2018中考数学试题分类汇编 考点36 相似三角形（含解析）

2018中考数学试题分类汇编：考点36 相似三角形一选择题（共28小题）1（2018重庆）制作一块3m2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A360元B720元C1080元D2160元【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可【解答】解：3m2m=6m2，长方形广告牌的成本是1206=20元/m2，将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则面积扩大为原来的9倍，扩大后长方形广告牌的面积=96=54m2，扩大后长方形广告牌的成本是5420=1080m2，故选：C2（2018玉林）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（）A：B2：3C4：9D8：27【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可【解答】解：两三角形的相似比是2：3，其面积之比是4：9，故选：C3（2018重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A3cmB4cmC4.5cmD5cm【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm，根据题意，得： =，解得：x=4.5，即另一个三角形的最长边长为4.5cm，故选：C4（2018内江）已知ABC与A1B1C1相似，且相似比为1：3，则ABC与A1B1C1的面积比为（）A1：1B1：3C1：6D1：9【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出即可【解答】解：已知ABC与A1B1C1相似，且相似比为1：3，则ABC与A1B1C1的面积比为1：9，故选：D5（2018铜仁市）已知ABCDEF，相似比为2，且ABC的面积为16，则DEF的面积为（）A32B8C4D16【分析】由ABCDEF，相似比为2，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得ABC与DEF的面积比为4，又由ABC的面积为16，即可求得DEF的面积【解答】解：ABCDEF，相似比为2，ABC与DEF的面积比为4，ABC的面积为16，DEF的面积为：16=4故选：C6（2017重庆）已知ABCDEF，且相似比为1：2，则ABC与DEF的面积比为（）A1：4B4：1C1：2D2：1【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可【解答】解：ABCDEF，且相似比为1：2，ABC与DEF的面积比为1：4，故选：A7（2018临安区）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC相似的是（）ABCD【分析】根据正方形的性质求出ACB，根据相似三角形的判定定理判断即可【解答】解：由正方形的性质可知，ACB=18045=135，A、C、D图形中的钝角都不等于135，由勾股定理得，BC=，AC=2，对应的图形B中的边长分别为1和，=，图B中的三角形（阴影部分）与ABC相似，故选：B8（2018广东）在ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则ADE与ABC的面积之比为（）ABCD【分析】由点D、E分别为边AB、AC的中点，可得出DE为ABC的中位线，进而可得出DEBC及ADEABC，再利用相似三角形的性质即可求出ADE与ABC的面积之比【解答】解：点D、E分别为边AB、AC的中点，DE为ABC的中位线，DEBC，ADEABC，=（）2=故选：C9（2018自贡）如图，在ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若ADE的面积为4，则ABC的面积为（）A8B12C14D16【分析】直接利用三角形中位线定理得出DEBC，DE=BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案【解答】解：在ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，DEBC，DE=BC，ADEABC，=，=，ADE的面积为4，ABC的面积为：16，故选：D10（2018崇明县一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则DEF的面积与BAF的面积之比为（）A3：4B9：16C9：1D3：1【分析】可证明DFEBFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，DCAB，DFEBFA，DE：EC=3：1，DE：DC=3：4，DE：AB=3：4，SDFE：SBFA=9：16 故选：B11（2018随州）如图，平行于BC的直线DE把ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）A1BC 