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反比例函数图象、性质及其应用一、选择题1. （甘肃兰州，2，4分）反比例函数y=的图像在（ ）A第一、二象限B第一、三象限C第二、三象限D第二、四象限【答案】B【逐步提示】先确定反比例函数中k的值，再确定它的正负情况，从而确定它的图像所在的象限.【详细解答】解：因为k=20，反比例函数y=的图像在第一、第三象限，故选择B .【解后反思】反比例函数的性质：当k0时，图象分别位于第一、三象限；当k0时，图象分别位于第二、四象限当k0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k0时，在同一个象限，y随x的增大而增大【关键词】反比例函数；反比例函数的图像与性质2. （甘肃兰州，15，4分）如图，A、B两点在反比例函数y=的图像上，C、D两点在反比例函数y=的图像上，AC x轴于点E，BDx轴于点F，AC=2，BD=3，EF=，则k2k1=（ ） A4 B C D6【答案】A【逐步提示】第一步，连接AO、CO、DO、BO，构造面积为与的三角形；第二步，根据面积关系AOC、AOE、EOC的面积关系用k1、k2的代数式表示OE；第三步，根据面积关系DOB、DOF、BOF的面积关系用k1、k2的代数式表示OF；第四步，根据OEOF=EF建立关于“k2k1”的方程，从而求得“k2k1”的值.【详细解答】解：连接AO、CO、DO、BO、AF、CF、DE、BE.SAOC= SAOESEOC，由反比例函数图像所在象限的位置可知，k10，又AC=2，BD=3，=2OE，OE=，SBOD= SDOFSBOF，又AC=2，BD=3，=3OF，OF=，OEOF=EF=，=,解得，故选择A.【解后反思】反比例函数的几何意义包括：（1）如下图，过双曲线上任意一点P分别作x轴、y轴的垂线PM、PN，所得的矩形PMON的面积S=PMPN=.y=，xy=k，S=，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得的矩形面积为（2）如上图，过双曲线上的任意一点E作EF垂直其中一坐标轴，垂足为F，连接EO，则=，即过双曲线上的任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积为【关键词】 反比例函数图像与性质；三角形面积；转化思想；建模思想3. （ 甘肃省天水市，6，4分）反比例函数y的图象上有两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若x10x2，则下列结论正确的是（ ）Ay1y20By10y2Cy1y20Dy10y2【答案】D【逐步提示】本题涉及反比例函数，给出了解析式，考查反比例函数值的大小比较，解题的关键是画出函数图像，采用数形结合的思想，直接观察获解【详细解答】解：如图所示，画出图像分析问题xyOx1x2y1y2观察图象，发现若x10x2，则y10y2，故选择D【解后反思】本题是选择题型，求解时也可以采用特殊值法，可以令x11，x21，然后将它们分别代入y求得y11，y21，进而由101得到y10y2所谓特殊值法，就是根据条件或答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式，再进行判断【关键词】反比例函数的图像；反比例函数的性质；数形结合思想；作图法；特殊值法4. （广东省广州市，6，3分）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/小时的平均速度用了4小时到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（ ）Av=320t Bv= Cv=20t Dv=【答案】B【逐步提示】先根据行程公式求出甲地到乙地的总路程，然后再根据行程公式直接得到汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系【详细解答】解：甲地到乙地的路程为804=320(千米)，当他按原路匀速返回时，有vt=320，则v与t的函数关系为v=，故选择B 