高等数学向量及其运算课件

1数量关系数量关系 第七章第七章第一部分第一部分 向量代数向量代数第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中在三维空间中: : 点点, , 线线, , 面面基本方法基本方法 坐标法坐标法; ; 向量法向量法坐标坐标, , 方程（组）方程（组）空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数 27.1 向量及其运算向量及其运算一、向量概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向解、投影 3 既有大小既有大小, , 又有方向的量叫做向量又有方向的量叫做向量. . v 向量向量 向量可用粗体字母、向量可用粗体字母、 或加箭头的书写体字母表示或加箭头的书写体字母表示. . 以以A为起点、为起点、B为终点的有向线段所表示的向量为终点的有向线段所表示的向量, 记作记作AB. . 例如, a、r、v、F或a、r、v、F. 向量用一条有方向的线段向量用一条有方向的线段(称为有向线段称为有向线段)表示表示. .v 向量的表示法向量的表示法 一、向量概念4 如果向量如果向量a和和b的大小相的大小相等等, , 且方向相同且方向相同, , 则说向量则说向量a和和b是相等的是相等的, , 记为记为a= =b. . 相等的向量经过平移后可以完全重合相等的向量经过平移后可以完全重合. . 向量的相等向量的相等 与起点无关的向量与起点无关的向量, , 称为自由向量称为自由向量, , 简称向量简称向量. . 自由向量自由向量 5向量的模向量的模 向量的大小叫做向量的模向量的大小叫做向量的模. . 向 量a、a、AB的 模 分 别 记 为 |a|、|a、|AB. 单位向量单位向量 模等于模等于1的向量叫做单位向量的向量叫做单位向量. . 零向量零向量 零向量的起点与终点重合零向量的起点与终点重合, , 它的方向可它的方向可以看作是任意的以看作是任意的. . 模等于0的向量叫做零向量, 记作0或0. 6向量的平行向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反两个非零向量如果它们的方向相同或相反, , 就称这两个向量平行就称这两个向量平行. . 向量向量a与与b平行平行, , 记作记作a/b. . 零向量认为是与任何向量都平行零向量认为是与任何向量都平行. . 7共线向量与共面向量共线向量与共面向量 当两个平行向量的起点放在同一点时当两个平行向量的起点放在同一点时, , 它它们的终点和公共的起点在一条直线上们的终点和公共的起点在一条直线上. . 因此因此, , 两向量平行又称两向量共线两向量平行又称两向量共线. . 设有设有k(k 3)个向量个向量, , 当把它们的起点放在同当把它们的起点放在同一点时一点时, , 如果如果k个终点和公共起点在一个平面上个终点和公共起点在一个平面上, , 就称这就称这k个向量共面个向量共面. . 8二、向量的线性运算 设有两个向量设有两个向量a与与b, , 平移向量平移向量, , 使使b的起点与的起点与a的终点重合的终点重合, , 则从则从a的起点到的起点到b的终点的向量的终点的向量c称为称为向量向量a与与b的和的和, , 记作记作a+ +b, , 即即c= =a+ +b. .1.1.向量的加法向量的加法 c= =a+ +b三角形法则三角形法则平行四边形法则平行四边形法则 9向量的加法的运算规律向量的加法的运算规律 (1)交换律交换律a+ +b= =b+ +a; ; (2)结合律结合律(a+ +b)+ +c= =a+ +(b+ +c). .10向量的减法 向量b与a的差规定为 b-a=b+(-a). 负向量三角不等式 |a+b|a|+|b|, |a-b|a|+|b|, 等号在b与a同向或反向时成立. 与向量a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量, 记为-a. 11 当当 = =0时时, , | a|= =0, , 即即 a为零向量为零向量. . 向量向量a与实数与实数 的乘积记作的乘积记作 a, , 规定规定 a是一是一个向量个向量, , 它的模它的模| a|= =| |a|, , 它的方向当它的方向当 0时与时与a相同相同, , 当当 0时与时与a相反相反. . 2. .向量与数的乘法向量与数的乘法 当当 =-=-1时时, , 有有(- -1)a =-=-a. . 当当 = =1时时, , 有有1a= =a; ; 12 (1)结合律结合律 ( a)= = ( a)= =()a; ; (2)分配律分配律 ( + + )a= = a+ + a; ; (a+ +b)= = a+ + b. . 