1D【分析】由DEBC可得出ADEABC，利用相似三角形的性质结合SADE=S四边形BCED，可得出=，结合BD=ABAD即可求出的值，此题得解【解答】解：DEBC，ADE=B，AED=C，ADEABC，（）2=SADE=S四边形BCED，=，=1故选：C12（2018哈尔滨）如图，在ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GEBD，且交AB于点E，GFAC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A =B =C =D =【分析】由GEBD、GFAC可得出AEGABD、DFGDCA，根据相似三角形的性质即可找出=，此题得解【解答】解：GEBD，GFAC，AEGABD，DFGDCA，=， =，=故选：D13（2018遵义）如图，四边形ABCD中，ADBC，ABC=90，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E若DE=3，则AD的长为（）A5B4C3D2【分析】先求出AC，进而判断出ADFCAB，即可设DF=x，AD=x，利用勾股定理求出BD，再判断出DEFDBA，得出比例式建立方程即可得出结论【解答】解：如图，在RtABC中，AB=5，BC=10，AC=5过点D作DFAC于F，AFD=CBA，ADBC，DAF=ACB，ADFCAB，设DF=x，则AD=x，在RtABD中，BD=，DEF=DBA，DFE=DAB=90，DEFDBA，x=2，AD=x=2，故选：D14（2018扬州）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰RtABC和等腰RtADE，CD与BE、AE分别交于点P，M对于下列结论：BAECAD；MPMD=MAME；2CB2=CPCM其中正确的是（）ABCD【分析】（1）由等腰RtABC和等腰RtADE三边份数关系可证；（2）通过等积式倒推可知，证明PAMEMD即可；（3）2CB2转化为AC2，证明ACPMCA，问题可证【解答】解：由已知：AC=AB，AD=AEBAC=EADBAE=CADBAECAD所以正确BAECADBEA=CDAPME=AMDPMEAMDMPMD=MAME所以正确BEA=CDAPME=AMDP、E、D、A四点共圆APD=EAD=90CAE=180BACEAD=90CAPCMAAC2=CPCMAC=AB2CB2=CPCM所以正确故选：A15（2018贵港）如图，在ABC中，EFBC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则SABC=（）A16B18C20D24【分析】由EFBC，可证明AEFABC，利用相似三角形的性质即可求出则SABC的值【解答】解：EFBC，AEFABC，AB=3AE，AE：AB=1：3，SAEF：SABC=1：9，设SAEF=x，S四边形BCFE=16，=，解得：x=2，SABC=18，故选：B16（2018孝感）如图，ABC是等边三角形，ABD是等腰直角三角形，BAD=90，AEBD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AHCD交BD于点H则下列结论：ADC=15；AF=AG；AH=DF；AFGCBG；AF=（1）EF其中正确结论的个数为（）A5B4C3D2【分析】由等边三角形与等腰直角三角形知CAD是等腰三角形且顶角CAD=150，据此可判断；求出AFP和FAG度数，从而得出AGF度数，据此可判断；证ADFBAH即可判断；由AFG=CBG=60、AGF=CGB即可得证；设PF=x，则AF=2x、AP=x，设EF=a，由ADFBAH知BH=AF=2x，根据ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x，据此得出EH=a，证PAFEAH得=，从而得出a与x的关系即可判断【解答】解：ABC为等边三角形，ABD为等腰直角三角形，BAC=60、BAD=90、AC=AB=AD，ADB=ABD=45，CAD是等腰三角形，且顶角CAD=150，ADC=15，故正确；AEBD，即AED=90，DAE=45，AFG=ADC+DAE=60，FAG=45，AGF=75，由AFGAGF知AFAG，故错误；记AH与CD的交点为P，由AHCD且AFG=60知FAP=30，则BAH=ADC=15，在ADF和BAH中，ADFBAH（ASA），DF=AH，故正确；AFG=CBG=60，AGF=CGB，AFGCBG，故正确；在RtAPF中，设PF=x，则AF=2x、AP=x，设EF=a，ADFBAH，BH=AF=2x，ABE中，AEB=90、ABE=45，BE=AE=AF+EF=a+2x，EH=BEBH=a+2x2x=a，APF=AEH=90，FAP=HAE，PAFEAH，=，即=，整理，得：2x2=（1）ax，由x0得2x=（1）a，即AF=（1）EF，故正确；故选：B17（2018泸州）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是（）ABCD【分析】如图作，FNAD，交AB于N，交BE于M设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；【解答】解：如图作，FNAD，交AB于N，交BE于M四边形ABCD是正方形，ABCD，FNAD，四边形ANFD是平行四边形，D=90，四边形ANFD是解析式，AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