2018中考数学试题分类汇编 考点36 相似三角形(含解析)

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2018中考数学试题分类汇编:考点36 相似三角形一选择题(共28小题)1(2018重庆)制作一块3m2m长方形广告牌的成本是120元,在每平方米制作成本相同的情况下,若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍,那么扩大后长方形广告牌的成本是()A360元B720元C1080元D2160元【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本,根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积,计算即可【解答】解:3m2m=6m2,长方形广告牌的成本是1206=20元/m2,将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍,则面积扩大为原来的9倍,扩大后长方形广告牌的面积=96=54m2,扩大后长方形广告牌的成本是5420=1080m2,故选:C2(2018玉林)两三角形的相似比是2:3,则其面积之比是()A:B2:3C4:9D8:27【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可【解答】解:两三角形的相似比是2:3,其面积之比是4:9,故选:C3(2018重庆)要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5cm,6cm和9cm,另一个三角形的最短边长为2.5cm,则它的最长边为()A3cmB4cmC4.5cmD5cm【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得【解答】解:设另一个三角形的最长边长为xcm,根据题意,得: =,解得:x=4.5,即另一个三角形的最长边长为4.5cm,故选:C4(2018内江)已知ABC与A1B1C1相似,且相似比为1:3,则ABC与A1B1C1的面积比为()A1:1B1:3C1:6D1:9【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方,求出即可【解答】解:已知ABC与A1B1C1相似,且相似比为1:3,则ABC与A1B1C1的面积比为1:9,故选:D5(2018铜仁市)已知ABCDEF,相似比为2,且ABC的面积为16,则DEF的面积为()A32B8C4D16【分析】由ABCDEF,相似比为2,根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方,即可得ABC与DEF的面积比为4,又由ABC的面积为16,即可求得DEF的面积【解答】解:ABCDEF,相似比为2,ABC与DEF的面积比为4,ABC的面积为16,DEF的面积为:16=4故选:C6(2017重庆)已知ABCDEF,且相似比为1:2,则ABC与DEF的面积比为()A1:4B4:1C1:2D2:1【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可【解答】解:ABCDEF,且相似比为1:2,ABC与DEF的面积比为1:4,故选:A7(2018临安区)如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与ABC相似的是()ABCD【分析】根据正方形的性质求出ACB,根据相似三角形的判定定理判断即可【解答】解:由正方形的性质可知,ACB=18045=135,A、C、D图形中的钝角都不等于135,由勾股定理得,BC=,AC=2,对应的图形B中的边长分别为1和,=,图B中的三角形(阴影部分)与ABC相似,故选:B8(2018广东)在ABC中,点D、E分别为边AB、AC的中点,则ADE与ABC的面积之比为()ABCD【分析】由点D、E分别为边AB、AC的中点,可得出DE为ABC的中位线,进而可得出DEBC及ADEABC,再利用相似三角形的性质即可求出ADE与ABC的面积之比【解答】解:点D、E分别为边AB、AC的中点,DE为ABC的中位线,DEBC,ADEABC,=()2=故选:C9(2018自贡)如图,在ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,若ADE的面积为4,则ABC的面积为()A8B12C14D16【分析】直接利用三角形中位线定理得出DEBC,DE=BC,再利用相似三角形的判定与性质得出答案【解答】解