【解后反思】确定反比例函数的解析式常用的方法是待定系数法，一般由一组对应值或图象上一个点的坐标即可确定涉及实际意义的，可由实际问题蕴含的数量关系直接进行确定，常常涉及路程公式，几何图形的面积公式，以及物理学中的一些公式等【关键词】确定反比例函数的解析式；行程问题5. （贵州省毕节市，10，3分）如图，点A为反比例函数图象上一点，过A作AB轴于点B，链接OA，则ABO的面积为（ ）A4 B4 C2 D2yxOAB（第10题图）【答案】D【逐步提示】本题考查了反比例函数k的几何意义，三角形的面积公式解题的关键是熟悉ABO的面积等于|k|的一半，并会通过计算得到这个结论【详细解答】解：设点A的坐标为（m，n），因为点A在的图象上，所以，有mn4，ABO的面积为2，故选择D.【解后反思】此类问题容易出错的地方是误以为ABO的面积等于|k|【关键词】反比例函数的意义；反比例函数的图象；6.（ 河南省，5，3分）如图，过反比例函数的图像上一点A作AB轴于点B，连接AO，若SAOB=2，则的值为【 】（A）2（B）3（C）4（D）5【答案】C【逐步提示】本题考查了反比例函数值的几何意义，解题的关键是熟练掌握图象上一点向坐标轴做垂线构造直角三角形的面积与值的关系思路：首先利用点的坐标表示的面积，在利用反比例函数解析式建立与点坐标之间的关系，从而确定值与的面积的数量关系，利用三角形的面积和图象所在象限求出值【详细解答】解：设点的坐标为（，），点在第一象限则 ，=xy=2.xy=4. 点A在反比例函数y=图象上，k=xy=4 ，故选择C .【解后反思】本题重点是反比例函数k值的几何意义，难点是借助图象上点的坐标搭建.此图象上一点向坐标轴做垂线构造直角三角形的面积与值之间的联系一般方法是（1）利用图象上点的坐标表示图象上一点向坐标轴做垂线构造直角三角形的面积 （2借助解析式用图象上的点的坐标表示k值（3）确立k值与三角形面积之间的数量关系.【关键词】直角三角形的面积；反比例函数；k值的几何意义；数形结合和化归思想7. （ 湖北省荆州市，10，3分）如图，RtAOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将AOB绕点B逆时针旋转90后得到AOB若反比例函数的图象恰好经过斜边AB的中点C，SABO4，tanBAO2，则k的值为（ ）A3B4C6D8【答案】C【考点解剖】【逐步提示】本题考查利用图形旋转的特征，在坐标系求解几何图形中点的坐标和反比例函数的图象；（1）先由SABO4，tanBAO2，求得A、B两点坐标，再根据将AOB绕点B逆时针旋转90后得到AOB，求得A、B坐标；（2）由中点公式得C（2，3），代入即可【详细解答】解：因为SABO4，tanBAO2，所以OA2，OB=4，所以A（-2，0），B(0，4)，又因为将AOB绕点B逆时针旋转90后得到AOB，得A（4，2），B（0，4），由中点公式得C（2，3），把C（2，3）代入得k=6，故选择C【解后反思】解答反比例函数的问题，往往结合中点及三角形或梯形的面积一起出现，此类问题中，由于题中没有点的坐标，通常可通过间接设未知数的方向，表示出题目中所求的线段，利用图形旋转的特征和数形结合思想在坐标系中求图形中关键点的坐标，从而求得所求图形的面积【关键词】图形旋转的特征；锐角三角函数值；反比函数的图像与性质；数形结合思想8. （ 湖北省十堰市，10，3分）如图，将边长为10的正三角形OAB放置于平面直角坐标系xoy中，C是AB边上的动点（不与端点A、B重合），作CDOB于点D，若点C、D都在双曲线y=（k0，x0）上，则k的值为（ ）A.25 B.18 C.9 D.9 【答案】C【逐步提示】本题主要考查了等边三角形的性质、坐标的意义、解直角三角形、解方程组、反比例函数等，解答此题的关键是作出辅助线，利用线段表示点C、点D的坐标.解题的思路：要求反比例函数中的系数，需要知道点C或点D的坐标，本题不易直接求出点C坐标或点D的坐标，但是点C坐标或点D的坐标之间又存在一定的关系，而这个关系是通过等边三角形来联系的，所以我们利用30度角的直角三角形的边角关系，用t的代数式表示AE、CE、AC, BC、BD、OD、OF、DF，再代入到反比例函数关系式中，进行取舍，求出t值，进一步，求出k值。