，AN=BN，MNAE，BM=ME，MN=a，FM=a，AEFM，=，故选：C18（2018临安区）如图，在ABC中，DEBC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为（）ABCD【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例解则可【解答】解：DEBC，ADEABC，=故选：A19（2018恩施州）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点已知FG=2，则线段AE的长度为（）A6B8C10D12【分析】根据正方形的性质可得出ABCD，进而可得出ABFGDF，根据相似三角形的性质可得出=2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CGAB、AB=2CG可得出CG为EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解【解答】解：四边形ABCD为正方形，AB=CD，ABCD，ABF=GDF，BAF=DGF，ABFGDF，=2，AF=2GF=4，AG=6CGAB，AB=2CG，CG为EAB的中位线，AE=2AG=12故选：D20（2018杭州）如图，在ABC中，点D在AB边上，DEBC，与边AC交于点E，连结BE记ADE，BCE的面积分别为S1，S2（）A若2ADAB，则3S12S2B若2ADAB，则3S12S2C若2ADAB，则3S12S2D若2ADAB，则3S12S2【分析】根据题意判定ADEABC，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答【解答】解：如图，在ABC中，DEBC，ADEABC，=（）2，若2ADAB，即时，此时3S1S2+SBDE，而S2+SBDE2S2但是不能确定3S1与2S2的大小，故选项A不符合题意，选项B不符合题意若2ADAB，即时，此时3S1S2+SBDE2S2，故选项C不符合题意，选项D符合题意故选：D21（2018永州）如图，在ABC中，点D是边AB上的一点，ADC=ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为（）A2B4C6D8【分析】只要证明ADCACB，可得=，即AC2=ADAB，由此即可解决问题；【解答】解：A=A，ADC=ACB，ADCACB，=，AC2=ADAB=28=16，AC0，AC=4，故选：B22（2018香坊区）如图，点D、E、F分别是ABC的边AB、AC、BC上的点，若DEBC，EFAB，则下列比例式一定成立的是（）A =B =C =D =【分析】用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定即可得出结论【解答】解：DEBC，DEBC，ADEABC，EFAB，EFAB，CEFCAB，DEBC，EFAB，四边形BDEF是平行四边形，DE=BF，EF=BD，正确，故选：C23（2018荆门）如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，则SEFG：SABG=（）A1：3B3：1C1：9D9：1【分析】利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题；【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，CD=AB，CDAB，DE=EF=FC，EF：AB=1：3，EFGBAG，=（）2=，故选：C24（2018达州）如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=AC连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则的值为（）ABCD1【分析】首先证明AG：AB=CH：BC=1：3，推出GHAC，推出BGHBAC，可得=（）2=（）2=， =，由此即可解决问题【解答】解：四边形ABCD是平行四边形AD=BC，DC=AB，AC=CA，ADCCBA，SADC=SABC，AE=CF=AC，AGCD，CHAD，AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF=1：3，AG：AB=CH：BC=1：3，GHAC，BGHBAC，=（）2=（）2=，=，=，故选：C25（2018南充）如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连结AP，过点B作BEAP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CHBE于点G，交AB于点H，连接HF下列结论正确的是（）ACE=BEF=CcosCEP=DHF2=EFCF【分析】首先证明BH=AH，推出EG=BG，推出CE=CB，再证明CEHCBH，RtHFERtHFA，利用全等三角形的性质即可一一判断【解答】解：连接EH四边形ABCD是正方形，CD=ABBC=AD=2，CDAB，BEAP，CHBE，CHPA，四边形CPAH是平行四边形，CP=AH，CP=PD=1，AH=PC=1，AH=BH，在RtABE中，AH=HB，EH=HB，HCBE，BG=