:在ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,DEBC,DE=BC,ADEABC,=,=,ADE的面积为4,ABC的面积为:16,故选:D10(2018崇明县一模)如图,在平行四边形ABCD中,点E在边DC上,DE:EC=3:1,连接AE交BD于点F,则DEF的面积与BAF的面积之比为()A3:4B9:16C9:1D3:1【分析】可证明DFEBFA,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案【解答】解:四边形ABCD为平行四边形,DCAB,DFEBFA,DE:EC=3:1,DE:DC=3:4,DE:AB=3:4,SDFE:SBFA=9:16 故选:B11(2018随州)如图,平行于BC的直线DE把ABC分成面积相等的两部分,则的值为()A1BC 1D【分析】由DEBC可得出ADEABC,利用相似三角形的性质结合SADE=S四边形BCED,可得出=,结合BD=ABAD即可求出的值,此题得解【解答】解:DEBC,ADE=B,AED=C,ADEABC,()2=SADE=S四边形BCED,=,=1故选:C12(2018哈尔滨)如图,在ABC中,点D在BC边上,连接AD,点G在线段AD上,GEBD,且交AB于点E,GFAC,且交CD于点F,则下列结论一定正确的是()A =B =C =D =【分析】由GEBD、GFAC可得出AEGABD、DFGDCA,根据相似三角形的性质即可找出=,此题得解【解答】解:GEBD,GFAC,AEGABD,DFGDCA,=, =,=故选:D13(2018遵义)如图,四边形ABCD中,ADBC,ABC=90,AB=5,BC=10,连接AC、BD,以BD为直径的圆交AC于点E若DE=3,则AD的长为()A5B4C3D2【分析】先求出AC,进而判断出ADFCAB,即可设DF=x,AD=x,利用勾股定理求出BD,再判断出DEFDBA,得出比例式建立方程即可得出结论【解答】解:如图,在RtABC中,AB=5,BC=10,AC=5过点D作DFAC于F,AFD=CBA,ADBC,DAF=ACB,ADFCAB,设DF=x,则AD=x,在RtABD中,BD=,DEF=DBA,DFE=DAB=90,DEFDBA,x=2,AD=x=2,故选:D14(2018扬州)如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰RtABC和等腰RtADE,CD与BE、AE分别交于点P,M对于下列结论:BAECAD;MPMD=MAME;2CB2=CPCM其中正确的是()ABCD【分析】(1)由等腰RtABC和等腰RtADE三边份数关系可证;(2)通过等积式倒推可知,证明PAMEMD即可;(3)2CB2转化为AC2,证明ACPMCA,问题可证【解答】解:由已知:AC=AB,AD=AEBAC=EADBAE=CADBAECAD所以正确BAECADBEA=CDAPME=AMDPMEAMDMPMD=MAME所以正确BEA=CDAPME=AMDP、E、D、A四点共圆APD=EAD=90CAE=180BACEAD=90CAPCMAAC2=CPCMAC=AB2CB2=CPCM所以正确故选:A15(2018贵港)如图,在ABC中,EFBC,AB=3AE,若S四边形BCFE=16,则SABC=()A16B18C20D24【分析】由EFBC,可证明AEFABC,利用相似三角形的性质即可求出则SABC的值【解答】解:EFBC,AEFABC,AB=3AE,AE:AB=1:3,SAEF:SABC=1:9,设SAEF=x,S四边形BCFE=16,=,解得:x=2,SABC=18,故选:B16(2018孝感)如图,ABC是等边三角形,ABD是等腰直角三角形,BAD=90,AEBD于点E,连CD分别交AE,AB于点F,G,过点A作AHCD交BD于点H则下列结论:ADC=15;AF=AG;AH=DF;AFGCBG;AF=(1)EF其中正确结论的个数为()A5B4C3D2【分析】由等边三角形与等腰直角三角形知CAD是等腰三角形且顶角CAD=150,据此可判断;求出AFP和FAG度数,从而得出AGF度数,据此可判断;证ADFBAH即可判断;由AFG=CBG=60、AGF=CGB即可得证;设PF=x,则AF=2x、AP=x,设EF=a,由ADFBAH知BH=AF=2x,根据ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x,据此得出EH=a,证PAFEAH得=,从而得出a与x的关系即可判断【解答】解:ABC为等边三角形,ABD为等腰直角三角形,BAC=60、BAD=90、AC=AB=AD,ADB=ABD=45,CAD是等腰三角形,且顶角CAD=150,ADC=15,故正确;AEBD,即AED=90,DAE=45,AFG=ADC+DAE=60,FAG=45,AGF=75,由AFGAGF知AFAG,故错误;记AH与CD的交点为P,由AHCD且AFG=60知FAP=30,则BAH=ADC=15,在ADF和BAH中,ADFBAH(ASA),DF=AH,故正确;AFG=CBG=60,AGF=CGB,AFGCBG,故正确;在RtAPF中,设PF=x,则AF=2x、AP=x,设EF=a,ADFBAH,BH=AF=2x,ABE中,AEB=90、ABE=45,BE=AE=AF+EF=a+2x,EH=BEBH=a+2x2x=a,APF=AEH=90,FAP=HAE,PAFEAH,=,即=,整理,得:2x2=(1)ax,由x0得2x=(1)a,即AF=(1)EF,故正确;故选:B17(2018泸州)如图,正方形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,AF,BE相交于点G,若AE=3ED,DF=CF,则的值是()ABCD【分析】如图作,FNAD,交AB于N,交BE于M设DE=a,则AE=3a,利用平行线分线段成比例定理解决问题即可;【解答】解:如图作,FNAD,交AB于N,交BE于M四边形ABCD是正方形,ABCD,FNAD,四边形ANFD是平行四边形,D=90,四边形ANFD是解析式,AE=3DE,设DE=a,则AE=3a,AD=AB=CD=FN=4a,AN=DF=2a,AN=BN,MNAE,BM=ME,MN=a,FM=a,AEFM,=,故选:C18(2018临安区)如图,在ABC中,DEBC,DE分别与AB,AC相交于点D,E,若AD=4,DB=2,则DE:BC的值为()ABCD【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所截得的三角形与原三角形相似,再根据相似三角形的对应边成比例解则可【解答】解:DEBC,ADEABC,=故选:A19(2018恩施州)如图所示,在正方形ABCD中,G为CD边中点,连接AG并延长交BC边的延长线于E点,对角线BD交AG于F点已知FG=2,则线段AE的长度为()A6B8C10D12【分析】根据正方形的性质可得出ABCD,进而可得出ABFGDF,根据相似三角形的性质可得出=2,结合FG=2可求出AF、AG的长度,由CGAB、AB=2CG可得出CG为EAB的中位线,再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度,此题得解【解答】解:四边形ABCD为正方形,AB=CD,ABCD,ABF=GDF,BAF=DGF,ABFGDF,=2,AF=2GF=4,AG=6CGAB,AB=2CG,CG为EAB的中位线,AE=2AG=12故选:D20(2018杭州)如图,在ABC中,点D在AB边上,DEBC,与边AC交于点E,连结BE记ADE,BCE的面积分别为S1,S2()A若2ADAB,则3S12S2B若2ADAB,则3S12S2C若2ADAB,则3S12S2D若2ADAB,则3S12S2【分析】根据题意判定ADEABC,由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答【解答】解:如图,在ABC中,DEBC,ADEABC,=()2,若2ADAB,即时,此时3S1S2+SBDE,而S2+SBDE2S2但是不能确定3S1与2S2的大小,故选项A不符合题意,选项B不符合题意若2ADAB,即时,此时3S1S2+SBDE2S2,故选项C不符合题意,选项D符合题意故选:D21(2018永州)如图,在ABC中,点D是边AB上的一点,ADC=ACB,AD=2,BD=6,则边AC的长为()A2B4C6D8【分析】只要证明ADCACB,可得=,即AC2=ADAB,由此即可解决问题;【解答】解:A=A,ADC=ACB,ADCACB,=,AC2=ADAB=28=16,AC0,AC=4,故选:B22(2018香坊区)如图,点D、E、F分别是ABC的边AB、AC、BC上的点,若DEBC,EFAB,则下列比例式一定成立的是()A =B =C =D =【分析】用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定即可得出结论【解答】解:DEBC,DEBC,ADEABC,EFAB,EFAB,CEFCAB,DEBC,EFAB,四边形BDEF是平行四边形,DE=BF,EF=BD,正确,故选:C23(2018荆门)如图,四边形ABCD为平行四边形,E、F为CD边的两个三等分点,连接AF、BE交于点G,则SEFG:SABG=()A1:3B3:1C1:9D9:1【分析】利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题;【解答】解:四边形ABCD是平行四边形,CD=AB,CDAB,DE=EF=FC,EF:AB=1:3,EFGBAG,=()2=,故选:C24(2018达州)如图,E,F是平行四边形ABCD对角线AC上两点,AE=CF=AC连接DE,DF并延长,分别交AB,BC于点G,H,连接GH,则的值为()ABCD1【分析】首先证明AG:AB=CH:BC=1:3,推出GHAC,推出BGHBAC,可得=()2=()2=, =,由此即可解决问题【解答】解:四边形ABCD是平行四边形AD=BC,DC=AB,AC=CA,ADCCBA,SADC=SABC,AE=CF=AC,AGCD,CHAD,AG:DC=AE:CE=1:3,CH:AD=CF:AF=1:3,AG:AB=CH:BC=1:3,GHAC,BGHBAC,=()2=()2=,=,=,故选:C25(2018南充)如图,正方形ABCD的边长为2,P为CD的中点,连结AP,过点B作BEAP于点E,延长CE交AD于点F,过点C作CHBE于点G,交AB于点H,连接HF下列结论正确的是()ACE=BEF=CcosCEP=DHF2=EFCF【分析】首先证明BH=AH,推出EG=BG,推出CE=CB,再证明CEHCBH,RtHFERtHFA,利用全等三角形的性质即可一一判断【解答】解:连接EH四边形ABCD是正方形,CD=ABBC=AD=2,CDAB,BEAP,CHBE,CHPA,四边形CPAH是平行四边形,CP=AH,CP=PD=1,AH=PC=1,AH=BH,在RtABE中,AH=HB,EH=HB,HCBE,BG=EG,CB=CE=2,故选项A错误,CH=CH,CB=CE,HB=HE,ABCCEH,CBH=CEH=90,HF=HF,HE=HA,RtHFERtHFA,AF=EF,设EF=AF=x,在RtCDF中,有22+(2x)2=(2+x)2,x=,EF=,故B错误,PACH,CEP=ECH=BCH,cosCEP=cosBCH=,故C错误HF=,EF=,FC=HF2=EFFC,故D正确,故选:D26(2018临沂)如图利用标杆BE测量建筑物的高度已知标杆BE高1.2m,测得AB=1.6mBC=12.4m则建筑物CD的高是()A9.3mB10.5mC12.4mD14m【分析】先证明ABEACD,则利用相似三角形的性质得=,然后利用比例性质求出CD即可【解答】解:EBCD,ABEACD,=,即=,CD=10.5(米)故选:B27(2018长春)孙子算经是中国古代重要的数学著作,成书于约一千五百年前,其中有首歌谣:今有竿不知其长,量得影长一丈五尺,立一标杆,长一尺五寸,影长五寸,问竿长几何?意即:有一根竹竿不知道有多长,量出它在太阳下的影子长一丈五尺,同时立一根一尺五寸的小标杆,它的影长五寸(提示:1丈=10尺,1尺=10寸),则竹竿的长为()A五丈B四丈五尺C一丈D五尺【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论【解答】解:设竹竿的长度为x尺,竹竿的影长=一丈五尺=15尺,标杆长=一尺五寸=1.5尺,影长五寸=0.5尺,解得x=45(尺)故选:B28(2018绍兴)学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置,已知ABBD,CDBD,垂足分别为B,D,AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,则栏杆C端应下降的垂直距离CD为()A0.2mB0.3mC0.4mD0.5m【分析】由ABO=CDO=90、AOB=COD知ABOCDO,据此得=,将已知数据代入即可得【解答】解:ABBD,CDBD,ABO=CDO=90,又AOB=COD,ABOCDO,则=,AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,=,解得:CD=0.4,故选:C二填空题(共7小题)29(2018邵阳)如图所示,点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点,连接AE,交CD于点F,连接BF写出图中任意一对相似三角形:ADFECF【分析】利用平行四边形的性质得到ADCE,则根据相似三角形的判定方法可判断ADFECF【解答】解:四边形ABCD为平行四边形,ADCE,ADFECF故答案为ADFECF30(2018北京)如图,在矩形ABCD中,E是边AB的中点,连接DE交对角线AC于点F,若AB=4,AD=3,则CF的长为【分析】根据矩形