【详细解答】解：如图，过点C作CEOA与点E,过点D作DFOA于点F，容易知道： 三角形CEA、CDB、DFO都是含30度角直角三角形，设OE=t,则AE=10-t,CE=(10-t), AC=2(10-t) ; C t,(10-t) 依次可以得到D，把点C和点D的坐标代入到y=中，解得t=9，t=18（不合题意，舍去）.故选择 C.FE【解后反思】求反比例函数中的比例系数是反比例函数中的重点，因为有了反比例函数中的比例系数，就知道了解析式、性质、图形等都容易解决；但是，把反比例函数图形上两点坐标的关系，隐含与等边三角形中，却是一个难点，考生一般觉得束手无策，这也是选择题中的一个压轴题，学生不容易得分。 本题突出的数学思想是数形结合思想：数形结合思想是指把问题中的数量关系与几何图形有机地结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得到解决.【关键词】反比例函数；反比函数的图像；等边三角形；解直角三角形9.（湖北宜昌，15，3分）函数的图象可能是（ ）【答案】C【逐步提示】本题主要考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质及函数平移规律是解题的关键【详细解答】解：由函数 可知函数图象分布在第二、四象限，再将函数图象向左平移一个单位，即选项C的图象，故答案为C .【解后反思】反比例函数y当 k0时，图象经过一、三象限，当k0时，图象经过二、四象限。.【关键词】反比例函数的图象与性质;平移规律10. （湖南省衡阳市，12，3分）如图，已知A、B是反比例函数图象上的两点，BC轴，交轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿OABC（图中“”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作PM轴，垂足为M，设OMP的面积为S，P点运动时间为，则S关于的函数图象大致为（ ）【答案】A【逐步提示】本题考查了反比例函数的性质、三角形面积计算、相似三角形的性质等知识，解题的关键是建立OMP的面积y关于t的函数关系式可用排除法求解，或者分别求出四边形的面积y关于t的函数关系式，从而做出正确的选择【详细解答】解法1：如图，点P在曲线AB上时OMP的面积yk为定值，则可排除选择支B、C；点P在线段BC上时OMP的面积yOCCP，其中OC定值，面积y是关于PN长的一次函数式，则可排除选择支D；故选A. 解法2：如图，点P在OA段上，OPMOAD，OPM的面积y是线段OM长的二次式，故图象为抛物线的一部分；点P在曲线AB上时OMP的面积yk为定值，不变；点P在线段BC上时OMP的面积yOCCP，其中OC定值，面积y是关于PN长的一次函数式，故选A. 【解后反思】判断函数大致图像的试题，一般应先确立函数关系解析式，再根据函数图像及性质做出合理的判断【关键词】反比例函数 ；反比例函数图象；三角形面积计算；相似三角形的性质11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39. 二、填空题1. （甘肃兰州，18，4分）双曲线y=在每个象限内，函数值y随x的增大为增大，则m的取值范围是 【答案】m1【逐步提示】根据反比例函数在每个象限内的增减性判断m-1的正负情况，再列不等式求m的取值范围【详细解答】解：因为双曲线y=在每个象限内，函数值y随x的增大为增大，所以m-10，解得m1，故答案为m1.