同时考虑可控制前置时间及货币时间价值因素之存货订购

(1). 同时考虑可控制前置时间及货币时间价值因素之存货订购策略壹.1. 吴坤山 淡江大学企业管理学系专任副教授壹 .2. 颜秀凤 淡江大学管理科学学系硕士班研究生摘要本篇论文主要尝试建立在同时考虑可控制前置时间与货币时间价值因素下 ， 缺货数量允许部份欠拨与部份不补(销售损失) 的混合存货模型，其中订购量、请购点及前置时间均为决策变数。在文中，我们假设前置时间内需求量的机率分配为未知的情形，并利用大中取小分配不拘程序(minimax distribution freeprocedure) 求解。本文亦利用古典最佳化理论，证明了本模式之总变动成本函数型态为凸函数(convexfunction),进而找出使得总成本为最小之最适订购量、请购点及前置时间。最彳爰，以一范例来说明本研究的存货模式演算法，并对模式中各参数作敏感度分析。关键字：存货、前置时间、货币时间价值、大中取小分配不拘程序1.前言自从日本企业界提出及时(Just in time, JIT) 存货管理系统以来，企业的生产力提高，且效果显着。及时存货模式主要强调高品质、低存货、短前置时间及少数供应商；其中缩短前置时间是及时化成功的主要关键 1 。传统的存货模式大都将前置时间视为已知且为不可控制的常数或随机变数，但在许多实际的情况中，前置时间可藉由增加赶工成本(crashing cost) 来缩短；换言之，前置时间是可以控制的。因此已有许多的制造商或经销商开始对固定或随机的前置时间产生质疑，因为他们需要的是可以控制的前置时间。近年来，已有许多学者提出将前置时间视为可控制变数的存货模式。 Liao 和 Shyu 2 首先提出在订购量为事前决定而前置时间为决策变数的机率性存货模型。在此模型中，假设前置时间内的作业是由 n 个成份(component) 所组成，每个成份各有不同的正常作业时间、充分赶工下的作业时间及单位时间赶工成本，并假设前置时间内的赶工成本函数为一分段线性函数 (piecewise linear function) ，在订购量事先给定的情况下求得其最适前置时间。 Ben-Daya 和 Raouf 3 采用 Liao 和 Shyu 2 的想法，增加订购量为另一决策变数，推广为前置时间与订购量均为决策变数的存货模式，并提出一新的赶工成本函数。接着， Ouyang 等学者4 ， Oyuang 和 Wu 5-7 延伸 Ben-Daya 和 Raouf 3 的模式，考虑缺货成本，针对可控制前置时间探讨缺货数量允许部份欠拨(backorder)部份不补(lost sales)的混合存货模式；其中，前置时间内的需求量则假设服从常态分配或分配不知等情况。 Moon 和 Choi 8 ， Hariga 和 Ben-Daya 9 则采用 Ouyang 等学者 4 的 想法，增加请购点为另一决策变数，推广为前置时间、订购量与请购点三个决策变数的存货模式。其他关於此领域方面的相关文献请参考 Lan 等学者 10 ， Ouyang 和 Chang 11 ， Pan 和 Hsiao 12 等等。再者，早期的存货管理中几乎很少考虑货币时间价值的影响，因为大部份的模式都假设利率极低，因此将其视为与决策无关的项目。但是近年来，各国物价持续上涨而金钱购买能力则不断下跌，使得存货过剩，导致储存成本的增加与资金的冻结进而阻碍企业的经营与发展。因此在存货管理中将货币时间价值的影响加以考虑是有其必要性的。本文尝试同时考虑在可控制前置时间及货币时间价值因素的影响下， 建立缺货数量允许部份欠拨与部份不补的混合存货模型。其次，有关於前置时间内需求量的机率分配则考虑为分配不拘的情形，由於前置时间内需求量的机率分配未知 ， 故无法求得精确的期望缺货量； 因此 ， 我们运用大中取小分配不拘的方法，找出具有最大期望总成本现值函数，进而求出使得期望总成本现值为最小的最适值，以谋定最佳的订购策略。本文亦利用古典最佳化理论，证明了本模式之总变动成本函数型态为凸函数，进而找出使得总成本为最小之最适订购量、请购点及前置时间。最彳爰，以一范例来说明本研究的存货模式演算法，并对模式中各参数作敏感度分析。2.符号说明与假设为了便利模型的建立，本文将采用下列的符号与假设。本论文的符号说明如下：A =每次订购的订购成本D =单位时间内的需求量h =每单位时间的单位存货持有成本Q =经济订购量T =周期时间长度=单位时间的折现率=每单位货品的缺货惩罚成本0 =每单位货品的边际利润=单位时间内需求量的标准差=缺货期间缺货数量允许欠拨的比例，1则为销售损失的比例，01X =前置时间内的需求量，为一随机变数，其累积分配函数为F ,其平均数为 DL ,标准差为JL=前置时间内需求量具有相同的平均数DL和标准差JL之所有累积分配函数F所形成的集合。本论文的假设如下：(1)请购点=前置时间内平均需求量 +安全存量(Safety stock, SS);即r DL k JL ,其中k为安全因 子(Safety factor)。以连续盘查的方式记录存货水准，当存货水准降到订购点时，即发出订单订购。前置时间的长度(L)不会超过订购周期(T),故在一个订购周期之内，只能发出一次订单订货。前置时间内的作业由 n个互相独立的成份所组成。