2005年全国高中数学联赛天津赛区初赛试题

2005年全国高中数学联赛天津赛区初赛试题 一、选择题此题共6小题，每题5分，总分值30分ABC中，假设ABCD2.f(x)是定义在R上的不恒为0的函数，假设对于任意的A是奇函数B是偶函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数3.设由正整数有序数对x,y组成如下数列：1，1，1，2，2，11，3，2，23，11，42，33，24，1，按x+y的值由小到大的顺序排列，当x+y的值相等时，按x的值由小到大的顺序排列，那么有序数对m,n(m,n均为正整数)在该数列中的位置是A第位B第位C第位D第位4.将A、B、C、D、E五种不同的文件放入一排编号依次为1，2，3，4，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，假设文件A、B必须放入相邻的抽屉内，文件C、D也必须放入相邻的抽屉内，那么文件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法有A60种B120种C240种D480种中，E、F分别是AB、AA1的中点，那么平面CEB1与平面D1FB1所成二面角的平面角的正弦值为ABCD16、设集合M=，那么集合M中所有元素的和等于A1B4C7D8二、填空题此题共6小题，每题5分，总分值30分7.定点A，假设动点P在抛物线上，且点P在y轴上的射影为点M，那么的最大值是 。是定义在上的减函数，且对于，恒成立，那么实数a的取值范围是 中，假设为数列的前n项和，那么S2003-2S2004+S2005的值是 。10.如图，菱形ABCD的边长为1，假设E是BC延长线上任意一点，AE交CD于点F，那么向量的夹角的大小等于 度。11.，如图甲正方体八个顶点分别赋值为a,b,c,d,e,f,g,h,然后将与每个顶点相邻的的正方体的三个顶点所赋值的算术平均值记在另一个正方体的相应顶点处，如图乙。假设的值为 。对一切实数x恒成立，那么函数f(x)解析式为 。三、解答题此题共3小题，每题20分，总分值60分是否存在实数a,b(ab，使得函数的定义域和值域都是。假设存在，请求出a,b的值，假设不存在，请说明理由；假设存在实数a,b(ab，使得函数的定义域是，值域是，求实数m的取值范围。，其长轴为A1A，P是椭圆上不同于的A1、A的一个动点，直线PA、PA1分别与同一条准线l交于M、M1两点，试证明：以线段MM1为直径的圆必经过椭圆外的 一个定点。15.假设P是一个由数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，组成的2n位正整数，并同时满足如下两个条件：数字1，2，3，n在P中各出现两次；每两个相同的数字i(i=1,2,3,n)之间恰有i个数字。此时，我们称这样的正整数P为“好数。例如，当n=3时，P可以是312132。试确定满足条件的正整数n的值；并各写出一个相应的好数P。简略参考答案7. 5 8. 9. 3 10. 120 11. 20 12. 详细参考答案一、选择题中， =又而3、按x+y的值分群。当x+y=2时，为第一群；当x+y=3时，为第二群；当x+y=m+n时，为第m+n-1群。而对于有序数对m,n当x=m时,为第m+n-1群中的第m位，有序数对m,n在该数列的第位。4、将放入A、B两个文件的相邻抽屉记为“AB，将放入C、D两个文件的相邻抽屉记为“CD，将放入文件E的抽屉记为“E。于是，“AB，“CD，“E及两个空抽屉可视为五个元素，那么这五个元素的全排列，由于文件A、B及文件C、D的排列数均为，而两个空抽屉又是两个相同的元素，故满足条件的所有不同繁荣方法的种数是种5、如图，延长CE、D1F、DA在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由E、F分别是AB、AA1的中点，可知CE、D1F、DA三线交于一点G，连结B1G，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1根据平面几何的知识，可得B1C=满足B1C2+B1G2=CG2同理，为平面CEB1与平面D1FB1所成二面角C-B1G-D1的平面角。连结CD1，在6、不妨设由又x,y,t均为整数，于是，集合M中所有元素的和为0+1+3+4=8二、解答题7、连结PM，并延长交抛物线的准线于点N，又根据，抛物线的焦点F1，0，8、由，函数上的减函数，得恒成立即假设有对xR恒成立有有9.根据题意，当n为偶数时，有个可得S2004=1002，当n为奇数时，有个，可得10、如图，建立平面直角坐标系，那么设有直线CD的方程为直线AE的方程为两方程联立，可得直线CD与直线AE的交点F于是设11、根据题意，可得12、设由，对一切实数恒成立，当 又 由、得恒成立，必须 又此时，同理，假设对于一切实数x恒成立，必须综上，函数13、不存在实数满足条件。事实上，假设存在实数，使得函数f(x)的定义域和值域都是a,b，那么有当在0，1上为减函数，所以当a,b时，上为增函数，所以 而此方程无实根，故此时不存在实数a,b满足条件。当故此时不存在a,b满足条件。综上可知，不存在实数满足条件。.10分假设存在实数，使得函数f(x)的定义域是值域是仿照的解答可知，当时，满足条件的a,b不存在。故只有当a,b上为增函数，于是a,b是方程的两个大于1的实数根，所以故m的取值范围是 20分14、由，可设一条准线l的方程为椭圆上动点P的坐标为那么直线PA的方程为解方程组 解方程组 .5分设线段MM1的中点为Q= .10分MM1=故以线段MM1为直径的圆的方程为 15分令y=0，得 =所以可见，以线段MM1为直径的圆必经过椭圆外的一个定点20分当l为左准线时，也有相应的结论。15、由好数的定义，可知n对于好数P中的数字由左到右的顺序考虑，如果数字i(i=1,2,3,n)第一次出现的位置记作那么，根据题意，数字i(i=1,2,3,n)第二次出现的位置应该是于是， .5分记S=S是正整数，可得n(3n-1)能被4整除又n为正整数，n=4或7或8 .10分当n=4时，好数P可以是41312432.20分