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专题31 圆的基本性质一、选择题1. （ 山东聊城，9，3分）如图所示，四边形ABCD内接于O，F是弧CD上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若ABC=105，BAC=25，则E的度数为A、45 B、50 C、55 D、60【答案】B【逐步提示】第一步先利用圆的内接四边形对角互补的性质求出ACD的度数，第二步利用等弧所对的圆周角相等求出DCE，第三步利用三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和求出E的度数.【详细解答】解：因为，四边形ABCD内接于O，所以ADC=180-ABC=180-105=75，又因为，所以DCE=BAC=25，又因为ADC=DCE+E，所以E=ADC-DCE=75-25=50，故选择B .【解后反思】本题考查了圆内接四边形及性质，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质，并结合三角形内外角关系解决问题等弧所对的圆周角相等；圆内接四边形对角互补；三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和.【关键词】圆内接四边形及性质 ；圆心角、圆周角定理；与三角形有关的线段、角；2.（ 山东泰安，10，3分）如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OFOC交圆O于点F，则BAF等于（ ）AOCBF第10题图 A125 B15 C20 D225【答案】B【逐步提示】本题考查了垂径定理及等边三角形的判定及性质，解题的关键是利用圆的有关性质及平行四边形的性质判定三角形的形状连接OB，由四边形ABCO是平行四边形，可知，再由半径相等可得ABO为等边三角形，由OFOC可得OFAB，从而知道BOF的度数，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可以计算出BAF的度数【详细解答】解：连接OB，四边形ABCO是平行四边形，OAOBOC，ABOBOA，ABO为等边三角形，AOB60又OFOC，OFAB，BOFAOB30，BAFBOF15故选择B .AOCBF第10题图【解后反思】(1)圆周角定理能有效地把圆心角与圆周角联系起来即在同圆或等圆中圆周角的度数等于同弧或等弧所对的圆心角的一半；(2)圆中任意两条半径和弦组成的三角形都是等腰三角形此题利用平行四边形对边平行且相等的性质，并结合圆中半径都相等，得到一个等边三角形，从而求得一个60的角，这是解决问题的关键所在 【关键词】平行四边形的性质；等边三角形；圆心角、圆周角定理3. （ 山东泰安，17，3分）如图，ABC内接于O，AB是O的直径，B30，CE平分ACB交O于E，交AB于点D，连接AE，则的值等于（ ） OCABED第17题图 A1： B1： C1：2 D2：3【答案】D【逐步提示】本题考查了圆的有关性质及相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握有关的性质及图形之间的联系因为可以知道ADECDB，面积比就等于相似比的平方所以求出相似比即可因为AB是O的直径，B30，可知BCABcos30，再找出AE与AB的关系就可以了因为CE平分ACB，连接BE可知AEB为等腰直角三角形，AEABcos45这样就知道了，问题解决OCABED第17题图【详细解答】解：连接BE，AB为O的直径，ACBAEB90，在RtABC中，B30，BCABcos30 CE平分ACB，ACEBCE45，BCEBAE，BAE45，AEABcos45，BCEBAE，ADECDB，ADECDB， 故答案为D .【解后反思】求两个三角形的面积关系首先判断两个三角形是否相似，如果相似可以用相似三角形的性质：两个相似三角形面积比等于相似比的平方去解决此题解题的关键是利用直径所对的圆周角是直角得到两个直角三角形，然后通过特殊角的三角形函数值找到线段AE与BC的等量关系【关键词】圆周角定理 ；特殊角的三角函数值；相似三角形的判定；相似三角形的性质4. （ 山东潍坊，9，3分）如图，在平面直角坐标系中，M与x轴相切于点A（8，0）与y轴分别交于点B（0，4）与点C（0，16）则圆心M到坐标原点O的距离是（ ）A10 B C D【答案】D【逐步提示】本题考查了垂径定理及图形与坐标，解题的关键是作出辅助线，利用勾股定理进行解答过点M作MNBC，交BC于点N，连接OM、BM，先利用垂径定理求出BN的长度，再利用勾股定理求出M的半径，然后利用勾股定理求OM的长度.