EG，CB=CE=2，故选项A错误，CH=CH，CB=CE，HB=HE，ABCCEH，CBH=CEH=90，HF=HF，HE=HA，RtHFERtHFA，AF=EF，设EF=AF=x，在RtCDF中，有22+（2x）2=（2+x）2，x=，EF=，故B错误，PACH，CEP=ECH=BCH，cosCEP=cosBCH=，故C错误HF=，EF=，FC=HF2=EFFC，故D正确，故选：D26（2018临沂）如图利用标杆BE测量建筑物的高度已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6mBC=12.4m则建筑物CD的高是（）A9.3mB10.5mC12.4mD14m【分析】先证明ABEACD，则利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质求出CD即可【解答】解：EBCD，ABEACD，=，即=，CD=10.5（米）故选：B27（2018长春）孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）A五丈B四丈五尺C一丈D五尺【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论【解答】解：设竹竿的长度为x尺，竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，解得x=45（尺）故选：B28（2018绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知ABBD，CDBD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（）A0.2mB0.3mC0.4mD0.5m【分析】由ABO=CDO=90、AOB=COD知ABOCDO，据此得=，将已知数据代入即可得【解答】解：ABBD，CDBD，ABO=CDO=90，又AOB=COD，ABOCDO，则=，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，=，解得：CD=0.4，故选：C二填空题（共7小题）29（2018邵阳）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF写出图中任意一对相似三角形：ADFECF【分析】利用平行四边形的性质得到ADCE，则根据相似三角形的判定方法可判断ADFECF【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，ADCE，ADFECF故答案为ADFECF30（2018北京）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为【分析】根据矩形的性质可得出ABCD，进而可得出FAE=FCD，结合AFE=CFD（对顶角相等）可得出AFECFD，利用相似三角形的性质可得出=2，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合CF=AC，即可求出CF的长【解答】解：四边形ABCD为矩形，AB=CD，AD=BC，ABCD，FAE=FCD，又AFE=CFD，AFECFD，=2AC=5，CF=AC=5=故答案为：31（2018包头）如图，在ABCD中，AC是一条对角线，EFBC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，连接DF若SAEF=1，则SADF的值为【分析】由3AE=2EB可设AE=2a、BE=3a，根据EFBC得=（）2=，结合SAEF=1知SADC=SABC=，再由=知=，继而根据SADF=SADC可得答案【解答】解：3AE=2EB，可设AE=2a、BE=3a，EFBC，AEFABC，=（）2=（）2=，SAEF=1，SABC=，四边形ABCD是平行四边形，SADC=SABC=，EFBC，=，=，SADF=SADC=，故答案为：32（2018资阳）已知：如图，ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为9【分析】设四边形BCED的面积为x，则SADE=12x，由题意知DEBC且DE=BC，从而得=（）2，据此建立关于x的方程，解之可得【解答】解：设四边形BCED的面积为x，则SADE=12x，点D、E分别是边AB、AC的中点，DE是ABC的中位线，DEBC，且DE=BC，ADEABC，则=（）2，即=，解得：x=9，即四边形BCED的面积为9，故答案为：933（2018泰安）九章算术是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为步【分析】证明CDKDAH，利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质可求出CK的长【解答】解：DH=100，DK=100，AH=15，AHDK，CDK=A，而CKD=AHD，CDKDAH，=，即=，CK=答：KC的长为步故答案为34（2018岳阳）九章算术是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步【分析】如图1，根据正方形的性质得：DEBC，则ADEACB，列比例式可得结论；如图2，同理可得正方形的边长，比较可得最大值【解答】解：