的性质可得出ABCD,进而可得出FAE=FCD,结合AFE=CFD(对顶角相等)可得出AFECFD,利用相似三角形的性质可得出=2,利用勾股定理可求出AC的长度,再结合CF=AC,即可求出CF的长【解答】解:四边形ABCD为矩形,AB=CD,AD=BC,ABCD,FAE=FCD,又AFE=CFD,AFECFD,=2AC=5,CF=AC=5=故答案为:31(2018包头)如图,在ABCD中,AC是一条对角线,EFBC,且EF与AB相交于点E,与AC相交于点F,3AE=2EB,连接DF若SAEF=1,则SADF的值为【分析】由3AE=2EB可设AE=2a、BE=3a,根据EFBC得=()2=,结合SAEF=1知SADC=SABC=,再由=知=,继而根据SADF=SADC可得答案【解答】解:3AE=2EB,可设AE=2a、BE=3a,EFBC,AEFABC,=()2=()2=,SAEF=1,SABC=,四边形ABCD是平行四边形,SADC=SABC=,EFBC,=,=,SADF=SADC=,故答案为:32(2018资阳)已知:如图,ABC的面积为12,点D、E分别是边AB、AC的中点,则四边形BCED的面积为9【分析】设四边形BCED的面积为x,则SADE=12x,由题意知DEBC且DE=BC,从而得=()2,据此建立关于x的方程,解之可得【解答】解:设四边形BCED的面积为x,则SADE=12x,点D、E分别是边AB、AC的中点,DE是ABC的中位线,DEBC,且DE=BC,ADEABC,则=()2,即=,解得:x=9,即四边形BCED的面积为9,故答案为:933(2018泰安)九章算术是中国传统数学最重要的著作,在“勾股”章中有这样一个问题:“今有邑方二百步,各中开门,出东门十五步有木,问:出南门几步面见木?”用今天的话说,大意是:如图,DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城,东门H位于GD的中点,南门K位于ED的中点,出东门15步的A处有一树木,求出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即点D在直线AC上)?请你计算KC的长为步【分析】证明CDKDAH,利用相似三角形的性质得=,然后利用比例性质可求出CK的长【解答】解:DH=100,DK=100,AH=15,AHDK,CDK=A,而CKD=AHD,CDKDAH,=,即=,CK=答:KC的长为步故答案为34(2018岳阳)九章算术是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”其意思为:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为5步,股(长直角边)长为12步,问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步?”该问题的答案是步【分析】如图1,根据正方形的性质得:DEBC,则ADEACB,列比例式可得结论;如图2,同理可得正方形的边长,比较可得最大值【解答】解:如图1,四边形CDEF是正方形,CD=ED,DECF,设ED=x,则CD=x,AD=12x,DECF,ADE=C,AED=B,ADEACB,x=,如图2,四边形DGFE是正方形,过C作CPAB于P,交DG于Q,设ED=x,SABC=ACBC=ABCP,125=13CP,CP=,同理得:CDGCAB,x=,该直角三角形能容纳的正方形边长最大是(步),故答案为:35(2018吉林)如图是测量河宽的示意图,AE与BC相交于点D,B=C=90,测得BD=120m,DC=60m,EC=50m,求得河宽AB=100m【分析】由两角对应相等可得BADCED,利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB【解答】解:ADB=EDC,ABC=ECD=90,ABDECD,解得:AB=(米)故答案为:100三解答题(共15小题)36(2018张家界)如图,点P是O的直径AB延长线上一点,且AB=4,点M为上一个动点(不与A,B重合),射线PM与O交于点N(不与M重合)(1)当M在什么位置时,MAB的面积最大,并求岀这个最大值;(2)求证:PANPMB【分析】(1)当M在弧AB中点时,三角形MAB面积最大,此时OM与AB垂直,求出此时三角形面积最大值即可;(2)由同弧所对的圆周角相等及公共角,利用两对角相等的三角形相似即可得证【解答】解:(1)当点M在的中点处时,MAB面积最大,此时OMAB,OM=AB=4=2,SABM=ABOM=42=4;(2)PMB=PAN,P=P,PANPMB37(2018株洲)如图,在RtABM和RtADN的斜边分别为正方形的边AB和AD,其中AM=AN(1)求证:RtABMRtAND;(2)线段MN与线段AD相交于T,若AT=,求tanABM的值【分析】(1)利用HL证明即可;(2)想办法证明DNTAMT,可得由AT=,推出,在RtABM中,tanABM=【解答】解:(1)AD=AB,AM=AN,AMB=AND=90RtABMRtAND(HL)(2)由RtABMRtAND易得:DAN=BAM,DN=BMBAM+DAM=90;DAN+ADN=90DAM=ANDNDAMDNTAMTAT=,RtABMtanABM=38(2018大庆)如图,AB是O的直径,点E为线段OB上一点(不与O,B重合),作ECOB,交O于点C,作直径CD,过点C的切线交DB的延长线于点P,作AFPC于点F,连接CB(1)求证:AC平分FAB;(2)求证:BC2=CECP;(3)当AB=4且=时,求劣弧的长度【分析】(1)根据等角的余角相等证明即可;(2)只要证明CBECPB,可得=解决问题;(3)作BMPF于M则CE=CM=CF,设CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a,利用相似三角形的性质求出BM,求出tanBCM的值即可解决问题;【解答】(1)证明:AB是直径,ACB=90,BCP+ACF=90,ACE+BCE=90,BCP=BCE,ACF=ACE,即AC平分FAB(2)证明:OC=OB,OCB=OBC,PF是O的切线,CEAB,OCP=CEB=90,PCB+OCB=90,BCE+OBC=90,BCE=BCP,CD是直径,CBD=CBP=90,CBECPB,=,BC2=CECP;(3)解:作BMPF于M则CE=CM=CF,设CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a,MCB+P=90,P+PBM=90,MCB=PBM,CD是直径,BMPC,CMB=BMP=90,BMCPMB,=,BM2=CMPM=3a2,BM=a,tanBCM=,BCM=30,OCB=OBC=BOC=60,BOD=120的长=39(2018江西)如图,在ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CDAB,BD是ABC的平分线,BD交AC于点E,求AE的长【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出D=CBD,求出BC=CD=4,证AEBCED,得出比例式,求出AE=2CE,即可得出答案【解答】解:BD为ABC的平分线,ABD=CBD,ABCD,D=ABD,D=CBD,BC=CD,BC=4,CD=4,ABCD,ABECDE,=,=,AE=2CE,AC=6=AE+CE,AE=440(2018上海)已知:如图,正方形ABCD中,P是边BC上一点,BEAP,DFAP,垂足分别是点E、F(1)求证:EF=AEBE;(2)联结BF,如课=求证:EF=EP【分析】(1)利用正方形的性质得AB=AD,BAD=90,根据等角的余角相等得到1=3,则可判断ABEDAF,则BE=AF,然后利用等线段代换可得到结论;(2)利用=和AF=BE得到=,则可判定RtBEFRtDFA,所以4=3,再证明4=5,然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP【解答】证明:(1)四边形ABCD为正方形,AB=AD,BAD=90,BEAP,DFAP,BEA=AFD=90,1+2=90,2+3=90,1=3,在ABE和DAF中,ABEDAF,BE=AF,EF=AEAF=AEBE;(2)如图,=,而AF=BE,=,=,RtBEFRtDFA,4=3,而1=3,4=1,5=1,4=5,即BE平分FBP,而BEEP,EF=EP41(2018东营)如图,CD是O的切线,点C在直径AB的延长线上(1)求证:CAD=BDC;(2)若BD=AD,AC=3,求CD的长【分析】(1)连接OD,由OB=OD可得出OBD=ODB,根据切线的性质及直径所对的圆周角等于180,利用等角的余角相等,即可证出CAD=BDC;(2)由C=C、CAD=CDB可得出CDBCAD,根据相似三角形的性质结合BD=AD、AC=3,即可求出CD的长【解答】(1)证明:连接OD,如图所示OB=OD,OBD=ODBCD是O的切线,OD是O的半径,ODB+BDC=90AB是O的直径,ADB=90,OBD+CAD=90,CAD=BDC(2)解:C=C,CAD=CDB,CDBCAD,=BD=AD,=,=,又AC=3,CD=242(2018南京)如