向量与数的乘积的运算规律向量与数的乘积的运算规律 向量的单位化向量的单位化 于是于是a= =|a|ea. . 设设a 0, , 则向量则向量 是与是与a同方向的单位向量同方向的单位向量, , 记为记为ea. . |aa13 例例1 1 形对角线的交点形对角线的交点. . 例1 在平行四边形ABCD中, 设a=AB, b=AD. 试用 a和b表示向量MA、MB、MC、MD, 其中M是平行四边 -=+MAAMAC22ba)(21ba+-=MA)(21ba+=-=MAMC于是于是 因为=+-MDBD 2ba所以 )(21ab-=MD 解解 由于平行四边形的对角线互相平分由于平行四边形的对角线互相平分, , 所以所以 -=+MAAMAC22ba-=+MAAMAC22ba, )(21ba+=-=MAMC)(21ba+=-=MAMC. )(21ba+-=MA; =+-MDBD 2ba, )(21ab-=MD; )(21ab-=MD; )(21ba-=-=MDMB)(21ba-=-=MDMB)(21ba-=-=MDMB. 14例例设设ABC 的三边的三边cABbCAaBC= = = =,三边中点分别为三边中点分别为 D、E、F 试用试用cba,表示表示CFBEAD,并证明并证明0= =+ + +CFBEAD证证ABCDEFBCABAD21+ += =ac21+ += =CABCBE21+ += =ba21+ += =ABCACF21+ += =cb21+ += =CFBEAD+ + +)(23cba+ + += =0= =15定理1. 设 a 为非零向量 , 则( 为唯一实数)证证: “ ”., 取 且再证数 的唯一性 .则,0=-故.=即abab=设 abba取正号, 反向时取负号, a , b 同向时则 b 与 a 同向,设又有 b a ,0)(=-aaa= =baab=.ab=故,0a而16“ ”则,0 时当=例例1. 设 M 为MBACD解解:ABCD 对角线的交点,0 时当ba,0 时当,aAB =,bDA=ACMC2=MA2-=BDMD2=MB2-=已知 b a ,b0a , b 同向a , b 反向ab .,MDMCMBMAba表示与试用=+ba=-ab)(21baMA+-=)(21abMB-=)(21baMC+=)(21abMD-=17 给定一个点给定一个点O及一个单位向量及一个单位向量 i 就确定了就确定了一条数轴一条数轴Ox. . 对于轴上任一点 P, 必有唯一的实数 x, 使OP=xi, 并且 并且轴上的点并且轴上的点P与实数与实数x有一一对应的关系有一一对应的关系: : 点点P实数实数x. . 实数实数x称为轴上点称为轴上点P的坐标的坐标. . v 数轴与点的坐标数轴与点的坐标 18说明：说明：三、空间直角坐标系 v 空间直角坐标系空间直角坐标系 y轴轴 z轴轴原点原点 x轴轴 在空间取定一点在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量和三个两两垂直的单位向量i、j、k, , 就确定了三条都以就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴为原点的两两垂直的数轴, , 依次记为依次记为x轴轴(横轴横轴)、y轴轴(纵轴纵轴)、z轴轴(竖轴竖轴), , 统称为坐标轴统称为坐标轴. . 它们构成一个它们构成一个空间直角坐标系空间直角坐标系, , 称为称为Oxyz坐标系坐标系. . (2)数轴的的正向通常符合数轴的的正向通常符合右手规则右手规则. . (1)通常把通常把x轴和轴和y轴配置在轴配置在水平面上水平面上, , 而而z轴则是铅垂线轴则是铅垂线; ;19 在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中, , 任意两个坐标轴可以确定任意两个坐标轴可以确定一个平面一个平面, , 这种这种平面称为坐标面平面称为坐标面. . 坐标面坐标面 三个坐标面分别称为三个坐标面分别称为xOy 面面, , yOz面和面和zOx面面. .卦限卦限 坐标面把空间分成八个部分坐标面把空间分成八个部分, , 每一部分叫做卦限每一部分叫做卦限, , 分别用字母分别用字母I、II、III、IV等表示等表示. . 20v 向量的坐标分解式 +=+=OROQOPNMPNOPOMr 以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体, 有 任给向量 r, 对应有点 M, 使r=OM. 设 i xOP=, j yOQ=, kzOR=, 则 kjirzyxOM+=. +=+=OROQOPNMPNOPOMr, 21 kjirzyxOM+=. 