如图1，四边形CDEF是正方形，CD=ED，DECF，设ED=x，则CD=x，AD=12x，DECF，ADE=C，AED=B，ADEACB，x=，如图2，四边形DGFE是正方形，过C作CPAB于P，交DG于Q，设ED=x，SABC=ACBC=ABCP，125=13CP，CP=，同理得：CDGCAB，x=，该直角三角形能容纳的正方形边长最大是（步），故答案为：35（2018吉林）如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，B=C=90，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=100m【分析】由两角对应相等可得BADCED，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB【解答】解：ADB=EDC，ABC=ECD=90，ABDECD，解得：AB=（米）故答案为：100三解答题（共15小题）36（2018张家界）如图，点P是O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为上一个动点（不与A，B重合），射线PM与O交于点N（不与M重合）（1）当M在什么位置时，MAB的面积最大，并求岀这个最大值；（2）求证：PANPMB【分析】（1）当M在弧AB中点时，三角形MAB面积最大，此时OM与AB垂直，求出此时三角形面积最大值即可；（2）由同弧所对的圆周角相等及公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证【解答】解：（1）当点M在的中点处时，MAB面积最大，此时OMAB，OM=AB=4=2，SABM=ABOM=42=4；（2）PMB=PAN，P=P，PANPMB37（2018株洲）如图，在RtABM和RtADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM=AN（1）求证：RtABMRtAND；（2）线段MN与线段AD相交于T，若AT=，求tanABM的值【分析】（1）利用HL证明即可；（2）想办法证明DNTAMT，可得由AT=，推出，在RtABM中，tanABM=【解答】解：（1）AD=AB，AM=AN，AMB=AND=90RtABMRtAND（HL）（2）由RtABMRtAND易得：DAN=BAM，DN=BMBAM+DAM=90；DAN+ADN=90DAM=ANDNDAMDNTAMTAT=，RtABMtanABM=38（2018大庆）如图，AB是O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作ECOB，交O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AFPC于点F，连接CB（1）求证：AC平分FAB；（2）求证：BC2=CECP；（3）当AB=4且=时，求劣弧的长度【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）只要证明CBECPB，可得=解决问题；（3）作BMPF于M则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性质求出BM，求出tanBCM的值即可解决问题；【解答】（1）证明：AB是直径，ACB=90，BCP+ACF=90，ACE+BCE=90，BCP=BCE，ACF=ACE，即AC平分FAB（2）证明：OC=OB，OCB=OBC，PF是O的切线，CEAB，OCP=CEB=90，PCB+OCB=90，BCE+OBC=90，BCE=BCP，CD是直径，CBD=CBP=90，CBECPB，=，BC2=CECP；（3）解：作BMPF于M则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，MCB+P=90，P+PBM=90，MCB=PBM，CD是直径，BMPC，CMB=BMP=90，BMCPMB，=，BM2=CMPM=3a2，BM=a，tanBCM=，BCM=30，OCB=OBC=BOC=60，BOD=120的长=39（2018江西）如图，在ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CDAB，BD是ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出D=CBD，求出BC=CD=4，证AEBCED，得出比例式，求出AE=2CE，即可得出答案【解答】解：BD为ABC的平分线，ABD=CBD，ABCD，D=ABD，D=CBD，BC=CD，BC=4，CD=4，ABCD，ABECDE，=，=，AE=2CE，AC=6=AE+CE，AE=440（2018上海）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BEAP，DFAP，垂足分别是点E、F（1）求证：EF=AEBE；（2）联结BF，如课=求证：EF=EP【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD，BAD=90，根据等角的余角相等得到1=3，则可判断ABEDAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利用=和AF=BE得到=，则