【详细解答】解：过点M作MNBC，交BC于点N，连接OM、BM，由A（8，0）、B（0，4）、C（0，16）可得：OA=8，BC=164=12.MN=OA=8，BN=BC=6在RtMNB中，BM=，即M的半径为10.ON=10.在RtOMN中，.故选择D .【解后反思】垂径定理与勾股定理联系密切，解此类题时需注意构造直角三角形，利用勾股定理进行解答.【关键词】垂径定理；勾股定理；平面直角坐标系；5. （ 山东省烟台市，10，3分）如图，RtABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，ABC=40，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D.若射线CD将ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是（ ）【答案】D【逐步提示】由于不明确等腰三角形的边和腰，所以要分两种情况进行讨论：当BC为底边时，当BC为腰时，分别求出BCD的度数，即可求解.在求解过程中要注意：点C在以AB为直径的圆上，所以点D在量角器上对应的度数等于2BCD的度数.【详细解答】解：ACB=90，点C在以AB为直径的圆上.分两种情况进行讨论：当BC为底边时，BCD=ABC=40， 点D在量角器上对应的度数是402=80，当BC为腰时，BCD=70， 点D在量角器上对应的度数是702=140，故选择D .【解后反思】解此题的关键是掌握圆心角、圆周角定理和等腰三角形的定义和性质1.圆周角定理的推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半2.已知顶角求底角的方法：底角3.解决与圆有关的角度的相关计算时，一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，然后利用圆周角定理以及推论求解，特别地，当有直径这一条件时，往往要用到直径所对的圆周角是直角这一性质；或是当有直角时，往往要用到90的圆周角所对的斜边是直径.4.没有明确等腰三角形的底或腰时，一定要注意分类讨论分类讨论是一种重数学思想，在研究数学问题时，常常需要通过分类讨论解决问题.分类要依据一个标准，且要做到不重不漏.【关键词】等腰三角形；圆周角；弧；分类讨论思想；6.(浙江杭州，8，3分)如图，已知AC是O的直径，点B在圆周上(不与AC重合)，点D在AC的延长线上，连结BD交O于点E若AOB3ADB，则( )ADEEB BDEEB CDEDO DDEOB第8题图第7题图【答案】D【逐步提示】本题考查了圆的性质和等腰三角形的性质与判断，解题的关键是充分利用半径相等、等腰三角形的两底角相等及等角对等边等有关性质由四个选项中都是线段DE与相关线段的大小比较，且题目中条件为角之间的倍数关系，这样就联想到通过三角形之间的边角关系来探索相关线段的数量关系了：不妨连接OE，首先由OBOE，得到BOEB；再由三角形的外角性质，得到AOBBD，OEBEODD，加上已知条件AOB3ADB，就不难推导出DOED，最后由等角对等边，得到DEEOOB【解析】连接OE，如下图OBOE，BOEBAOBBD，OEBEODD，AOB3ADB，BOEB2DDOEDDEEOOB故选择D【解后反思】本题是一道探究题，由两个角之间的3倍关系去探索线段DE与图中相关线段的数量关系如何充分利用已知条件与图形中隐含的条件，是解题的关键连接OE后，就容易利用圆的半径相等，加上等腰三角形的性质与判定定理及三角形的外角性质，得到图中两组相等的角及这两组角的对边也相等的结论，从而就探究出DE与圆的半径相等的正确结论了【关键词】圆的性质；等腰三角形的性质和判定；三角形的外角性质7.(浙江金华，9，3分)足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好.