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,连接DE过点A作AFDE,垂足为F,O经过点C、D、F,与AD相交于点G(1)求证:AFGDFC;(2)若正方形ABCD的边长为4,AE=1,求O的半径【分析】(1)欲证明AFGDFC,只要证明FAG=FDC,AGF=FCD;(2)首先证明CG是直径,求出CG即可解决问题;【解答】(1)证明:在正方形ABCD中,ADC=90,CDF+ADF=90,AFDE,AFD=90,DAF+ADF=90,DAF=CDF,四边形GFCD是O的内接四边形,FCD+DGF=180,FGA+DGF=180,FGA=FCD,AFGDFC(2)解:如图,连接CGEAD=AFD=90,EDA=ADF,EDAADF,=,即=,AFGDFC,=,=,在正方形ABCD中,DA=DC,AG=EA=1,DG=DAAG=41=3,CG=5,CDG=90,CG是O的直径,O的半径为43(2018滨州)如图,AB为O的直径,点C在O上,ADCD于点D,且AC平分DAB,求证:(1)直线DC是O的切线;(2)AC2=2ADAO【分析】(1)连接OC,由OA=OC、AC平分DAB知OAC=OCA=DAC,据此知OCAD,根据ADDC即可得证;(2)连接BC,证DACCAB即可得【解答】解:(1)如图,连接OC,OA=OC,OAC=OCA,AC平分DAB,OAC=DAC,DAC=OCA,OCAD,又ADCD,OCDC,DC是O的切线;(2)连接BC,AB为O的直径,AB=2AO,ACB=90,ADDC,ADC=ACB=90,又DAC=CAB,DACCAB,=,即AC2=ABAD,AB=2AO,AC2=2ADAO44(2018十堰)如图,ABC中,AB=AC,以AB为直径的O交BC于点D,交AC于点E,过点D作FGAC于点F,交AB的延长线于点G(1)求证:FG是O的切线;(2)若tanC=2,求的值【分析】(1)欲证明FG是O的切线,只要证明ODFG;(2)由GDBGAD,设BG=a可得=,推出DG=2a,AG=4a,由此即可解决问题;【解答】(1)证明:连接AD、ODAB是直径,ADB=90,即ADBC,AC=AB,CD=BD,OA=OB,ODAC,DFAC,ODDF,FG是O的切线(2)解:tanC=2,BD=CD,BD:AD=1:2,GDB+ODB=90,ADO+ODB=90,OA=OD,OAD=ODA,GDB=GAD,G=G,GDBGAD,设BG=a=,DG=2a,AG=4a,BG:GA=1:445(2018杭州)如图,在ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,DEAB于点E(1)求证:BDECAD(2)若AB=13,BC=10,求线段DE的长【分析】(1)想办法证明B=C,DEB=ADC=90即可解决问题;(2)利用面积法: ADBD=ABDE求解即可;【解答】解:(1)AB=AC,BD=CD,ADBC,B=C,DEAB,DEB=ADC,BDECAD(2)AB=AC,BD=CD,ADBC,在RtADB中,AD=12,ADBD=ABDE,DE=46(2018烟台)如图,已知D,E分别为ABC的边AB,BC上两点,点A,C,E在D上,点B,D在E上F为上一点,连接FE并延长交AC的延长线于点N,交AB于点M(1)若EBD为,请将CAD用含的代数式表示;(2)若EM=MB,请说明当CAD为多少度时,直线EF为D的切线;(3)在(2)的条件下,若AD=,求的值【分析】(1)根据同圆的半径相等和等边对等角得:EDB=EBD=,CAD=ACD,DCE=DEC=2,再根据三角形内角和定理可得结论;(2)设MBE=x,同理得:EMB=MBE=x,根据切线的性质知:DEF=90,所以CED+MEB=90,同理根据三角形内角和定理可得CAD=45;(3)由(2)得:CAD=45;根据(1)的结论计算MBE=30,证明CDE是等边三角形,得CD=CE=DE=EF=AD=,求EM=1,MF=EFEM=1,根据三角形内角和及等腰三角形的判定得:EN=CE=,代入化简可得结论【解答】解:(1)连接CD、DE,E中,ED=EB,EDB=EBD=,CED=EDB+EBD=2,D中,DC=DE=AD,CAD=ACD,DCE=DEC=2,ACB中,CAD+ACD+DCE+EBD=180,CAD=;(2)设MBE=x,EM=MB,EMB=MBE=x,当EF为D的切线时,DEF=90,CED+MEB=90,CED=DCE=90x,ACB中,同理得,CAD+ACD+DCE+EBD=180,2CAD=18090=90,CAD=45;(3)由(2)得:CAD=45;由(1)得:CAD=;MBE=30,CED=2MBE=60,CD=DE,CDE是