【解后反思】反比例函数y=，当k0时，函数图像的两个分支位于一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k0时，函数图像的两个分支位于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大【关键词】反比例函数的性质；一元一次不等式的解法2. （ 甘肃省天水市，14，4分）如图，直线y1kx(k0)与双曲线y2(x0)交于点A(1，a)，则y1y2的解集为_xyOA【答案】x1【逐步提示】本题是一次函数和反比例函数综合题型，比较同一坐标系下不同图像上同一自变量对应的函数值的大小是各地中考热点问题，考查了运用数形结合思想观图、识图，获取图像信息的能力，求解关键是把y1y2的问题转化为y1的图象与y2的图象的关系的问题可以先找到两函数图象的分界点，然后确定出一次函数图像在反比例函数图像上方的部分所对应的自变量取值范围即可【详细解答】解：如图所示，xyOA1y1y2观察图象，发现在直线x1的右侧，直线y1kx的图象在双曲线y2(x0)的上方，即当x1时，y1y2，故答案为x1【解后反思】实际解答中，有部分学生会先求出a2，k2，然后由y1y2列得不等式2x，从而陷入陌生的问题中，不知如何求解或错误求解再就是，对于一次函数ykxb(k0)与反比例函数y(k0)的函数值的大小比较中，要把x的取值以两交点横坐标、原点为分界点分成四部分进行分析【关键词】一次函数的图像性质；反比例函数的图像性质；数形结合思想；作图法3. （湖北省荆州市，13，3分）若12xm1y2与3xyn1是同类项，点P（m，n）在双曲线上，则a的值为 【答案】3【逐步提示】应用同类项的概念建立一元一次方程得m、n 值，将其代入反比例函数的表达式【详细解答】解：因为12xm1y2与3xyn1是同类项，所以得，解得 ，把代入，得a3 ，故答案为3.【解后反思】判定同类项，主要从两个方面考虑：(1)两相同:字母相同，相同字母的指数也相同；(2)两个无关：与系数无关，与字母顺序无关.同时所有的常数项都是同类项.【关键词】同类项的概念；反比例函数的表达式；解一元一次方程4. （湖南常德，12，3分）已知反比例函数的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，请写一个符合条件的比例函数解析式 【答案】答案不唯一，例如 【逐步提示】本题考查了反比例函数图象的性质解题的关键是根据反比例函数的性质：当k0时，y随x的增大而增大求解【详细解答】解：因为反比例函数的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，所以只要k0时都能满足题意，如，等答案不唯一【解后反思】：反比例函数的性质：当k0时，函数图象位于第一、三象限，在各自象限内，y随x的增大而减小；当k0时，函数图象位于第二、四象限，在各自象限内，y随x的增大而增大【关键词】反比例函数的图象和性质5. （ 湖南省怀化市，13，4分）已知点P（3，2）在反比例函数y（k0）的图象上，则k_；在第四象限，函数值y随x的增大而_.【答案】6，增大. 【逐步提示】此题考查反比例函数的图象与性质.(1)把点P（3，2）代入反比例函数y，k值可求；(2)根据k值，确定图象的位置，进而确定其增减性.【详细解答】解：把点P（3，2）代入反比例函数y，得2，所以k6；因为k60，所以反比例函数的图象在二、四象限，在第四象限，函数值y随x的增大而增大，故答案为6，增大.【解后反思】此题考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图象与性质. 在反比例函数y（k0）中，当k0，图象在一、三象限，y随x的增大而减小；当k0，图象在二、四象限，y随x的增大而增大.此题的易错点是错用反比例函数的性质，导致结果错误.【关键词】反比函数的图像 ；反比函数的性质6.