如图的正方形网格中，点A,B,C,D,E均在格点上,球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在( ) （第9题图）AECDBA.点C B.点D或点E C.线段DE(异于端点) 上一点 D.线段CD(异于端点) 上一点【答案】C【逐步提示】认真审题确定解题思路，过ABD三点作圆，可以根据圆内角、圆周角及圆外角的性质确定各射点到球门AB的张角，比较各张角的大小，确定答案【解析】连接EBADDBACCB，作过点ABD的圆，可以确定点E在圆上，点C在圆外，根据圆周角及圆外角的性质可以确定AEB=ADBACB,所以最好的射点是线段DE(异于端点) 上一点，故选择C.【解后反思】解题的关键在于构造圆，然后根据圆周角、圆内角及圆外角的性质确定各张角的大小，进而得出结论【关键词】圆周角；“网格”数学题型8.(淅江丽水，10，3分)如图，已知O是等腰RtABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC=4,AD=，则AE的长是A.3B.2C.1D.1.2【答案】【逐步提示】确定AC=BC，CBEDAE，根据相似比判断各选项中的数据是否正确【解析】由题意得AC=BC=4,BD=，CBEDAE，所以AE：BE=DE：CE=AD：CB=：4=，所以BEDE=AECE，若AE=3,则BE=15,错误；若AE=2,则BE=10,错误；若AE=1,则BE=5,DE=,CE=4-1=3,此时满足BEDE=AECE，故AE=1；若AE=1.2,则BE=6,错误,故选择C.【解后反思】根据题意确定图形中各线段间的关系，然后根据已知条件对所给选项进行验证得出正确的结论【关键词】圆；相似三角形的性质；验证法； 9.（四川达州，7，3分）如图，半径为3的A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧A优弧上一点，则tanOBC为第7题图A. B.2 C. D.【答案】C【逐步提示】本题主要考查了圆中有关计算.解题的关键是把OBC的正切值转化到直角三角形中求解解题是：如图，连接CD，则CD是A的直径，且OBCODC，在RtOCD中可求得tanODC.【详细解答】解：连接CD，COD=90，CD是A的直径，OBCODC，在RtOCD中，OD=4，tanODC=故选择C.【解后反思】解答这类问题时，往往将坐标系内的点坐标转化为线段的长度，进而化归到直角三角形中，应用三角函数定义求得三角函数值 求锐角三角函数的方法：（1）直接定义法；（2）构造直角三角形；（3）借助三角函数关系求值【关键词】圆周角定理及推论；三角函数10. （ 四川乐山，7，3分）如图4，C、D是以线段AB为直径的O上两点，若CA=CD，且ACD=40，则CAB= ( )A10B20C30D40【答案】B 【逐步提示】欲求CAB，在RtABC中，由AB是O的直径得到ACB=90，所以只需知道ABC的度数，在O 中，ABC=ADC，这样在等腰三角形ACD中，由ACD=40可得解【详细解答】解：CA=CD，并且ACD=40，ADC=70在O中，AB为直径，ACB=90，ABC与ADC是O中的圆周角，ABC=ADC=70，CAB=ACB-ABC= 90-70=20，故选择B【解后反思】对于圆的有关性质的考查，一般会将圆周角、圆心角，弧、弦、弦心距等量之间的关系合并考查，解题的关键是明确相关性质本题涉及到的有：在同圆（或等圆）中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；直径其所对的圆周角是90【关键词】等腰三角形性质；圆周角定理11. （四川省自贡市，5，4分）如图，O中，弦AB与CD交于点M，A=45，AMD=75，则B的度数是A15 B25 C30 D75【答案】C【逐步提示】B为圆周角，可以考虑将其转移，再利用三角形的内外角关系求解即可.【详细解答】解：A=45，AMD=75，C=30，B=30，故选择C.【解后反思】求角度数问题，通常手段就是转移和分解，本题在第一步是将角分解求出C，再利用转移的方法求出B.【关键词】三角形的内角和；圆心角、圆周角定理 二、填空题1. .（ 山东青岛，11，3分）如图，AB是O的直径，C , D是O上的两点，若BCD = 28 ,则ABD= .