等边三角形,CD=CE=DE=EF=AD=,RtDEM中,EDM=30,DE=,EM=1,MF=EFEM=1,ACB中,NCB=45+30=75,CNE中,CEN=BEF=30,CNE=75,CNE=NCB=75,EN=CE=,=2+47(2018陕西)周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽测量时,他们选择了河对岸岸边的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E与点C、A共线已知:CBAD,EDAD,测得BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m测量示意图如图所示请根据相关测量信息,求河宽AB【分析】由BCDE,可得=,构建方程即可解决问题【解答】解:BCDE,ABCADE,=,=,AB=17(m),经检验:AB=17是分式方程的解,答:河宽AB的长为17米48(2018济宁)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别是边AD,BC的中点,连接DF,过点E作EHDF,垂足为H,EH的延长线交DC于点G(1)猜想DG与CF的数量关系,并证明你的结论;(2)过点H作MNCD,分别交AD,BC于点M,N,若正方形ABCD的边长为10,点P是MN上一点,求PDC周长的最小值【分析】(1)结论:CF=2DG只要证明DEGCDF即可;(2)作点C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC,此时PDC的周长最短周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK;【解答】解:(1)结论:CF=2DG理由:四边形ABCD是正方形,AD=BC=CD=AB,ADC=C=90,DE=AE,AD=CD=2DE,EGDF,DHG=90,CDF+DGE=90,DGE+DEG=90,CDF=DEG,DEGCDF,=,CF=2DG(2)作点C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC,此时PDC的周长最短周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK由题意:CD=AD=10,ED=AE=5,DG=,EG=,DH=,EH=2DH=2,HM=2,DM=CN=NK=1,在RtDCK中,DK=2,PCD的周长的最小值为10+249(2018聊城)如图,正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过B点作BHAE,垂足为点H,延长BH交CD于点F,连接AF(1)求证:AE=BF(2)若正方形边长是5,BE=2,求AF的长【分析】(1)根据ASA证明ABEBCF,可得结论;(2)根据(1)得:ABEBCF,则CF=BE=2,最后利用勾股定理可得AF的长【解答】(1)证明:四边形ABCD是正方形,AB=BC,ABE=BCF=90,BAE+AEB=90,BHAE,BHE=90,AEB+EBH=90,BAE=EBH,在ABE和BCF中,ABEBCF(ASA),AE=BF;(2)解:AB=BC=5,由(1)得:ABEBCF,CF=BE=2,DF=52=3,四边形ABCD是正方形,AB=AD=5,ADF=90,由勾股定理得:AF=50(2018乌鲁木齐)如图,AG是HAF的平分线,点E在AF上,以AE为直径的O交AG于点D,过点D作AH的垂线,垂足为点C,交AF于点B(1)求证:直线BC是O的切线;(2)若AC=2CD,设O的半径为r,求BD的长度【分析】(1)根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得ODAC,证明ODCB,可得结论;(2)在RtACD中,设CD=a,则AC=2a,AD=a,证明ACDADE,表示a=,由平行线分线段成比例定理得:,代入可得结论【解答】(1)证明:连接OD,AG是HAF的平分线,CAD=BAD,OA=OD,OAD=ODA,CAD=ODA,ODAC,ACD=90,ODB=ACD=90,即ODCB,D在O上,直线BC是O的切线;(4分)(2)解:在RtACD中,设CD=a,则AC=2a,AD=a,连接DE,AE是O的直径,ADE=90,由CAD=BAD,ACD=ADE=90,ACDADE,即,a=,由(1)知:ODAC,即,a=,解得BD=r(10分)46
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