AOM=35.POA=3530=5.的长=. 图1 图2如图2，半圆M与BO相切于点S时，连结QO，MO,SM.由对称性，同理得的长=.由l=，得的长=.综上，的长=或.【解后反思】本题属于压轴题，难度较大，特别是解答“探究”问时，容易忽略其中一种情形；在解答本题时，关注等边OPQ（或含有30 锐角的RtOPM）是解题的关键.【关键词】弧长；点到直线的距离；两点之间的距离；相切；等边三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数；扇形的面积；相切；分类讨论思想5. （湖北宜昌，21，8分）如图，CD是O的弦，AB是直径，且CDAB连接AC，AD，OD，其中AC=CD过点B的切线交CD的延长线于E（1）求证：DA平分CDO；（2）若AB=12，求图中阴影部分的周长之和（参考数据：，）（第21题）【逐步提示】本题考查了圆的切线，弧长公式，三角函数，圆周角定理及推论，关键是通过适当的辅助线将问题转化.【详细解答】解：证明：（1）CDABCDABAD，又AO=ODADOBAD，ADOCDO，(2)如图，连接BD，AB是直径，90，即BOAB又DOCD，AD90ADACD，又CDABBADCDA，BADCADCDA，弧AC=弧DC弧BD又BOA180BOD60BADBOD =30在Rt BDA 中，BAD=30BO=AB=6,AC=BC，又AOBC又弧AC=弧DBBD=AC=6过点B的切线交CD的延长线于EABBEBDEABE-ABD=30又CDABCEBEDE=DB=3，BE=BDcosDBE=6=3弧BD的长为又弧AC=弧BD，弧AC的长为2图中阴影部分周长之和为26233=4+9+343.1+9+31.7=26.5【解后反思】半径为r的圆中，n的圆心角所对的弧长为，要求出弧长关键弄清公式中各项字母的含义【关键词】弧长公式；扇形面积公式；圆的切线；平行四边形；等腰直角三角形6.（ 江苏省淮安市，25，10分）如图，在RtABC中，B90，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使BCM2A（1）判断直线MN与O的位置关系，并说明理由；（2）若OA4，BCM60，求图中阴影部分的面积【逐步提示】本题考查了圆的切线的判别，弓形面积的计算，掌握的切线的判别方法以及割补法解题的关键 （1）MN是O切线，只要证明OCM=90即可（2）求出AOC以及BC，根据S阴=S扇形OACSOAC计算即可【详细解答】解：（1）MN是O切线理由：连接OCOA=OC，OAC=OCA，BOC=A+OCA=2A，BCM=2A，BCM=BOC，B=90，BOC+BCO=90，BCM+BCO=90，OCMN，MN是O切线（2）由（1）可知BOC=BCM=60，AOC=120，在RTBCO中，OC=OA=4，BCO=30，BO=OC=2，BC=2S阴=S扇形OACSOAC=图中阴影部分面积为【解后反思】看到判定圆的切线，想到若已知直线与圆的公共点，则采用判定定理法，其基本思路是：当已知点在圆上时，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：有切点，连半径，证垂直；若未知直线与圆的交点，则采用数量关系法，其基本思路是：过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径，可简述为：无切点，作垂线，证相等 【关键词】切线的判定 ；弓形面积的计算；7. （江苏省宿迁市，25，10分）已知ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点（A、B两点除外），将CAD绕点C按逆时针方向旋转角得到CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点（1）如图1，当=90时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF求证：GFAC；（2）如图2，当90180时，AE与DF相交于点M当点M与点C、D不重合时，连接CM，求CMD的度数；设D为边AB的中点，当从90变化到180时，求点M运动的路径长（第25题图1） （第25题图2）【逐步提示】（1）本题证明两直线平行可以根据“同位角相等，两直线平行”来说明，即只要说明BGF=45即可，又容易知道BF=BG，所以只要证明FBG=90问题即可得证；（2）由旋转的性质可以知道，ACE与DCF相似，可以得到CFM=CEM，所以C、M、E、F四点共圆，进而有CEF=CMF=45，问题获解；（3）由（2）知道CMD的大小不随D点位置变化而变化，所以点M的运动路线是一条弧，在分别画出两个特殊情况下的图形，即可发现弧的圆心的位置和弧所对圆心角的大小，利用弧长公式即可求出M运动的路径长，【详细解答】解：（1）AC=BC，且ACB=90 A=ABC=45 又ACDBCF BF=AD，A=CBF=45 AD=BG BG=BF 又FBG=FBC+CBA=90 FGB=45 A=FGB ACFG （2）CFE是由CAD旋转得到， AC=CE，CD=CF，ACE=DCF= ACEDCF CFM=CEM C、M、E、F四点共圆，CEF=CMF=45CMD=135 （3）当D为AB的中点，=90时，DF与AE的交点M与D重合； =180时，DF与AE的交点M与C重合 由（2）知道CMD=135是一个定值， 点M的运动路径是一段弧，且弧的圆心是AC的中点 点M运动的路径长为【解后反思】（1）证明两直线的平行关系通常是转化为找同位角、内错角、同旁内角的数量关系，有时也会根据平行四边形的性质来得到；（2）旋转型相似是相似中的基本图示，是近几年的高频考点，抓住其中的对应关系是突破点。（3）当两个等角经过两个两个点时，那么这四个点一定共圆，四点共圆能帮助我们巧妙转化圆中的等角；（4）求点的运动路径问题，关键是弄清点运动的路线，初中阶段主要考查的一般地就两种：线段；弧。解决问题的策略是首先可以先通过画图（一般要画出起始点、中间若干关键点和结束点）来判断路径和范围；其次是结合已知条件的特点运用不同的数学方法说明自己的判断是正确的；比如本题中M点位置的变化，但CMD保持不变，此时点M一定是在一段弧上运动或，如果一个动点到一个定点的距离始终不变，那么这个点运动的路径也一定是弧最后按判断的路径类型及范围来计算路径长【关键词】 平行线的判定；圆的内接四边形及性质；轨迹问题；几何变换；动面题型；23
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