【答案】62【逐步提示】ABD和ACD都是弧AD所对的圆周角，故只要求出ACD的度数即可；根据“直径所对的圆周角是直角”可知ACB90，进而由BCD的度数可求得ACD的度数，问题得解.【详细解答】解：AB是O的直径，ACB=90.BCD=28，ACD90-28=62，ABD62，故答案为62.【解后反思】与圆周角有关的知识点有：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是圆的直径；同弧（或等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半.【关键词】 圆周角；圆周角定理2. （ 山东省枣庄市，15，4分）如图，在半径为3的O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC2，则tan D ABDCOE【答案】【逐步提示】本题考查了有关圆周角的性质，解题的关键是运用直径所对圆周角为直角及同弧所对圆周角相等把D与直角三角形联系起来连接BC，利用直径所对圆周角为直角，解RtABC，然后利用同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得tan D的值【详细解答】解：连接BC，AB为O直径，ACB90，又AB2r6，BC，DA，tan Dtan A ，故答案为 .ABDCOE【解后反思】在圆中解决与角有关的问题时，常用的是弧、弦、圆心角的对应关系和圆周角定理，从而实现圆心角与圆周角、圆周角与圆周角的互换若如涉及到三角函数，通常利用直径所对圆周角为直角，或构造垂径定理三角形求解 【关键词】 圆心角、圆周角定理；锐角三角函数值的求法3. (重庆A，15，4分)如图，OA，OB是O的半径，点C在O上，连接AC，BC. 若AOB=120，则ACB=_度. 【答案】60【逐步提示】AOB与ACB是同弧()所对的圆心角和圆周角，则ACB=AOB. 【解析】AOB=120，AOB所对的弧为，所对的圆周角为ACB，ACB=AOB=120=60. 故答案为60.【解后反思】在圆中，同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半. 【关键词】圆心角、圆周角定理 4. (重庆B，15，4分)如图，CD是O的直径，若ABCD，垂足为B，OAB=40，则C等于度【答案】25【逐步提示】利用直角三角形的两个锐角互余，由OAB的度数可求得AOB的度数，再根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系求解【解析】ABCD，OAB=40，AOB=50. C与AOB分别为所对的圆周角和圆心角，C=AOB=25. 故答案为25【解后反思】在圆中，求角的度数时，首先要考虑要求的角是圆周角还是圆心角，再根据圆心角、圆周角的性质定理求解. 在同圆中，同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 【关键词】三角形的内角和；圆心角、圆周角定理 5. （ 四川省巴中市，16，3分）如图，A是O的圆周角，OBC=550，则A= .【答案】350.【逐步提示】本题考查了圆心角、圆周角定理及其推论，解题的关键是理解并能熟练运用圆心角、圆周角定理及其推论，在O中，弧BC所对的圆心角和圆周角分别是BOC和BAC，在BOC中，OB=OC，由OBC=550，可以求得圆心角BOC的度数，从而求得圆周角A的度数.【详细解答】解：OB=OC，OCB=OBC=550，BOC=700 ，A=BOC=350，故答案为350 .【解后反思】解决与圆有关的角度的相关计算时，一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，利用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解【关键词】圆心角、圆周角定理；6. （ 四川省成都市，23，4分）如图，ABC内接于O，AHBC于点H，若AC24，AH18，O的半径OC13，则AB HAOCBMHAOCB【答案】【逐步提示】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定及性质等相关知识，解题的关键是利用直径所对圆周角为直角及同弧所对圆周角相等，构造相似三角形延长CO交O于点E，连接AM，证明AMCHBA，然后利用相似三角形的性质即可求出AB的值【详细解答】解：延长CO交O于点M，连接AMCM是O的直径，MAC90，AHBC，MACAHB 