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考点二十概率、随机变量及其分布 一、选择题1同时抛掷3枚硬币，那么互为对立事件的是()A“至少有1枚正面”与“最多有1枚正面”B“最多有1枚正面”与“恰有2枚正面”C“至多有1枚正面”与“至少有2枚正面”D“至少有2枚正面”与“恰有1枚正面”答案C解析两个事件是对立事件必须满足两个条件：不同时发生，两个事件的概率之和等于1.故选C.2随机向边长为10，10，12的三角形中投一点M，则点M到三个顶点的距离都不小于的概率是()ABCD答案C解析分别以三角形的三个顶点为圆心，为半径作圆，则在三角形内部，且在三圆外部的区域即为与三角形三个顶点距离不小于的部分，所以所求概率P1，故选C.3(2019四川成都七中5月模拟)据孙子算经中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级若给有巨大贡献的2人进行封爵，则两人不被封同一等级的概率为()ABCD答案C解析由题意知，基本事件的总数有5525种情形，两人被封同一等级的方法种数有男、子、伯、侯、公，共5种情形，故所求事件的概率为1.4. (2019晋冀鲁豫中原名校第三次联考)1876年4月1日，加菲尔德在新英格兰教育日志上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形ABCD中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明，就把这一证明方法称为“总统证法”如图，设BEC15，在梯形ABCD中随机取一点，则此点取自等腰直角CDE中(阴影部分)的概率是()ABCD答案C解析在直角BCE中，accos15，bcsin15，则P，故选C.5古典著作连山易中记载了金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为()ABCD答案C解析依题意，从5种物质中任取2种，共有C10种选法，根据相生相克原理，可知恰有5种选法具有相克关系，故恰是相克关系的概率为P，故选C.6(2019广东潮州二模)一试验田某种作物一株生长果个数x服从正态分布N(90，2)，且P(x70)0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在90,110的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为()A3B2.1C0.3D0.21答案B解析xN(90，2)，且P(x110)0.2，P(90x|b|的概率是()ABCD答案C解析ma(2m，2m)，若|ma|b|，则，得m.所以|ma|b|的概率是P.故选C.2投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A0.648B0.432C0.36D0.312答案A解析根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C0.620.40.630.648.故选A.3(2019山东临沂二模)某人连续投篮6次，其中4次命中，2次未命中，则他第1次和第5次两次均命中的概率是()ABCD答案B解析基本事件总数nCC15，他第1次和第5次两次均命中包含的基本事件个数mCCC6，则他第1次和第5次两次均命中的概率是P，故选B.4某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为()ABCD答案C解析设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“开关第二次闭合后出现红灯”为事件B，则“开关两次闭合后都出现红灯”为事件AB，“开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯”为事件B|A，由题意得P(B|A)，故选C.5(2019河南郑州第三次质检)关于圆周率，数学发展史上出现过很多有创意的求法，如著名的蒲丰试验，受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计的值，试验步骤如下：先请高二年级n名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(x，y)(0x1,0y1)；若卡片上的x，y能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；统计上交的卡片数，记为m；根据统计数n，m估计的值那么可以估计的值约为()ABCD答案C解析由题意，实数对(x，y)(0x1,0y1)，即面积为1.且卡片上的x，y能与1构成锐角三角形，即满足x2y21，且所以面积为1，所以x，y能与1构成锐角三角形的概率为1，由题，n张卡片上交m张，即1，故选C.6(2019湖南师大附中模拟三)若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为()A0.18B0.32C0.36D0.64答案C解析设305路车和202路车的进站时间分别为x，y，设所有基本事件为W：“进站时间的间隔不超过2分钟”为事件A，则A(x，y)|0x10，0y10，|xy|2，画出不等式表示的区域如图中阴影区域，则S10108836，则P(A)0.36，故选C.7. (2019北京师大附中模拟三)剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形(即图中阴影部分)，构成树叶状图形的圆弧均相同若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A2B4CD答案B解析设圆的半径为r，如图所示，12片树叶是由24个相同的弓形组成，且弓形AmB的面积为S弓形r2r2sinr2r2.