（ 湖南省益阳市，11，5分）我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点反比例函数的图象上有一些整点，请写出其中一个整点的坐标 【答案】答案不唯一，如：(-3,1) 【逐步提示】先阅读题意，理解整点的含义，然后根据反比例函数的图象的一些整点，即得一些整点的坐标为(3，1)，（1，3），(3, 1)，（1， 3）【详细解答】解：答案不唯一，如：(3，1)，（1，3），(3, 1)，（1， 3）都可以 ，故答案为答案不唯一，如：(3，1)，（1，3），(3, 1)，（1， 3）【解后反思】这是一道开放性试题，需阅读题意，理解整点的含义【关键词】反比例函数的图象；阅读理解能力7. (湖南省永州市，15，4分)已知反比例函数的图象经过点(1，2)，则k=_【答案】2【逐步提示】本题考查了用待定系数法求反比例函数的表达式，解题的关键在于建立关于k的方程求解，即把已知点代入反比例函数解析式【详细解答】解：把点(1，2)代入得，解得k=2，故答案为2 【解后反思】求函数的解析式时，我们通常选用待定系数法，即把符合要求的点的坐标代入函数解析式，就可以求出解析式中的未知系数 对于反比例函数，只需一个点的坐标就可以求出它的解析式【关键词】反比例函数；待定系数法8. (湖南省岳阳市，15，4)如图，一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k0)和反比例函数的图象交于A、B两点，利用函数图象直接写出不等式的解集是_. 【答案】1x4【逐步提示】利用函数图象找出对应的函数图像部分，再确定其对应的自变量取值范围。【详细解答】【解后反思】利用两个图象的交点坐标解不等式，先找交点，再在交点的两侧观察哪个图象在上，哪个图象在下. 利用函数图象解不等式：（1）函数图象交点对应的横坐标是不等式的分界点；（2）判断函数值谁大谁小就是看谁的图象在上，谁的图象在下，上方的值大于下方（3）注意写不等式解集是要满足双方的自变量的取值范围【关键词】一次函数；反比例函数；不等式解集；形数结合9.（ 江苏省淮安市，15，3分）若点A（2，3）、B（m，6）都在反比例函数的图像上，则m的值是【答案】【逐步提示】本题考查了在反比例函数图象上的点的性质，掌握点在函数图象上，则点的坐标适合函数解析式是解题的关键先代入A点的坐标，求出反比例函数的解析式，再代入B点的坐标，即可求出m的值【详细解答】解：点A(2，3)，B(m，4)都在反比例函数y(k0)的图象上，3，4k6，m，故答案为 【解后反思】点在函数的图象上，则点的坐标就适合这个函数的解析式，反过来，如果点的坐标不适合函数的解析式，则这个点就不在函数的图象上【关键词】 反比例函数10. （江苏省无锡市，14，2分）若点A(1，3)、B(m，3)在同一个反比例函数的图像上，则m的值为_【答案】1；【逐步提示】本题考查了反比例函数图像的性质，解题的关键是知道反比例函数图象上所有点的横纵坐标乘积为一个常数【详细解答】解：点A(1，3)、B(m，3)在同一个反比例函数的图像上，1(3)3m，解得m1，故答案为1.【解后反思】反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xyk；双曲线是关于原点对称的，两个分支上的对应点也是关于原点对称；在y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|【关键词】反比例函数的性质；11. （江苏省宿迁市，15，3分）如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数的图像交于两点A、B，与x轴交于点C，且点B是AC的中点，分别过两点A、B作x轴的平行线，与反比例函数的图像交于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为 （第15题图）【答案】 【逐步提示】设A（a，b），借助函数解析式，把B、D、E三点坐标分别用a、b表示出来，最后用a、b表示出四边形ABED的面积，将ab=8 代入计算即可获解【详细解答】解：分别过A、B作AMx轴，BNx轴，垂足为M、N AMCBNC B为AC中点 BN= 根据反比例函数上点乘积不变性，所以ON=2a，MN=NC=a B（2a，） ADx轴，BEx轴，且D、E在上 D（，b），E（，） S四边形ABED=，故答案为 【解后反思】 反比例函数中涉及面积问题时，一般先设图象上一个点的坐标，然后利用图形的性质、反比例函数积的不变性等性质，分别表示出其他各点的坐标，最后用这些坐标来表示出几何图形的面积，结合题意列出方程或代入求值实现问题的解决【关键词】 