第i个成份有充分赶工下的最小作业时间ai,正常的作业时间bi和单位时间的赶工成本Ci o再者，为了方便起见，假设CiC2Cn。在充份赶工时，优先考虑第1个成份(因为它有最小的单位时间赶工成本C1),接着是第2个成份，依此类推。n(5)假设令Lobi ,并且定义Li为成份1至i皆充分赶工时的前置时间长度，则Li的数学式为j 1 niLi bi (bj aj), i 1,2, nj 1 j 1且在一个已知的前置时间L Li, Li 1下，每一个订购周期赶工成本R(L)为R(L) g(L i L) G(bj aj)并且 R(L。)0j i(6)允许缺货并且缺货数量允许部分欠拨、部分不补。计划幅度是无限的。3模式的建立与推导由於前置时间内需求量X的机率分配未知，故一周期内的期望缺货数量B(r) r (x r)dF(x),其中r为请购点。每周期缺货欠拨的期望数量为B(r),而每周期缺货不补的期望数量为(1)B(r)故每周期的缺货成本为0(1) B(r)从 Ouyang 等学者4, Moon 和 Choi8, Hariga 和 Ben-Daya9的文中得知，请购点 r DL k L L ,)B(r)与 Q r DL (1)B(r)。因此,而期望净存货在订购量Q之前彳爰分别以r DL (1周期循环平均存货水准为 Q r DL (1)B(r) Dt,t 0,Q / D。所以第一周期之存货持有成本的现值为：1 e 丁 hD th k ,L (1 )EX r -(e T 1 T)(1)式中的T QoD接着利用 Moon与Yun13所提出的现金流量折现法(discounted cash flow, DCF)法，可以得到第一周期之存货总成本=订购成本+赶工成本+缺货成本+存货持有成本；即为.L (1 )Ex rA R(L) o(1) Ex r hk空(e T 1 T)因为计划幅度是无限的，所以期望总成本的现值EPV (T,k,L)为hDA R(L) EX r h k , L (1 1 e T式中o(1)当前置时间内的需求量 X之机率分配型式未知时，周期末期望缺货数量EX r将因而无法精确的求得。然而，我们可以运用大中取小分配不拘程序，对於所有的(T,k,L),在集合 中先行找出具有最大期望总成本现值的累积分配函数F ；接着在此一累积分配函数下，求出使得EPV(T,k, L)有最小值的最适(T,k, L)值。若以数学符号表之，我们的问题乃是在求解Min MaxEPV(T,k,L)T,k,L F我们注意到，从集合中找出一个累积分配函数F使得问题(4)具有最大期望总成本现值，相当於从模型(3)中找出EX r项的最大可能值；此一作业可利用下面的推理来完成。推理一：(Gallego 和 Moon14)对任意的FEX r12. L (r DL)2_-(r DL)并且可以找到一个累积分配函数F ,使得上式的等号成立。因为r DL k VL,且对於任何前置时间内需求量X的机率分配上述不等式均可以满足；因此利用(5)式及模型(3),问题(4)变成求解1 hD/ t-T (e1 T)1 e(6)其中EPV(T,k,L)为EPV(T,k, L)的最小上界。为了求得期望总成本现值EPVU(T,k,L)的最小值,我们将(6)式分别对T、k、L (Li,Lii)做一阶微分，得到下列式子:严U(T,k,L)L, k 八 h . L 7(Tk2 O 2(1C1)(8)LEPVU(T,k,L)14112L 2( 1 k2 k)h2k1 i)L，.1 k2 k)4接着，检视二阶充份条件(second ordersufficient conditions)。我们发现EPV U (T , k, L)并非是(T,k, L)的一个凸函数。然而，对任意给定的(T,k)而言，EPVU(T,k,L)为L (Li,Li的凹函数(concave function),因为2L2EPVU(T,k,L)3L。k28(1 e T)3k)hk L22(1)L3(1k2k)04(10)因此，对任意给定 T和k值而言，最小期望总成本现值必发生在区间Li, Li 1的端点上。另一方面,对已知的L (Li ,Li 1)时，我们令(7)及(8)等於零，经移项整理彳爰可得(11)式及(12)式Te ThDA R(L) JLNl k2 k)(11)_k_ 1_ 2h(1 e T)TCk2- h(1 )(1 e T)(12)理论上，在固定 LLi, Li 1 ,我们可以利用（11）式及（12）式二个式子解出 T和k值，这些值我们分. . _ * *别以符号T及k表示之一 . . . - * * . . 再者，由下面的推理可以证明：解点 （T ,k ）为满足最小化问题的二阶充份条件；也就是说，对固定的LLi, Li 1 , EPV U (T , k, L)为 T 和 k 的凸函数(convex funciton)。因此，当一 、. . . 一 * . * . .固定L Li, Li 1时，点（T ,k ）是使期望总成本现值有最小值的最适解。推理二对已知的L LiLr ,由期望总成本现值EPV U （T,k,L）所推演出之海塞矩阵（Hessian Martix）为正定（Positive definite）。其证明请参阅附录一。囿於（11）式和（12）式中，决策变数 T和k互为函数关系，其个别的明确解无法一一求出，因此我们建立下列的演算法以帮助求算订购周期（订购量）、安全因子（请购点）与前置时间之最适值。