90，又MB，AMCHBA，CM2OC26，即，AB【解后反思】在有关圆的问题中，有直径通常作直径所对的圆周角，构造直角三角形；有弧、弦中点，通常连弧、弦中点与圆心，应用垂径定理；有切线，连过切点的半径【关键词】圆心角、圆周角定理 ；相似三角形的判定；相似三角形的性质 7. （ 四川南充，15，3分）如图是由两个长方形组成的工件平面图(单位，mm)，直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm.【答案】50【逐步提示】本题考查的圆内接四边形，是垂径定理，解题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合进行解答根据已知条件得到CM=30，AN=40，根据勾股定理列方程得到OM=40，由勾股定理得到结论【详细解答】解：设圆心为O,由题意知，点O在l上。连接AO，CO，直线l是它的对称轴，CM=30，AN=40，CM2+OM2=AN2+ON2，302+OM2=402+（70OM）2，解得：OM=40，OC= =50，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm故答案为：50 【解后反思】垂径定理和勾股定理在解决圆的计算问题时，经常结合起来使用，一般需要先作辅助线构造出直角三角形【关键词】 勾股定理；垂径定理；构造法8 （ 四川省雅安市，16，3分）如图，在ABC中，AB =AC = 10，以 AB 为直径的0与BC交与点D，与AC交于点E，连OD交BE于点M，且MD=2，则BE的长为 .【答案】8【逐步提示】本题考查了等腰三角形性质、平行线的判定与性质、圆的基本性质，解题关键是运用垂径定理求出BM的长. 由题意，可得OD平行于AC,即OD垂直BE,在RtOBM中求得BM的长，即可求出BE的长. 【详细解答】解：AB =AC=10，ABC=C,OB=OD,ABC=ODB,ODB=C,ODAC,AB为O的直径，BEAC,ODBE,BM=ME,MD=2，OM=OD-MD=5-2=3，BM=,BE=2BM=8，故答案为 8 .【解后反思】圆中涉及弦长的计算，往往构造半弦、半径、弦心距组成的直角三角形进行求解.【关键词】等腰三角形的性质 ；平行线的判定；平行线的性质 ；勾股定理；垂径定理；圆心角、圆周角定理9. （ 四川省宜宾市，13，3分）在平面直角坐标系内，以点P(1,1)为圆心、为半径作圆，则该圆与y轴的交点坐标是 .【答案】(0，3) 、（0，-1）【逐步提示】如图，圆与y轴有两个交点，两个交点间的距离即是圆的弦AB的长.根据垂径定理可求出半弦长AC及BC，由于点E的坐标是（1，1）可证四边形ODEC是正方形，DE=CE=CO=OD=1.由图知OA=AC+OC,OB=BC-CO,两交点坐标可求.【详细解答】解：如图，作ECy轴于点C，EDx轴于点D，因为点E的坐标为（1，1），所以ED=CE=OD=OC=1.在直角三角形AEC中，CE=1,AE=,所以AC=,所以OA=AC+CO=3,OB=BC-CO=1,所以点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（0，-1）.故答案为：（0，3），（0，-1）.【解后反思】这是垂径定理在直角坐标系内的应用.关键要结合图象找出反应坐标的线段及求出线段的长度.易错点是忽视点的坐标的符号及写错横、纵坐标的位置.【关键词】 直角坐标系；点的坐标；垂径定理及应用 三、解答题1. (山东临沂，23，9分)如图，A，P，B，C是圆上的四个点，APC=CPB=60，AP，CB的延长线相交于点D(1)求证：ABC是等边三角形；(2)若PAC=90，AB=，求PD的长【逐步提示】(1)由圆周角定理得出ABC=APC=CPB=BAC=60，再由等腰三角形的判定得出ABC是等腰三角形，进一步得出ABC是等边三角形(2)由PAC=90，ACB=60，可得D=30；由直角三角形的性质可得DC的长，得出BD的长；由圆内接四边形的性质得出PBC=90，则PBD=90；在RtPBD中，解直角三角形求出PD的长【详细解答】解：(1)证明：A，P，B，C是圆上的四个点，APC=CPB