上式称为上式称为向量向量r的坐标分解式的坐标分解式. . xi、yj、zk称为向量称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量沿三个坐标轴方向的分向量. . 点点M、向量、向量r与三个有序与三个有序x、y、z之间有一一对应的关系之间有一一对应的关系 任给向量任给向量r, , 存在点存在点M及及xi、yj、zk, , 使使 有序数有序数x、y、z称为向量称为向量r的坐标的坐标, , 记作记作r= =(x, , y, , z); ; 有序数有序数x、y、z也称为点也称为点M的坐标的坐标, , 记为记为M(x, , y, , z). . ) , ,(zyxzyxOMM+=kjir. 向量向量 称为点称为点M关于原点关于原点O的向径的向径. . =OMr22 坐标面上和坐标轴上的点坐标面上和坐标轴上的点, , 其坐标各有一定的其坐标各有一定的 特征特征. . 例如例如: : 点点M在在yOz面上面上, , 则则x= =0; ; 点点M在在zOx面上的点面上的点, , y= =0; ; 点点M在在xOy面上的点面上的点, , z= =0. . 点点M在在x轴上轴上, , 则则y= =z= =0; ; 点点M在在y轴上轴上,有有z= =x= =0; ; 点点M在在z轴上的点轴上的点, , 有有x= =y= =0. . 点点M为原点为原点, , 则则x= =y= =z= =0. .v坐标轴上及坐标面上点的特征坐标轴上及坐标面上点的特征23四、利用坐标作向量的线性运算 设),(zyxaaaa =, ),(zyxbbbb =则=ba),(zzyyxxbababa=a),(zyxaaaab,0 时当aab=xxab=yyab=zzab=xxab=yyabzzab平行向量对应坐标成比例:，为实数24例 2 求解以向量为未知元的线性方程组=-=-byxayx2335, 例例2 2其中其中a= =(2, , 1, , 2), , b= =(- -1, , 1, , - -2). 解解 如同解二元一次线性方程组如同解二元一次线性方程组, , 可得可得 x= =2a- -3b, , y= =3a- -5b. . 以以a、b的坐标表示式代入的坐标表示式代入, , 即得即得 x= =2(2, , 1, , 2)- -3(- -1, , 1, , - -2) = =(7, , - -1, , 10), , y= =3(2, , 1, , 2)- -5(- -1, , 1, , - -2) = =(11, , - -2, , 16). . 25) 1 ,1 ,1 (212121+=zzyyxx, 从而 )(11+=OBOAOM 因此 )(-=-OMOBOAOM, -=OAOMAM, 解解 例例3 3 已知两点已知两点A(x1, , y1, , z1)和和B(x2, , y2, , z2)以及实数以及实数 -1, , 在直线 AB 上求一点 M, 使= MBAM. 这就是点这就是点M的坐标的坐标. . 由于由于 , -=OMOBMB, ),(zyx26说明: 由由得定比分点公式定比分点公式:,121+xx,121+yy+121zz,1时当=点 M 为 AB 的中点 ,于是得=x,221xx +=y,221yy +=z221zz +ABMoMAB=),(zyx+11),(212121zzyyxx+=x=y=z中点公式中点公式:271. 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式222zyx+=),(zyxr =设则有OMr =222OROQOP+=由勾股定理得),(111zyxA因AB得两点间的距离公式:),(121212zzyyxx-=212212212)()()(zzyyxx-+-+-=对两点与, ),(222zyxB, rOM=作OMr =OROQOP+=BABA=OAOBBA-=五、向量的模、方向角、投影 28例4. 求证以求证以)3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4(321MMM证证:1M2M3M=21MM 2)47( -2)31 ( -+2) 12( -+14=32MM 2)75( -2) 12( -+2)23( -+6=31MM 2)45( -2)32( -+2) 13( -+6=3132MMMM=即321MMM为等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 为顶点29例5. 