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返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-231第二节第二节 数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积 第六章第六章 （Scalar Product、Vector Product & Mixed Product of Vectors）四、小结与思考练习四、小结与思考练习一、向量的数量积一、向量的数量积二、向量的向量积二、向量的向量积三、向量的混合积三、向量的混合积*返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-2321M一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,W1. 定义定义设向量的夹角为 ,称 记作数量积 (点积) .引例引例 设一物体在常力 F 作用下, F位移为 s , 则力F 所做的功为cossFsFW2Mbacosba的与为baba,s返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-233,0时当a上的投影为在ab记作记作故,0,时当同理babj rPb2. 性质性质为两个非零非零向量, 则有Prjabcosbbabaaj rPbaaa) 1 (2aba,)2(0baba ba0ba则2),(ba0,0ba返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-234(1) 交换律(2) 结合律),(为实数abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba事实上, 当0c时, 显然成立 ;时当0cc()abbabcj rPacj rPcbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacbPrj ()cab3. 运算律运算律返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-235ABCabccos2222abbac证证:则cos2222abbac如图 . 设,aBC,bACcBAbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,例例1 证明三角形余弦定理返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-236设则, 10zzyyxxbababa当为非零向量时,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baba baba,5. 两向量夹角的余弦的坐标表示两向量夹角的余弦的坐标表示 , 得4. 数量积的坐标表示数量积的坐标表示返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-237)(MB, )(MA BM, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(BAM AMB . A解解:, 1, 1 0, 1,0 1则AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故例例2（补充题）（补充题） 已知三点（自学课本（自学课本 例例2）返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-238二、两向量的向量积二、两向量的向量积引例引例 设O 为杠杆L 的支点 ,有一个与杠杆夹角为OQOLPQ符合右手规则OQFFsinOPsinOPMFOPOPM M矩是一个向量 M :的力 F 作用在杠杆的 P点上 ,则力 F 作用在杠杆上的力FoPFMFM 返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-239定义向量方向 :(叉积)记作且符合右手规则模 :向量积 ,，的夹角为设ba,c,acbccsinabbac称c的与为向量babacba引例中的力矩FOPM思考思考: 右图三角形面积abba21S1. 定义定义返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-2310为非零向量, 则，0sin或即0aa) 1 (0ba,)2(0baba,0,0时当baba0basinab03. 运算律运算律(2) 分配律(3) 结合律(证明略)abcba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (证明证明:2. 性质性质返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-2311)(kajaiazyx)(kbjbibzyx设则,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazzijk4. 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-2312kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx( 行列式计算见行列式计算见 课本附录课本附录) 向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-2313, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面积。（补充题）（补充题） 解解: 如图所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三例例3 已知三点自学课本自学课本 例例3返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-2314解解: 记368(8 03)010, , ijkbaj368(8 03)010, , ijkbaj368(8 03)010, , ijkbaj1(8 03)73, , bb1(8 03)73, , bb返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-2315证明证明: 由三角形面积公式ABACSABC21BCBA21CACB21AcbsinBacsinCbasin因ABACBCBACACBBbAasinsinCcsin（注意与课本证法不一样）（注意与课本证法不一样）返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-2316内容小结内容小结设1. 向量运算向量运算加减加减:数乘数乘:点积点积:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa（结果是一个标量）（结果是一个标量）叉积叉积:kjixayazaxbybzbba返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-23172. 向量关系向量关系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0ba0ba课后练习课后练习习题习题6-2 1；3；4（2）；）；6；8；9返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-2318思考与练习思考与练习1. 设计算并求夹角 的正弦与余弦 .ba,2jibkjia,baba及2. 已知向量的夹角,43ba ,且. |ba 求, 2|a, 3|bABCD在顶点为三角形中, , ) 2 , 1, 1 ( A)0, 1 , 1 (B的和) 1,3, 1(C求 AC 边上的高 BD .3.答案答案答案答案答案答案返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-2319)3, 1, 1 (,321cos1211sin,1baba1. 设计算并求夹角 的正弦与余弦 .ba,2jibkjia,baba及答案答案返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-232022343cos322)2(17解：解：2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba2. 已知向量的夹角,43ba ,且. |ba 求, 2|a, 3|b返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-232122200)2(211ABCD3.在顶点为三角形中, , ) 2 , 1, 1 ( A)0, 1 , 1 (B的和) 1,3, 1(C求 AC 边上的高 BD .解：解：)3,4,0(AC, 5)3(422| AC)2,2,0(AB三角形 ABC 的面积为 |21ABACS21S| AC|BD 5211|BD 2|5BD 而故有
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