所求的概率为P4，故选B.8(2019武汉4月调研)党的十九大报告指出，建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工程，必须把教育事业放在优先位置，深化教育资源的均衡发展，现有4名男生和2名女生主动申请毕业后到两所偏远山区小学任教，将这6名毕业生全部进行安排，每所学校至少安排2名毕业生，则每所学校男女毕业生至少安排1名的概率为()ABCD答案C解析由题意，将这6名毕业生全部进行安排，每所学校至少2名毕业生，基本事件的总数为NA50种，每所学校男女毕业生至少安排1名共有：一是其中一个学校安排一女一男，另一个学校有一女三男，有CCA16种；二是其中一个学校安排一女两男，另一个学校有一女两男，有CC12种，共有161228种，所以概率为P.二、填空题9(2019河北石家庄二中二模)甲、乙两人组队参加猜谜语大赛，比赛共两轮，每轮比赛甲、乙两人各猜一个谜语，已知甲猜对每个谜语的概率为，乙猜对每个谜语的概率为，甲、乙在猜谜语这件事上互不影响，则比赛结束时，甲、乙两人合起来共猜对三个谜语的概率为_答案解析若甲猜对2个，乙猜对1个，则有C，若甲猜对1个，乙猜对2个，则有C，比赛结束时，甲、乙两人合起来共猜对三个谜语的概率为.10某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是_答案解析如下图，利用隔板法该问题相当于把下面七个圆圈()分成三份(每个圆圈代表1元)，其中有6个空档，需要插入2个隔板，共有C15种方法甲领取的钱数不少于其他任何人，则有如下情况：如下图，甲领到5元，有1种，|如下图，甲领到4元，有2种，|如下图，甲领到3元，有3种，|所以所求概率P.11从区间2,2中随机选取一个实数a，则函数f(x)4xa2x11有零点的概率是_答案解析令t2x，函数有零点就等价于方程t22at10有正根，进而可得a1，又a2,2，所以函数有零点的实数a应满足a1,2，故P.12某个部件由三个电子元件按如图所示的方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_答案解析三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1000，502)，所以每个电子元件的使用寿命超过1000 h的概率均为p.因为各个元件能否正常工作相互独立，所以P(该部件的使用寿命超过1000小时)p1(1p)2.三、解答题13(2019辽宁沈阳质量监测三)某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，方案一：每满200元减50元；方案二：每满200元可抽奖一次具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：(注：所有小球仅颜色有区别)红球个数3210实际付款半价7折8折原价(1)若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一人获得半价优惠的概率；(2)若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？解(1)设事件A为“顾客获得半价”，则P(A)，所以两位顾客至少一人获得半价的概率为P12.(2)若选择方案一，则付款金额为32050270(元)若选择方案二，记付款金额为X元，则X可取的值为160,224,256,320.P(X160)，P(X224)，P(X256)，P(X320)，E(X)160224256320240.所以方案二更为划算14(2019全国卷)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i0,1，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p00，p81，piapi1bpicpi1(i1,2，7)，其中aP(X1)，bP(X0)，cP(X1)假设0.5，0.8.证明：pi1pi(i0,1,2，7)为等比数列；求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性解(1)X的所有可能取值为1,0,1.P(X1)(1)，P(X0)(1)(1)，P(X1)(1)所以X的分布列为X101P(1)(1)(1)(1)(2)证明：由(1)得a0.4，b0.5，c0.1，因此pi0.4pi10.5pi0.1pi1，故0.1(pi1pi)0.4(pipi1)，即pi1pi4(pipi1)又因为p1p0p10，所以pi1pi(i0,1,2，7)是公比为4，首项为p1的等比数列由可得p8p8p7p7p6p1p0p0(p8p7)(p7p6)(p1p0)p1.由于p81，故p1，所以p4(p4p3)(p3p2)(p2p1)(p1p0)p1.p4表示最终认为甲药更有效的概率由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p40.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理
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