在在 z 轴上求与两点轴上求与两点)7, 1 ,4(-A等距解解: 设该点为, ),0,0(zM,BMAM=因为 2)4(-21+2)7(z-+ =2325+2)2(z-+解得,914=z故所求点为及)2,5,3(-B. ),0,0(914M思考思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?离的点 . 30提示:(1) 设动点为, )0,(yxM利用,BMAM=得,028814=+ yx(2) 设动点为, ),(zyxM利用,BMAM=得014947=+-+zyx且0=z例例6. 已知两点)5,0,4(A和, )3, 1 ,7(B解解:求141=)2,1,3(-142,141,143-=.BA=BABABA31oyzx2. 方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量 ,ba任取空间一点 O ,aOA=作,bOB=OAB称 =AOB (0 ) 为向量 ba,的夹角. =),(ab或类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . ,0),(=zyxr给定与三坐标轴的夹角 , , rr称为其方向角方向角.cosrx=222zyxx+=方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦. 记作=),(ba32oyzxrcosrx=222zyxx+=cosry=222zyxy+=cosrz=222zyxz+=1coscoscos222=+方向余弦的性质:的单位向量向量 rrrr=)cos,cos,(cos=33例7. 已知两点已知两点)2,2,2(1M和, )0,3, 1(2M的模 、方向余弦和方向角 . 解解:,21-,23-)20-计算向量)2, 1, 1(-=222)2(1) 1(-+-2=,21cos-=,21cos=22cos-=,32=,3=4321MM(21=MM=21MM34例8. 设点设点 A 位于第一卦限位于第一卦限,解解: 已知角依次为,43求点 A 的坐标 . ,43=则222coscos1cos-=41=因点 A 在第一卦限 , 故,cos21=于是(6=,21,22)21)3,23,3(=故点 A 的坐标为 . )3,23,3(向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 ,6=AO且OAOAAO=353.3.向量在轴上的投影向量在轴上的投影 设点设点O及单位向量及单位向量e确定确定u轴轴. . 任给向量 r, 作r=OM, 再过点再过点M作与作与u轴垂直的平面交轴垂直的平面交u轴于点轴于点M, , 则向量则向量 MO称为向量 r在 u 轴上的分向量. 设e=MO, 则数称为向量 r在 u 轴上的投影, 记作 Prjur或或(r)u. . 36 向量向量a在直角坐标系在直角坐标系Oxyz中的坐标中的坐标ax, , ay, , az就是就是a在三条在三条坐标轴上的投影坐标轴上的投影, , 即即 ax= =Prjxa, , ay= =Prjya, , az= =Prjza. . 性质性质3 3 ( a)u= = (a)u (即即Prju( a)= = Prjua). .性质性质2 2 (a+ +b)u= =(a)u+ +(b)u (即即Prju(a+ +b)= =Prjua+ +Prjub); ; 性质性质1 1 (a)u= =|a|cos (即即Prjua= =|a|cos ), , 其中其中 为向量与为向量与u轴的夹角轴的夹角; ; v 投影的性质投影的性质 37解解: : 因因43amnp=+-4(358 )ijk=+3(247 )ijk+-(54 )ijk-+-13715ijk=+例例. . 设设358,mijk=+247,nijk=-求向量求向量43amnp=+-在在x x 轴上的投影及在轴上的投影及在y y轴上的分向量轴上的分向量. .13xa =在在 y y 轴上的分向量为轴上的分向量为7ya jj=故在故在 x x 轴上的投影为轴上的投影为54pijk=+-38练习1设求以向量行四边形的对角线的长度 . 该平行四边形的对角线的长度各为11, 3 对角线的长为解：解：为边的平mnnm ,|,|nm+|nm-)1 , 1, 1(-=+nm)1,3, 1(-=-nm3|=+nm11|=-nm,2kjn+-=, jim+=392. 已知一个向量的终点为7,4,4 -它在x轴、y轴上的投影为, )7 , 1,2(-B求此向量起点A的坐标。)7 ,1 ,2 ( cbaAB-=解答提示：设解答提示：设)0 , 3 , 1(-A答案：答案：),(cbaA40作业作业 P300 3 , 5, 13, 14, 15, 18, 19