反比例函数的性质；梯形的面积；相似三角形的性质；设参法；12. （山东滨州17，4分）如图，已知点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，ABCDx轴，AB，CD在x轴的两侧，AB与CD间的距离为6，则的值是 【答案】3【逐步提示】过点A、B分别向x轴、y轴作垂线，垂足依次是E、F、P，设OE=x，OP=m，则点B的坐标为（x，m），点A的坐标为（，m），将点A和点B的坐标依次代入与，可得，设OQ=n，同理可得，根据m + n=6，将其代入可求得的值【详细解答】解：过点A、B分别向x轴、y轴作垂线，垂足依次是E、F、P，设OE=x，OP=m，则点B的坐标为（x，m），点A的坐标为（，m），将点A和点B的坐标依次代入与，可得与，整理得，设OQ=n，同理可得，即根据m + n=6，可得，解得故答案为：3【解后反思】一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积寻找等量关系本题充分利用已知两点在反比例函数图像上的特征，根据坐标意义选择作x轴垂线，这样与AB与CD之间的距离建立关联，实现了问题的转化【关键词】反比例函数图象上点的坐标特征 转化思想13. （江苏省扬州市，17，3分）如图，点A在函数（x0）的图像上，且OA=4，过点A作ABx轴于点B，则ABO的周长为 【答案】【逐步提示】本题考查了反比例函数的解析式与图像、勾股定理、方程组的整体变形，解题的关键是运用整体思想对等式恒等变形根据所列方程（组）的结构，运用完全平方公式作恒等变形【详细解答】解：设A点坐标为（a，b），则OB=a，AB=b，则根据反比例函数的解析式和勾股定理得到方程组，据此变形，得到，所以，ABO的周长为故答案为【解后反思】本题如果用一般的方法也可以，不过比较繁琐设A点坐标为（x，），则OB=x，AB=，但是在运用勾股定理构建了方程，解方程时出现了4次方程，而求出的一次解有是复合二次根式即使如此，其实只要整体转化即可【关键词】反比例函数；反比例函数；反比例函数的图像；勾股定理；整体思想；化归思想14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39. 三、解答题1. （ 安徽，20，10分）如图，一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A(4，3),与y轴负半轴交于点B,且OA=OB.（1）求函数y=kx+b和y=的表达式；（2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB=MC.求此时点M的坐标.【逐步提示】（1）由于反比例函数y=的图象经过点A（4,3），用待定系数法确定其表达式，先确定点B的坐标，把点A,B的坐标代入一次函数y=kx+b中可确定其表达式；（2）先确定点B,C关于x轴对称，由MB=MC可确定点M在BC的垂直平分线上，从而确定点M的坐标.【详细解答】解：（1）点A(4，3)在反比例函数y=的图象上,3=，a=12,反比例函数表达式是y=；OA=5，OA=OB,点B坐标为（0，-5），解得，一次函数表达式为y=2x-5.6分（2）点B（0，-5），点C（0,5），点B,C关于x轴对称，又MB=MC，点M在BC的垂直平分线上，点M是一次函数的图象与x轴的交点，当y=0时，x=2.5，点B坐标为（2.5,0）.10分【解后反思】1.已知函数图象经过的点的坐标，要确定函数表达式，一般用待定系数法；2.要在一个三角形中得到相等的线段，我们一般会联想到等腰三角形或线段垂直平分线.