=60，ABC=APC，CPB=BAC又APC=CPB=60，ABC=BAC=60，AC=BC，且BAC=60，ABC是等边三角形4分(2)解：ABC是等边三角形，ACB=60，AC=AB=BC=PAC=90，D=30DC=2AC=，BD=6分四边形APBC是圆内接四边形，PAC=90，PBC=90，PBD=90在RtPBD中，PD=49分【解后反思】(1)圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等；(2)等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60的等腰三角形是等边三角形【一题多解】ABC是等边三角形，ACB=60，AC=AB=BC=PAC=90，D=30DC=2AC=，AD=6，BD=四边形APBC是圆内接四边形，PAC=90，PBC=90，PBD=90在RtPBD和RtCAD中，D是公共角，RtPBDRtCAD，=，即=，PD=4【关键词】圆周角定理；等边三角形的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形2. （ 山东潍坊，21，8分）正方形ABCD内接于O，如图所示，在劣弧上取一点E，连接DE、BE，过点D作DFBE交O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G.求证：（1）四边形EBFD是矩形；（2）DG=BE.【逐步提示】本题是一道圆与四边形的综合题，解题的关键是利用圆的基本性质得到题目所需的条件，再进行证明.（1）要证明四边形BEDF是矩形，需证明有三个角是直角，先根据同弧所对的圆周角相等及正方形的性质，得到BED=BFD=90，再根据两直线平行，同旁内角互补求得第三个直角即可.（2）根据圆周角与它所对弧的关系求得AFD=45，则DFG为等腰直角三角形，再根据矩形的对边相等得到BE=DG.【详细解答】证明：（1）正方形ABCD内接于O，BED=BAD=90，BFD=BCD=90，又DFBE，EDF+BED=180，EDF=90，四边形EBFD是矩形.（2）正方形ABCD内接于O，的度数是90，AFD=45，又GDF=90，DGF=DFG=45，DG=DF，又在矩形EBFD中，BE=DF，BE=DG.【解后反思】看到求与圆有关的角，应考虑如下几点（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；（3）圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半（4）圆的内接四边形的对角互补等。【关键词】 圆的有关性质；圆周角定理；矩形的判定；正方形的性质3. （山东淄博，23，9分）已知，点M是二次函数y=ax2(a0)图象上的一点，点F的坐标为（0，），直角坐标系中的坐标原点O与点M，F在同一个圆上，圆心Q的纵坐标为.（1）求a的值；（2）当O，Q，M三点在同一条直线上时，求点M和点Q的坐标；（3）当点M在第一象限时，过点M作MNx轴，垂足为点N. 求证：MF=MN+OF.【逐步提示】本题考查二次函数，圆，勾股定理，垂径定理，数形结合思想，解题关键是掌握相关知识，并能据题意画出有关图形，能数形结合地解决问题.（1）由垂径定理的逆定理，知圆心Q在弦OF的垂直平分线上.（2）点Q为OM的中点，由此可先得点M的坐标，进而求点Q的坐标.（3）设M（n，n2）（n0），则N（n，0），利用勾股定理求出MF即可解决问题【详细解答】解：（1）圆心Q的纵坐标为，则点F的纵坐标为，=1. 解得a=1.（2）由（1）知二次函数的解析式为y= x2.当O，Q，M三点在同一条直线上时，点M的纵坐标为.将y=代入y= x2，得x=.点M的坐标为(，)或(，).点Q的坐标为(，)或(，).（3）设M(n，n2)(n0)，N(n，0).F(0，)，MN+OF= n2+.MF= n2+.MF=MN+OF【解后反思】知道圆心在任意弦的垂直平分线上是解决（1）题的关键；知道圆心是直径的中点是解（2）的关键；设点的坐标，利用勾股定理求两点间的距离是解决（3）题的关键.