可判定RtBEFRtDFA，所以4=3，再证明4=5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP【解答】证明：（1）四边形ABCD为正方形，AB=AD，BAD=90，BEAP，DFAP，BEA=AFD=90，1+2=90，2+3=90，1=3，在ABE和DAF中，ABEDAF，BE=AF，EF=AEAF=AEBE；（2）如图，=，而AF=BE，=，=，RtBEFRtDFA，4=3，而1=3，4=1，5=1，4=5，即BE平分FBP，而BEEP，EF=EP41（2018东营）如图，CD是O的切线，点C在直径AB的延长线上（1）求证：CAD=BDC；（2）若BD=AD，AC=3，求CD的长【分析】（1）连接OD，由OB=OD可得出OBD=ODB，根据切线的性质及直径所对的圆周角等于180，利用等角的余角相等，即可证出CAD=BDC；（2）由C=C、CAD=CDB可得出CDBCAD，根据相似三角形的性质结合BD=AD、AC=3，即可求出CD的长【解答】（1）证明：连接OD，如图所示OB=OD，OBD=ODBCD是O的切线，OD是O的半径，ODB+BDC=90AB是O的直径，ADB=90，OBD+CAD=90，CAD=BDC（2）解：C=C，CAD=CDB，CDBCAD，=BD=AD，=，=，又AC=3，CD=242（2018南京）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE过点A作AFDE，垂足为F，O经过点C、D、F，与AD相交于点G（1）求证：AFGDFC；（2）若正方形ABCD的边长为4，AE=1，求O的半径【分析】（1）欲证明AFGDFC，只要证明FAG=FDC，AGF=FCD；（2）首先证明CG是直径，求出CG即可解决问题；【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，ADC=90，CDF+ADF=90，AFDE，AFD=90，DAF+ADF=90，DAF=CDF，四边形GFCD是O的内接四边形，FCD+DGF=180，FGA+DGF=180，FGA=FCD，AFGDFC（2）解：如图，连接CGEAD=AFD=90，EDA=ADF，EDAADF，=，即=，AFGDFC，=，=，在正方形ABCD中，DA=DC，AG=EA=1，DG=DAAG=41=3，CG=5，CDG=90，CG是O的直径，O的半径为43（2018滨州）如图，AB为O的直径，点C在O上，ADCD于点D，且AC平分DAB，求证：（1）直线DC是O的切线；（2）AC2=2ADAO【分析】（1）连接OC，由OA=OC、AC平分DAB知OAC=OCA=DAC，据此知OCAD，根据ADDC即可得证；（2）连接BC，证DACCAB即可得【解答】解：（1）如图，连接OC，OA=OC，OAC=OCA，AC平分DAB，OAC=DAC，DAC=OCA，OCAD，又ADCD，OCDC，DC是O的切线；（2）连接BC，AB为O的直径，AB=2AO，ACB=90，ADDC，ADC=ACB=90，又DAC=CAB，DACCAB，=，即AC2=ABAD，AB=2AO，AC2=2ADAO44（2018十堰）如图，ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FGAC于点F，交AB的延长线于点G（1）求证：FG是O的切线；（2）若tanC=2，求的值【分析】（1）欲证明FG是O的切线，只要证明ODFG；（2）由GDBGAD，设BG=a可得=，推出DG=2a，AG=4a，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：连接AD、ODAB是直径，ADB=90，即ADBC，AC=AB，CD=BD，OA=OB，ODAC，DFAC，ODDF，FG是O的切线（2）解：tanC=2，BD=CD，BD：AD=1：2，GDB+ODB=90，ADO+ODB=90，OA=OD，OAD=ODA，GDB=GAD，G=G，GDBGAD，设BG=a=，DG=2a，AG=4a，BG：GA=1：445（2018杭州）如图，在ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DEAB于点E（1）求证：BDECAD（2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长【分析】（1）想办法证明B=C，DEB=ADC=90即可解决问题；（2）利用面积法： ADBD=ABDE求解即可；【解答】解：（1）AB=AC，BD=CD，ADBC，B=C，DEAB，DEB=ADC，BDECAD（2）AB=AC，BD=CD，ADBC，在RtADB中，AD=12，ADBD=ABDE，DE=46（2018烟台）如图，已知D，E分别为ABC的边AB，BC上两点，点A，C，E在D上，点B，D在E上F为上一点，连接FE并延长交AC的延长线于点N，交AB于点M（1）若EBD为，请将CAD用含的代数式表示；（2）若EM=MB，请说明当CAD为多少度时，直线EF为D的切线；（3）在（2）的条件下，若AD=，求的值【分析】（1）根据同圆的半径相等和等边对等角得：EDB=EBD=，CAD=ACD，DCE=DEC=2，再根据三角形内角和定理可得结论；（2）设MBE=x，同理得：EMB=MBE=x，根据切线的性质知：DEF=90，所以CED+MEB=90，同