【关键词】一次函数与反比例函数综合，待定系数法，线段垂直平分线2. 甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市等9市，25，10分）如图，函数的图象与函数的图象交于A(m，1)，B(1，n)两点，（1）求k，m，n的值；（2）利用图象写出当时x1时，y1和y2的大小关系第25题图【逐步提示】本题综合考查了一次函数、反比例函数的知识，解题的关键是掌握待定系数法和数形结合思想（1）把点A(m，1)和点B(1，n)的坐标代入直线的解析式，即可求出点m、n的值，得到点A、点B的坐标，然后把点A或点B的坐标代入双曲线的解析式，即可求出k的值；（2）利用图象即利用数形结合的思想，观察图像，可以看到当x1时，两个函数图像有两个公共点（交点），即当=1或=3时，=；当13时，一次函数的图像在反比例函数图像的上方，即当13时，；当3时，一次函数的图像在反比例函数图像的下方，即当3时，【详细解答】解：（1）把点A（m，1）代入 ，得m=3， 2分则 A（3，1）， k =31=3； 3分把点B（1，n）代入，得出n=3； 4分（2）如图，由图象可知： 当13时，； 5分 当=1或=3时，=； 6分(注：x的两个值各占0.5分） 当3时， 7分【解后反思】1. 求函数表达式一般采用待定系数法，把函数图像经过的点的坐标代入函数一般形式，通过解方程或方程组确定待定系数，进而写出函数表达式，一次函数通常需要建立二元一次方程组，而反比例函数因为只有一个待定系数，因此只要已知双曲线经过的一个点的坐标就可以求出待定系数；2. 反比例函数y(k0的常数)的解析式也可以变形为xyk在双曲线上任取一点，分别作x轴、y轴的垂线，得到一个矩形，则S矩形| x|y|k|由此可得，在双曲线y(k0的常数)上任取一点分别向作x轴、y轴的垂线，得到矩形的面积是| k |这个小矩形的面积在解题中有着很大应用；3. 对于利用数形结合思想比较函数值的大小，当自变量的取值相等时图像在上方即意味着函数值大，图像在下方意味着函数值小，而交点的函数值相等【关键词】一次函数的图像和性质；反比例函数的图像和性质；待定系数法；数形结合思想；3. （甘肃兰州，26，10分）如国，在平面直角坐标系中，OAOB，ABx轴于点C，点A（，1）在反比例函数y=的图像上 （1）求反比例函数y=的表达式； （2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得SAOP=SAOB，求点P的坐标；（3）若将BOA绕点B按逆时针方向施转60得到BDE，直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图像上，说明理由【逐步提示】（1）因为点A在y=的图像上，故可将点A坐标代入求k；（2）第一步：利用点A坐标求OC，AC的长，由射影定理求BC，从而得到点B的坐标；第二步：根据三角形面积公式求AOB的面积，从而得到AOP的面积；第三步：设P（m，0），利用三角形面积公式求m的值，从而得到P的坐标；（3）第一步：将BOA绕点B按逆时针方向施转60得到BDE，设BD交y轴与F,易知四边形OCBF是矩形，BF=OC=1，AB=AC+BC=4，OA=2；第二步：由AOCBOABDE，可得DE=2，BD=；第三步：由点B向左移动BD的长，再向上平移DE的长，得E点坐标；第四步：将E点坐标代入中，看它是否满足方程，从而得到结论【详细解答】解：（1）点A（，1）在反比例函数y=的图像上，k=1=，； （2）A（，1），OC=，AC=1，由AOCOBC得,即，BC=3，B（，-3），SAOB=，SAOP=SAOB，SAOP=，设P（m，0），P是x轴的负半轴上一点，m=-，P（，0）（3）设BD交y轴与F,易知四边形OCBF是矩形，BF=OC=，AB=AC+BC=4，OA=2，由题意，OAC=DEB，ACO=BDE，ACOEDB，DE=2，BD=，点B坐标为（，-3），点B向左移动BD的长，再向上平移DE的长，得E点的坐标为（，32），即（，1），点E在反比例函数的图像上，理由如下： （）（1）=k，点E在反比例函数的图像上【解后反思】本题是锐角顶点在双曲线上的直角三角形绕另一锐角顶点旋转为背景的综合题，它综合了反比例函数、三角形相似、矩形的判定与性质、旋转、三角形面积等知识，第一小题主要考查待定系数法的运用；第二小题围绕坐标到线段长度、利用相似求线段长度，从而为三角形的面积转换提供了条件，最后由三角形面积转化得方程求特定点的坐标；第三小题，仍然围绕矩形性质和相似性质进行线段长度的计算，从而求得相应点的坐标，最后用平移的方法求点的坐标，验证其是否在反比例函数图像上【关键词】 