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考点十八排列与组合 一、选择题1“对称数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如121,666,54345等，则在所有的六位数中，不同的“对称数”的个数是()A100B900C999D1000答案B解析根据题意，对6位对称数，由于个位和十万位相同，十位和万位相同，百位和千位相同，个位有9种，十位和百位均有10种，故根据分步计数原理可得共有91010900个2将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A12种B10种C9种D8种答案A解析先为甲地选一名老师，有2种选法，再为甲地选两个学生，有C6种选法，甲地定了之后，乙地的教师和学生也定了，根据分步计数原理，有2612种方案3(2019甘肃第一次诊断考试)数术记遗是算经十书中的一部，相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著，该书主要记述了：积算(即筹算)、太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算、计数共14种计算器械的使用方法某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有()A种B种C种DCCC种答案A解析先将14种计算器械分为三组，方法数有种，再排给3个人，有A种排法，所以不同的分配方法数有A种，故选A.4(2019湖南师大附中模拟三)本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有()A72种B144种C288种D360种答案B解析第一步排语文、英语、化学、生物4种，且化学排在生物前面，有A12种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空档中的2个，有A12种排法，所以不同的排表方法共有1212144种，故选B.5(2019山东日照第一次模拟考试)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是()A210B84C343D336答案D解析由题意分组解决，因为对于7个台阶上每一个只站一人有A种；若有一个台阶站2人，另一个站1人共有CA种，所以共有不同的站法种数是ACA336种，故选D.6将编号1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的编号不能相同，则不同的放球方法有()A6种B9种C12种D18种答案C解析由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，先确定哪两个球在同一盒子中，有C6种方法，再确定放球方法，都是2种方法，由分步乘法计数原理得不同的放球方法有2612种7(2019江西名校5月联考)2019年4月2527日，北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为()A198B268C306D378答案A解析分两种情况，若选两个国内媒体一个国外媒体，有CCA90种不同提问方式；若选两个外国媒体一个国内媒体，有CCA108种不同提问方式，所以共有90108198种提问方式8. 现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有()A24种B30种C36种D48种答案D解析分两种情况：一种情况是用三种颜色有CA种方法；另一种情况是用四种颜色有A种方法所以不同的着色方法共有48种二、填空题9某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考试，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是_答案18解析分两种情况：从物、化、生中选两门，剩下的里面选一门，有CC9种；从物、化、生中选一门，剩下的里面选两门，有CC9种共有9918种选法10甲、乙、丙、丁四人站成一排，则甲乙相邻，甲丙不相邻有_种排法答案8解析分两类讨论：甲站在边上时，乙的位置就确定了，其余两人全排，故有AA4种甲乙丁三人捆绑一起(甲在中间)看作一个元素，与丙全排列，有AA4种由分类加法计数原理知有8种排法11对坐在一排的4人重新安排座位时，恰有一个人坐在原来的位置上，则共有_种不同的排法答案8解析第一步，先从4个人里选3个进行调换；第二步，因为每个人都不能坐在原来的座位上，因此第一个人有两种坐法，被坐了自己座位的那个人只能坐在第三个人的座位上(一种坐法)，才能保证第三个人也不坐在自己的座位上因此三个人调换有两种调换方法故不同的调换方法有C28种12(2019湖北1月联考)某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为_答案10解析设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻的种数相当于先将(n3)个停车位排放好，再将这3辆共享汽车插入到所成(n2)个间隔中，故有A种；恰有2辆相邻的种数：先把其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素，再和另一个插入到将(n3)个停车位排放好所成(n2)个间隔中，故有AA种，因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，所以AAA，解得n10.三、解答题13将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教(1)4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？(2)一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一所学校去1个人，有多少种不同的分配方案？解(1)根据题意，分3步进行分析：在7人中选出4人，将其分到甲学校，有C35种选法；在剩余3人中选出2人，将其分到乙学校，有C3种选法；将剩下的1人分到丙学校，有1种情况，则一共有353105种分配方案(2)根据题意，分2步进行分析：将7人分成3组，人数依次为4,2,1，有CCC105种分组方法；将分好的三组全排列，对应3个学校，有A6种情况，则一共有1056630种分配方案一、选择题1某彩票公司每天开奖一次，从1,2,3,4四个号码中随机开出一个作为中奖号码，开奖时如果开出的号码与前一天的相同，就要重开，直到开出与前一天不同的号码为止如果第一天开出的号码是4，那么第五天开出的号码也同样是4的所有可能的情况有()A14种B21种C24种D35种答案B解析第一天开出4，第五天同样开出4，则第二天开出的号码有3种情况，如果第三天开出的号码是4，则第四天开出的号码有3种情况；如果第三天开出的号码不是4，则第四天开出的号码有2种情况，所以满足条件的情况有31332221种2把7个字符a，a，a，b，b，排成一排，要求三个“a”两两不相邻，且两个“b”也不相邻，则这样的排法共有()A144种B96种C30种D12种答案B解析先排列b，b，若，不相邻，有AC种，若，相邻，有A种，共有6612种，从所形成的5个空位中选3个插入a，a，a，有C种，所以三个“a”两两不相邻的排法共有12C120种，若b，b相邻时，从所形成的4个空中选3个插入a，a，a，有C种，共有AC24种，所以三个“a”两两不相邻，且两个“b”也不相邻，这样的排法共有1202496种3(2019广西桂林一模)中国古代的五经是指：诗经尚书礼记周易春秋，甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲、乙都没有选诗经，乙也没选春秋，则5名同学所有可能的选择有()A18种B24种C36种D54种答案D解析若甲选春秋，则有CA18种情况；若甲不选春秋，则有AA36种情况所以5名同学所有可能的选择有183