理根据三角形内角和定理可得CAD=45；（3）由（2）得：CAD=45；根据（1）的结论计算MBE=30，证明CDE是等边三角形，得CD=CE=DE=EF=AD=，求EM=1，MF=EFEM=1，根据三角形内角和及等腰三角形的判定得：EN=CE=，代入化简可得结论【解答】解：（1）连接CD、DE，E中，ED=EB，EDB=EBD=，CED=EDB+EBD=2，D中，DC=DE=AD，CAD=ACD，DCE=DEC=2，ACB中，CAD+ACD+DCE+EBD=180，CAD=；（2）设MBE=x，EM=MB，EMB=MBE=x，当EF为D的切线时，DEF=90，CED+MEB=90，CED=DCE=90x，ACB中，同理得，CAD+ACD+DCE+EBD=180，2CAD=18090=90，CAD=45；（3）由（2）得：CAD=45；由（1）得：CAD=；MBE=30，CED=2MBE=60，CD=DE，CDE是等边三角形，CD=CE=DE=EF=AD=，RtDEM中，EDM=30，DE=，EM=1，MF=EFEM=1，ACB中，NCB=45+30=75，CNE中，CEN=BEF=30，CNE=75，CNE=NCB=75，EN=CE=，=2+47（2018陕西）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线已知：CBAD，EDAD，测得BC=1m，DE=1.5m，BD=8.5m测量示意图如图所示请根据相关测量信息，求河宽AB【分析】由BCDE，可得=，构建方程即可解决问题【解答】解：BCDE，ABCADE，=，=，AB=17（m），经检验：AB=17是分式方程的解，答：河宽AB的长为17米48（2018济宁）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EHDF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MNCD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求PDC周长的最小值【分析】（1）结论：CF=2DG只要证明DEGCDF即可；（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时PDC的周长最短周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK；【解答】解：（1）结论：CF=2DG理由：四边形ABCD是正方形，AD=BC=CD=AB，ADC=C=90，DE=AE，AD=CD=2DE，EGDF，DHG=90，CDF+DGE=90，DGE+DEG=90，CDF=DEG，DEGCDF，=，CF=2DG（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时PDC的周长最短周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，DH=，EH=2DH=2，HM=2，DM=CN=NK=1，在RtDCK中，DK=2，PCD的周长的最小值为10+249（2018聊城）如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BHAE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF（1）求证：AE=BF（2）若正方形边长是5，BE=2，求AF的长【分析】（1）根据ASA证明ABEBCF，可得结论；（2）根据（1）得：ABEBCF，则CF=BE=2，最后利用勾股定理可得AF的长【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，AB=BC，ABE=BCF=90，BAE+AEB=90，BHAE，BHE=90，AEB+EBH=90，BAE=EBH，在ABE和BCF中，ABEBCF（ASA），AE=BF；（2）解：AB=BC=5，由（1）得：ABEBCF，CF=BE=2，DF=52=3，四边形ABCD是正方形，AB=AD=5，ADF=90，由勾股定理得：AF=50（2018乌鲁木齐）如图，AG是HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B（1）求证：直线BC是O的切线；（2）若AC=2CD，设O的半径为r，求BD的长度【分析】（1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得ODAC，证明ODCB，可得结论；（2）在RtACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=a，证明ACDADE，表示a=，由平行线分线段成比例定理得：，代入可得结论【解答】（1）证明：连接OD，AG是HAF的平分线，CAD=BAD，OA=OD，OAD=ODA，CAD=ODA，ODAC，ACD=90，ODB=ACD=90，即ODCB，D在O上，直线BC是O的切线；（4分）（2）解：在RtACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=a，连接DE，AE是O的直径，ADE=90，由CAD=BAD，ACD=ADE=90，ACDADE，即，a=，由（1）知：ODAC，即，a=，解得BD=r（10分）46