【关键词】二次函数，圆，勾股定理，垂径定理，数形结合思想4. （ 四川省成都市，20，10分）如图在RtABC中，ABC90，以CB为半径作C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接BD、BE求证：ABDAEB；当时，求tanE；在的条件下，作BAC的平分线，与BE交于点F，若AF2，求C的半径ACEBFD【逐步提示】本题考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定及性质等相关知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的综合应用利用直径所对圆周角是直角，求得DBEABC90，然后通过ABDCBE，ECBE，得到EABD即可证明ABDAEB；过B作BHAE于点H，根据题意设AB4x，BC3x，利用勾股定理及三角形面积公式在RtABC中，求出AC、高BH及HE的长，再在RtBEH中，运用三角函数定义即可求出tanE；过F作FMAE交AE于点M根据角平分线的性质求出的值，再利用EFMEBH，把EM，FM用含x的式子表示出来，在RtAFM中利用勾股定理列方程求解【详细解答】解：DE为C的直径，DBE90，ABC90，ABDCBE，BCCE，CBEE，ABDE，又BADEAB，ABDAEB过B作BHAE交AE于点H，设AB4x，BC3x，在RtABC中，AC5x，CE3x，SABCACBHABBC，ACBHABBC，BH，AH，HEACCEAH5x3x，tanEACEBFDH过F作FMAE交AE于点MAF平分BAC，2，BHFM，EFMEBH，EMEH，FMBH，AMAEME，在RtAFM中AM2FM2AF2，即()2()222，解得x，C的半径r3xACEBFDMH【解后反思】（1）圆中涉及到直角问题时，通常运用直径所对圆周角是直角构造直角三角形；（2）在解决直角三角形求值问题时，通常运用面积法已知三边求斜边上的高；（3）求线段的长度有以下常用的方法：用勾股定理适用于直角三角形；用相似三角形适用于有相似三角形的图形中【关键词】勾股定理；圆心角、圆周角定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质；方程与函数思想5. （四川达州，22，8分）如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，过点O作ODAC于点D，过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E，连接BD并延长交AE于点F.(1)求证：AEBC=ADAB；(2)若半圆O的直径为10，sinBAC=，求AF的长.【逐步提示】本题考查了圆的性质、相似三角形的性质和判定、解直角三角形.解题的关键是掌握圆的性质，构造直角三角形求线段AF的长.解题的思路是：（1）证明ADEBCA，再根据相似三角形对应边成比例可证；（2）过点D作DGAB，由已知可依次求得OD，AD，DG，AG，BG.由已知有BDGBFA，由相似三角形的对应边成比例易求AF.【详细解答】解：（1）证明：AB是直径，C90，CABABC90.AE是O的切线，OAE90.ODAC，CABAOE90.AOEABC，OAEC.ADEBCA，.即AEBC=ADAB.（2）如图，过点D作DGAB，在RtAOD中，OAAB5，sinBAC=，OD53，AD4.在RtADG中，DGADsinBAC=4=，AG. BG10-.BGDBAF90，DBGFBA，BGBFA. . AF.【解后反思】求线段的长度有以下常用的方法：用勾股定理适用于已知两边的直角三角形中；用相似三角形的性质适用于有相似三角形的图形中，锐角三角函数求线段的长度适用于已知一边及一角的三角函数值【关键词】圆的切线的性质定理；圆周角定理的推论；相似三角形的性质和判定；解直角三角形6. （四川省广安市，25，9分）如图，以ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、C两点且与BC边交于点E.点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD，交线段EO于点F，若ABBF.（1）求证：AB是O的切线；（3分） （2）若CF4，DF，求O的半径r及sinB.（6分）【逐步提示】本题考查了圆的性质及切线的判定，解题的关键是掌握切线的判定方法及解直角三角形的方法.