654种情况，故选D.4(2019辽宁丹东质量测试二)从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，不同选法共有()A156种B168种C180种D240种答案B解析从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队有CCC65180种选法，服务队中没有女生的选法有CCC43112种，所以要求服务队中至少有1名女生，不同选法共有18012168种，故选B.5(2019黑龙江哈尔滨六中第二次模拟)2020年东京夏季奥运会将设置4100米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员参加比赛，按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由1名运动员完成，且每名运动员都要出场，若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者自由泳，剩下的2名运动员四种泳姿都可以承担，则中国队的排兵布阵的方式共有()A144种B24种C12种D6种答案D解析由题意，若甲承担仰泳，则乙运动员有A2种安排方法，其他两名运动员有A2种安排方法，共计224种方法，若甲承担自由泳，则乙运动员只能安排蝶泳，其他两名运动员有A2种安排方法，共计2种方法，所以中国队共有426种不同的安排方法，故选D.6小明跟父母、爷爷奶奶一同参加中国诗词大会的现场录制，5人坐成一排若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的种数为()A60B72C84D96答案C解析根据题意，分3种情况讨论：若小明的父母只有1人与小明相邻且父母不相邻，先在其父母中选一人与小明相邻，有C2种情况，将小明与选出的家长看成一个整体，考虑其顺序有A2种情况，当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有AA12种安排方法，此时有221248种不同坐法；若小明的父母只有1人与小明相邻且父母相邻，将父母及小明看成一个整体，小明在一端，有2种情况，考虑父母之间的顺序，有2种情况，则这个整体内部有224种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A6种情况，此时有22624种不同坐法；小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边，将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有A2种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A6种情况，此时，共有2612种不同坐法；则一共有48241284种不同坐法7中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”，“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有()A120种B156种C188种D240种答案A解析当“数”排在第一节时有AA48种排法，当“数”排在第二节时有AAA36种排法，当“数”排在第三节时，当“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有AA12种排法，当“射”和“御”两门课程排在后三节时有AAA24种排法，所以满足条件的共有48361224120种排法8如图所示的阴影部分由3个小方格组成，我们称这样的图形为L形(每次旋转90仍为L形图案)，那么由45个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L形图案的个数是()A16B32C48D64答案C解析每个22的正方形有4个这样的L形图案，45个小方格组成的方格纸上有3412个不同的22的正方形(以正方形中心计数即可)，所以一共有48个不同位置的L形图案故选C.二、填空题9根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为_(用数字作答)答案36解析由题意可知，可分为两类：一类：甲乙在一个地区时，剩余的三人分为两组，再把三组派遣到三个地区，共有CA18种不同的派遣方案；另一类：甲乙和剩余的三人中的一个人同在一个地区，另外两人分别在两个地区，共有CA18种不同的派遣方案；由分类计算原理可得，共有181836种不同的派遣方案10(2019河北衡水四月大联考)现有一圆桌，周边有标号为1,2,3,4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有_种(用数字作答)答案8解析先安排甲，其选座方法有C种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有A种，所以选座方法共有CA428种11(2019浙江温州2月适应性测试)已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有_种答案20解析当乙选择支付宝时，丙、丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有1CC5，而乙选择支付宝时，丙、丁也可以都选微信，或者其中一人选择微信，另一人只能选支付宝或现金，故有1CC5，此时共有5510种，当乙选择微信时，丙、丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有1CC5，而乙选择微信时，丙、丁也可以都选支付宝，或者其中一人选择支付宝，另一人只能选微信或现金，故有1CC5，此时共有5510种，综上共有101020种12学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选那么不同的组队形式有_种答案930解析若甲、乙都入选，则从其余6人中选出2人，有C15种，男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手，则有A2AA14种，故共有1514210种；若甲不入选，乙入选，则从其余6人中选出3人，有C20种，女生乙不适合担任四辩手，则有CA18种，故共有2018360种；若甲、乙都不入选，则从其余6人中选出4人，有C15种，再全排，有A24种，故共有1524360种，综上所述，共有210360360930种三、解答题13(1)用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图1所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案？(2)用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图2所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花求恰有两个区域用红色鲜花的概率；记花圃中红色鲜花区域的块数为，求它的分布列及其数学期望E()解(1)根据分步计数原理，摆放鲜花的不同方案有：432248种(2)设M表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，A，B，C，D，E分别表示花圃的五个不同区域，如图所示，当区域A，D同色时，共有54313180种；当区域A，D不同色时，共有54322240种；因此，所有基本事件总数为180240420种，由于只有A和D或B和E可能同色，故可按选用3色、4色、5色分类计算，求出基本事件总数为A2AA420种，它们是等可能的，又因为A，D为红色时，共有43336种；B，E为红色时，共有43336种；因此，事件M包含的基本事件有363672种，所以P(M).随机变量的分布列为：012P所以，E()0121.
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