演算法一步马1 1：对每一个前置时间Li,i0,1,n,接着执行（i）-（iii）步骤设定起始值ki10 ,代入（11）式解出Ti1再将Ti1代入（12）式解出（2。_ _ _ . * * . . 重覆（i）及（ii）步骤，直到Ti及ki收歙时为止，并以（Ti , ki ）表示此收敛值*U ,*步马1 2对每一组数值（Ti , ki , Li ）,i0,1, ,n，利用（6）式计算其对应的总成本现值EPV （Ti ,ki , L）步骤3：找出最小的期望总成本现值min EPVU（Ti ,ki ,Li） i 0.1, ,n-* . * . 、其所对的（Ti , ki , Li）值，记作* * * （T , k , L ）,即为此模型的最适解。一旦T*及k*求出，最适的订购量可由Q*DT*及r*DL* k* M,L*求得。例题一：为了说明上述的求解过程，我们沿用学者 Ouyang等学者（1996）之如下数值资料：D =600件/年，A =$200每次订购，h=$20/件/年，=$50 /件，0=$150 /件，=7件/周；且前置时间内的作业由三个成份所组成，每一个成份的正常作业时间、充分赶工下的作业时间和每单位时间的赶工成本如表1所示，此外我们假设0.1。表1前置时间内各成份的相关资料组成成份作业时Mbi （天）可作业时间ai （天）赶工成本Ci （$/天）12060.422061.231695.0在本例中，我们讨论缺货数量允许欠拨的比例分别为 0、0.5、0.8及1四种情况，运用演算法-的求解程序可以得到表2之结果。由表 2 ,在I固定值下，藉由比较各前置时间所对应的期望总成本现值EPVU* * *(Ti ,ki,L)i0,1,2,3,我们即可狭悉此模型的最适订购策略，其结果汇整於表3。表2最适解的求解过程（前置时间L的单位为周”）800.29862.8247890.400645.622.40.28550.27332.892.9644956.8141774.90357.40.27472.9540788.08*800.27672.2642748.910.5645.622.40.26570.25732.312.3540420.1138006.48357.40.26122.3337539.35*800.25901.7938686.320.8645.622.40.25080.24531.831.8536847.4335053.42357.40.25121.8235003.75*800.24471.3635118.661645.622.40.23860.23521.381.4033720.2532479.86*357.40.24261.3732800.72表3不同值下的最适解0.032.950.274740788.080.532.330.261237539.350.831.820.251235003.751.041.400.235232479.86因表3所呈现的结果，我们发现:,随着欠拨比例的提高，最小期望总成本现值随之减少。4.敏感度分析及管理上的涵意我们以例题一的数值资料为例 (1 的情况)，对参数A, D,h, , 和 作敏感度分析，在其他参数 不变的情况下，观察个别参数对最适订购周期、最适安全因子以及最小期望总成本现值的影响，其分析结果如表 4 所示。从表4 的结果我们可以得到以下的结论。(1)当k*随着A的递增而递减时，T*及EPV*有递增的趋势，但 T*, k*和EPV*对A的变化均呈现中敏感性。 *(2) 当 T 随着 D 的递增而递减时， k 及 EPV 有递增的趋势， 其中 T 对 D 的变化呈现高敏感性， k一 * ，公、*. .(3) 当 EPV* 随着 h 的递增而递增时，及 EPV * 对 D 的变化则呈现中敏感性。一* . 一 * * 一T及k有递减的趋势，其中T及EPV 对h的变化呈现高敏*感性， k 对 h 的变化则呈现中敏感性。. * _*. .*(4)当k随着 的递增而递增时，T和EPV亦呈递增的趋势，其中 k对 的变化呈现高敏感性,*T 及 EPV 对 的变化呈现低敏感性。(5)当k*随着 的递增而递减时，T*和EPV *有递增的趋势，但 T*, k*及EPV *对 的变化均呈现低敏感性。(6) 当 k* 随着的递增而递减时，T* 及 EPV* 亦有递减的趋势，其中EPV * 对 的变化呈现高敏感*性， T 及 k 对 的变化呈现低敏感性。综观上述的结果，我们可以得以下的结论：1. 就订购周期面而言最佳订购周期对於参数、 和 的变动敏感性较低，因此我们可以知道缺货惩罚成本 、单位时间内需求量的标准差及单位时间折现率 ，对於最佳订购周期的影响不大。2. 就服务率面而言最佳服务率r * 会随着 D 和 的增加而递增，而随着A 、 h 、 和 的增加而递减。因此，为了提高服务率，经营者可以考虑采取以下的行动：降低订购成本A 、降低持有成本或是降低单位时间内需求量*的标准差。其中最佳服务率 r 对於 h 和 的变动呈现中敏感性，这与实际情形相吻合。当持有成本h 较低时，一般我们会有较多的存货来提供较高的服务水准，而当缺货惩罚成本较高时，厂商为了避免缺货的发生，通常亦能提供较高的服务水准。3. 