（1）连接OD，利用等边对等角，通过角的转换，得出OAF 与BAF的和为90，从而证明AC是O的切线；（2）在RtODF中利用勾股定理可求得r的长，从而可求OF的长，在RtABO中利用勾股定理可求得BO的长，从而求出sinB.【详细解答】证明：连接AO、DO.D为CE的下半圆弧的中点，EOD90.ABBF，OAODr，BAFBFAOFD，OADADOBAFDAOOFDADO90即BAO90AB是O的切线.（2）OFCFOC4r，ODr，DF，在RtOFD中，OF2OD2DF2即r2(4r)2（）2即r13,r21（舍去）半径r3OA3，OFCFOC431，BOBFFOAB1在RtABO中，AB2AO2BO2即AB232（AB1）2AB4，BO5sinB.【解后反思】判别直线是圆的切线有两种方法，如果直线与圆有交点，则连接交点与圆心，证明半径垂直于直线即可；如果直线与圆没有交点，则过圆心作直线的垂线段，证垂线段等于圆的半径即可.【关键词】切线的判定；锐角三角函数；勾股定理；方程思想7 （四川省凉山州，27，8分）如图，已知四边形内接于，是的中点，于，与及的延长线交于点、，且. （1）求证：； （2）如果，求的值.【逐步提示】（1）根据等弧等条件找出两组相等的角，证明两个三角形相似；（2）通过相似三角形的性质将CAD转化为AEB，在RtAEC中考虑tanAEB，从而求出tanCAD.【详细解答】解：（1）四边形ABCD内接于，D+ABC=180，又ABC+ABE=180，D=ABE；，BAE=ACD，ADCEBA.（2）ADCEBA， ，AEB=CAD；是的中点，AB=AC=8， ，即 ，又AEAC，BAC=90，tanCAD=tanAEB= 【解后反思】题中CAD并没有处于一个直角三角形中，三角函数值不易求，所以就必须将CAD转化为与之相等的AEB，这样做是因为AEB是RtAEC的一个锐角，容易通过三角函数的概念求出三角函数值.同时本题也可以采用以下方法构造直角三角形：连接AO并延长与相交于点M，连接DM，则AMD=ACD且AMD为直角三角形（ADM=90），如图所示. 【关键词】三角形相似的判定与性质；锐角三角函数的定义；圆内接四边形及性质；8 （ 四川省雅安市，24，10分）如图1，AB是O的直径，E是 AB 延长线上一点，EC切0于点C，连接AC，OPAO交AC于点P，交EC的延长线于点 D. (1)求证：PCD是等腰三角形；(2)CGAB于H点, 交O于G点,过B点作BFEC, 交O于点F, 交CG于Q点，连接AF，如图2，若sinE =,CQ =5,求 AF的值.【逐步提示】本题考查了等腰三角形的性质和判定、平行线的性质、切线的判定、锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握切线的判定方法以及圆中长度计算的方法 (1) 连接OC，则OC垂直DE,可证3=4=5，即PCD是等腰三角形；（2）连接BC，证CQ=BQ=5，因BFEC,得sinABF=sinE =,求得QH=3，BH=4，设0的半径为 r，在RtOCH中用勾股定理求出r,再在RtABF中，用锐角三角函数定义求出AF的长.【详细解答】解：(1)证明：如图1所示，连接OCEC切0于点 COCDE，1 +3 =90 又OPOA,2 +4=90 OA=OC,1 =2 由可得，3 =4又4 =5，3=5，DP =DC，即PCD为等腰三角形.(2)解：如图2所示，连接BCEC切0于C点1 +2 =90又OC = OB2 =3 CGAB,3 +4=9O由可得，1 =4 BFDE,5 =1 由，得4 =5，CQ =BQ，又CQ =5,BQ=5,BFDE,ABF=E,又sinE =,sinABF=,即QH=3，BH=4，设0的半径为 r，在RtOCH中，解得r=10，AB=20，AB是O的直径，AFB= 90, sinABF=,AF=12. 【解后反思】（1）圆中遇到切线条件，连接切点和圆心构造直角是常见的辅助线；（2）圆中线段长度计算常用的方法有：用勾股定理求解；用锐角三角函数定义求解；用相似三角形求解.【关键词】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；平行线的性质；勾股定理；切线的判定与性质；锐角三角函数的定义22
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