反比例函数；一次函数；三角形相似的判定与性质；转化思想；数形结合思想4. （广东省广州市，20，10分）已知A=(a，b0且ab)（1）化简A；（2）若点P(a，b)在反比例函数y=的图象上，求A的值【逐步提示】（1）先把分子作乘法，化简后再分解因式，最后约去分子与分母的公因式即得最简结果；（2）根据反比例函数的图象和性质，可知ab=5，代入（1）中整体求解即可【详细解答】解：（1）A=（2）点P(a，b)在反比例函数y=的图象上，ab=5，A=【解后反思】（1）分式的混合运算顺序是：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的另外，实数的运算律同样适用于分式运算运算过程中能约分的要先约分，分子或分母是多项式的应先分解因式再约分，运算律应根据实际灵活选取（2）反比例函数图象上的点的横、纵坐标之积为一定值(即为比例系数k的值)，这样为整体求值提供了情境【关键词】分式的运算与求值；反比例函数的图象和性质；整体思想5. （广东茂名，22，8分）一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=（k为常数，k0）的图象交于点A（1，0）和点B（a，1）.（1）求反比例函数的表达式和a、b的值；（2）若A、O两点关于直线l对称，请连接AO，并求出直线l与线段AO的交点坐标.【逐步提示】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及平面直角坐标系下相似三角形的判定与性质，是一道综合题，解题的关键是能利用待定系数法求函数的表达式和添设辅助线构造系数三角形的基本图形解题（1）把点A、B的坐标分别代入y=x+b可以求出a、b的值，把点A的坐标代入y=，可以求出k的值，进而确定反比例函数的表达式；（2）设OA交直线l与点M，过点M作MCy轴于点C，过点A作ADy轴于点D，证MOCAOD，求得MC、OC的长度，即得直线l与线段AO的交点坐标.【详细解答】解：（1）把A（1，0）、B（a，1）分别代入y=x+b可得，把A（1，0）代入y=，得k=4，所以反比例函数的表达式为y=.（2）如图，设OA交直线l与点M，过点M作MCy轴于点C，过点A作ADy轴于点D，则OD=4，AD=1.由轴对称的性质可知，l是OA的垂直平分线，即AM=OM=OA.MOC=AOD，MCO=ADO=90，MOCAOD，=，MC=AD=，OC=OD=2，点M的坐标为（，2）.【解后反思】（1）求函数表达式一般采用待定系数法用待定系数法解题，先要明确表达式中待定系数的个数，再从已知中得到相应个数的独立条件（一般来讲，最直接的条件是点的坐标），最后代入求解当表达式中的待定系数只有一个时，代入已知条件后会得到一个一元一次方程；当表达式中的待定系数为两个或两个以上时，代入已知条件后会得到方程组显然，正确求解方程（方程组）的能力成为运用待定系数法求解析式的前提和基础（2）求平面直角坐标系下点的坐标，一般需要向x轴或y轴作垂线，通过求出相应的垂线段的长度来确定点的坐标.【关键词】 反比例函数的表达式；轴对称变换；相似三角形的判定与性质；待定系数法6.（湖北省黄冈市，21，8分）如图，已知点A(1，a)是反比例函数的图像上的一点，直线与反比例函数的图像在第四象限的交点为点B。（1） 求直线AB的解析式；（2） 动点P(x,0)在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，求点P的坐标。【逐步提示】本题综合考查了一次函数和反比例函数，解题的关键是理解函数图像上的点的坐标与函数解析式之间的关系。第（1）要求直线AB的解析式，就是要求A,B两点的坐标，A点是反比例函数图像上的点，B点是两个函数图像的交点，都可求出其点的坐标；第（2）问关键是找出PA-PB最大时P的位置，若P,A,B三点不在一条直线上时，PA-PB3时，设反比例函数的解析式为y=，代入点（3，4），得m=12，所以反比例函数的解析式为：
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