就总成本面而言最小总成本现值会随着A, D,h, 和 的减少而递减， 特别是持有成本h 的递减对总成本的影响较为显着。这表示说如果经营者可以有降低持有成本，就可以降低总成本现值。值得注意的是，当我们把货币的时间价值因素纳入考量彳爰，可以发现，利率因子的变动对总成本有相当大的影响。所以管理者在考量存货模式时，利率因子须加以考量。表 4 参数值改变对其最佳解的影响变动参数变动百分比（）壹.3.最隹解发动百分比+50+15.05-9.28+12.32+25+7.82-5.00+6.37-25-8.58+5.70-6.91-50-18.23+ 13.57-14.55+50-19.81+ 15.00+19.40+25-11.43+7.85+10.23-25+17.17-10.71-11.77-50+46.72-24.28-25.99+50-16.45-15.00+25.38+25-9.43-8.57+13.24-25+13.81+ 10.71-14.96-50+36.69+27.85-31.91+50+3.78+26.42+6.55+25+1.95+ 14.28+3.47-25-2.21-17.14-4.02-50-4.67-40.00-8.97+50+9.14-5.71+13.14+25+4.67-3.57+6.64-25-4.59+2.85-6.81-50-9.22+6.42-13.81+50-0.210-33.10+25-0.120-19.86-25+0.17-0.71+33.10-50+0.29-0.71+99.315.结论5.1 主要研究成果（销本论文主要考虑可控制前置时间与货币时间价值因素下，建立缺货数量允许部份欠拨与部份不补 售损失）的混合存货模型，其中订购量、请购点及前置时间均为决策变数。在本研究中，我们假设前置时 间内的需求量的机率分配不知，但其平均数及标准差为已知的情况下建立存货数学模式，进而求得其最适 订购策略，并且探讨参数的敏感度分析。综合以上的讨论，大致可归纳出下列几点结论：1. 当欠拨参数1（亦即缺货数量全部欠拨待补 ）时，其存货总成本现值为最小。此外，当欠拨参数递增时，最小总成本现值随之递减2.由敏感度分析中，我们可以得到以下的结果:(a)就订购周期面而言最佳订购周期对於参数、 和 的变动敏感性较低，因此我们可以知道缺货惩罚成本 、单位时间内需求量的标准差及单位时间折现率 ，对於最佳订购周期的影响不大。(b)就服务率面而言最佳服务率r * 会随着 D 和 的增加而递增，而随着A 、 h 、 和 的增加而递减。因此，为了提高服务率，经营者可以考虑采取以下的行动：降低订购成本A 、降低持有成本或是降低单位时间内需求量的标准差。其中最佳服务率 r * 对於 h 和 的变动呈现中敏感性，这与实际情形相吻合。当持有成本h 较低时，一般我们会有较多的存货来提供较高的服务水准，而当缺货惩罚成本较高时，厂商为了避免缺货的发生，通常亦能提供较高的服务水准。(c) 就总成本面而言最小总成本现值会随着A, D,h, 和 的减少而递减， 特别是持有成本h 的递减对总成本的影响较为显着。这表示说如果经营者可以有降低持有成本，就可以降低总成本现值。值得注意的是，当我们把货币的时间价值因素纳入考量彳爰，可以发现，利率因子的变动对总成本有相当大的影响。所以管理者在考量存货模式时，利率因子须加以考量。5.2 未来研究方向本论主要是同时考虑可控制前置时间与货币时间价值因素下 ， 探讨缺货数量允许部份欠拨与部份不补存货系统最佳补货策略。立基在本论文研究架构的存货模型，彳爰续研究应可朝以下方面进行：1. 本论文所考虑的计划幅度为无限，未来可进一步放宽此条件探讨计划幅度为有限且为随机变数的情形。2. 随着信用卡及支票交易的普遍化，未来我们在考量存货总成本时应同时考虑通货膨胀及允许延迟付款等因素，以使存货模型更加完善。参考文献 1 Tersine, R. J. Principles of Inventory and Materials Management, North Holland, New York(1994). 2 Laio, C. J., and Shyu, C. H.,“ An analytical determination of lead -time with normal demand,” InternationalJournal of Operations and Production Management, V ol. 11, pp.72-78(1991). 3 Ben-Daya, M. and Abdul Raouf(1994),“ Inventory Models Involving Lead Time as Decision Variable,Journal of the Operational Research Society, V ol.45, pp.579-582. 4 Ouyang, L. Y ., Yeh, N. C. and Wu, K. S., “ Mixture Inventory models with backorders and l ost sales forvariable lead- time, ” Journal of Operational Research Society, oVl.47, pp.829 -832(1996). 5 Ouyang, L. Y . and Wu, K. S.,“ Mixture Inventory model involving variable l-etiamde with a service levelconstraint, ” Computers and Operations Researochl.2, 4V, pp.875-882(1997). 6 Ouyang, L. Y . and Wu, K. S.,“ A minimax distribution free procedure formixed inventory model withvariable lead- time, ” International Journal of Production Economics, Vol.56 -57, pp.511-516(1998). 7 Ouyang, L. Y ., and Wu, K. S., “ Mixture inventory model involving variable lead- time and defective units,”Journal of Statistics and Management Systems, V ol.2, pp.143-157(1999). 8 Moon, I. And Choi, S.,“ A note on lead-time and distributional assumptions in continuous review inventorymodels, ” omCputers and Operations Research, Vol. 25, pp.1007-1012(1998). 9 Hariga, M. and Ben- Daya, M.,“ Some stochastic inventory models with deterministic variable lead-time, ”European Journal of Operational Research ,V ol.113, pp.42-51(1999). 10 Lan, S. P., Chu, P., Chung, K. J., Wan, W. J. and Lo, R.,“ A simple method to locate the optimal solution ofthe inventory model with variable lead time,” Computers and Operatioonls. 2R6e,search, Vpp.599-605(1999). 11 Ouyang L. Y . and Chang, H. C., “ The variable lead time stochastic inventory model with a fuzzy backorder rate, ” Journal of the Operational Research Society of Japan,oVl.44, pp.19 -33(2001). 12 Pan, C. H. and Hsiao, Y . C.,“ Inventory models with backorder discounts and variable lead time,International Journal of Systems Science, V ol.32, pp.925-929(2001). 13 Moon I., and Yun W.,“ An economic order quantity model with a random planning horizonT.heEngineering Economist V ol. 39, pp.77-83(1993). 14 Gallego, G. and Moon, I.,“ The distribution free newsboy problem: review and extensJiounrsn,al of theOperational Research Society, V ol. 44, pp.825-834(1993). 15 Chun K.K. J., Lin S. D.,“ A note on the optimal cycle length with a random planning horizon,Engineering Economists, V ol. 40, No. 4, pp. 385-392(1995).附录在证明推理二时，我们需要以下的补助定理。补助定理 1: (Chung 和 Lin15)2x , x(a) e 1 x 0 for x 0.2x 2 x_(b) e for x 0.2 x推理二：对固定的前置时间L Li, Li 1,则EPVU(T,k,L)为(T,k)之凸函数。证明：由(7)、(8)、(9)式及补助定理1,可知故Hessian矩阵的行列式如下：其中(TTV k)(1 k2产(-=L= 1)2 k；仆1, k22k2).1 k21 k J k2所以，Hessian矩阵行列式值为正值。因此， EPVU (T, k, L)为T和k的凸函数。