资源描述
专题四 概率与统计研高考明考点年份卷别小题考查大题考查2017卷T2数学文化，有关面积的几何概型T19正态分布、二项分布的性质及概率的计算，方差的计算公式T6二项式定理的应用、二项展开式的通项卷T6分步乘法计数原理、排列组合的应用、分组分配问题T18相互独立事件的概率，频率分布直方图的识别与应用，独立性检验T13二项分布的方差计算卷T3折线图的识别与应用T18频数分布表，概率分布列的求解，数学期望的应用T4二项式定理的应用、二项展开式的通项2016卷T4可化为长度的时间问题的几何概型T19柱状图的识别，频率估计概率，随机变量的分布列及数学期望的应用T14求二项展开式特定项的系数卷T5实际生活背景下的分步乘法计数原理的应用T18互斥事件，条件概率，随机变量的分布列及数学期望T10几何概型、随机模拟法计算圆周率卷T4统计图表的应用T18变量间的线性相关关系，回归方程的求解与应用T12数列新定义的理解、计数原理的应用2015卷T4与二项分布有关的概率计算T19散点图，求回归方程及函数的最值T10二项式定理、二项式展开式特定项的系数卷T3条形图、两个变量的相关性T18茎叶图，数据的平均值和方差，相互独立事件的概率T15二项式定理、二项展开式的系数和析考情明重点小题考情分析大题考情分析常考点1.排列组合的应用(3年3考) 2.二项式定理及其应用(3年5考) 3.用样本估计总体(3年4考) 4.古典概型与几何概型(3年3考)常考点概率部分解答题的考查重点是离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，事件的独立性和n次独立重复试验模型的综合问题等；统计部分解答题应重点关注古典概型与频率分布直方图综合以及回归分析的相关命题题型主要有：1.以相互独立事件、二项分布、超几何分布为背景求随机变量的分布列、期望与方差2.回归分析与统计的综合问题偶考点1.变量间的相关关系、统计案例2.条件概率、相互独立事件、独立重复试验偶考点1.正态分布与概率的综合问题2.独立性检验与统计的综合问题第一讲 小题考法排列、组合与二项式定理考点(一)主要考查两个计数原理、排列、组合的简单综合应用，有时会与概率问题相结合考查.排列、组合的应用典例感悟典例(1)(2016全国卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A24 B18 C12 D9(2)(2017全国卷)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A12种 B18种C24种 D36种(3)(2017长春质检)某班主任准备请2018届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间需恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有_种(用数字作答)解析(1)由题意可知从E到F有6条最短路径，从F到G有3条最短路径，由分步乘法计数原理知，共6318条最短路径，故选B.(2)因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作先把4项工作分成3组，即2,1,1，有6种，再分配给3个人，有A6种，所以不同的安排方式共有6636(种)(3)若甲、乙同时参加，不同的发言顺序有2CAA120种；若甲、乙有一人参加，不同的发言顺序有CCA960种由分类加法计数原理知，共有1209601 080种不同的发言顺序答案(1)B(2)D(3)1 080方法技巧1解答排列组合问题的4个角度解答排列组合问题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手2解决分组分配问题的3种策略(1)不等分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数(2)整体均分：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数(3)部分均分：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数演练冲关1两个三口之家约定星期日乘“奥迪”、“奔驰”两辆轿车结伴郊游，他们共有4个大人，2个小孩，每辆车最多只能乘坐4人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数为()A40 B48 C60 D68解析：选B由题意得，只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余的乘坐奔驰车即可，需要分三类：若奥迪车上没有小孩，则有CC10种乘车方法；若有一个小孩，则有C(CCC)28种乘车方法；若有两个小孩，则有CC10种乘车方法故不同的乘车方法种数为10281048.22名男生、1名男教师和3名女生站成一排，若男教师不站两端，任意两名女生都不相邻，则不同的排法种数为()A120 B96C84 D36解析：选A首先将2名男生和1名男教师安排好，有A6种情况，排好后有4个空位，在其中任选3个，安排3名女生，有A24种情况，则2名男生、1名男教师和3名女生站成一排，任意两名女生都不相邻的排法有624144(种)其中男教师站在两端的情况有2AA24(种)，则男教师不站两端，任意两名女生都不相邻的不同的排法种数为14424120.3(2017天津高考)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个(用数字作答)解析：一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有CCA960(个)，四个数字都是奇数的四位数有A120(个)，则至多有一个数字是偶数的四位数一共有9601201 080(个)答案：1 0804(2017浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有_种不同的选法(用数字作答)解析：法一：分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有CC55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有A12种不同的选法根据分步乘法计数原理知共有5512660种不同的选法法二：不考虑限制条件，共有AC种不同的选法，而没有女生的选法有AC种，故至少有1名女生的选法有ACAC840180660(种)答案：660考点(二)主要考查二项式定理的通项公式、二项式系数、二项式特定项、二项展开式系数的和等.二项式定理及其应用典例感悟典例(1)(2015全国卷)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A10 B20 C30 D60(2)(2017南昌模拟)在多项式(12x)6(1y)5的展开式中，xy3项的系数为_(3)(2015全国卷)(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a_.解析(1)(x2xy)5(x2x)y5，含y2的项为T3C(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的项为Cx4xCx5.所以x5y2的系数为CC30.(2)在多项式(12x)6(1y)5的展开式中，通项为C(2x)rCym，其中r0,1，6，m0,1，5.令r1，m3，得xy3项的系数为C2C120.(3)设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5.令x1，得(a1)24a0a1a2a3a4a5.令x1，得0a0a1a2a3a4a5.，得16(a1)2(a1a3a5)232，解得a3.答案(1)C(2)120(3)3方法技巧求解二项式定理相关问题的常用思路(1)二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的(2)二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值演练冲关1在二项式(12x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为()A960 B960 C1 120 D1 680解析：选C根据题意，2n1128，解得n8，则(12x)8的展开式的中间项为第5项，且T5C(2)4x41 120x4，即展开式的中间项的系数为1 120.2(2017全国卷)(1x)6展开式中x2的系数为()A15 B20C30 D35解析：选C(1x)6展开式的通项Tr1Cxr，所以(1x)6的展开式中x2的系数为1C1C30.3(2017合肥质检)在4的展开式中，常数项为_解析：易知414的展开式的通项Tr1C(1)4rr.又r的展开式的通项Rm1Cxrm(x1)mC(1)mxr2m，Tr1C(1)4rC(1)mxr2m，令r2m0，得r2m，0r4，0m2，当m0,1,2时，r0,2,4，故常数项为T1T3T5C(1)4C(1)2C(1)1C(1)0C(1)25.答案：5必备知能自主补缺 (一) 主干知识要记牢1排列、组合数公式(1)排列数公式An(n1)(nm1).(2)组合数公式C.2二项式定理(1)二项式定理(ab)nCanCan1bCankbkCbn.(2)通项与二项式系数Tk1Cankbk，其中C(k0,1,2，n)叫做二项式系数(二) 二级结论要用好1各二项式系数之和(1)CCCC2n.(2)CCCC2n1.2二项式系数的性质(1)CC，CCC.(2)二项式系数最值问题当n为偶数时，中间一项即第项的二项式系数Cn最大；当n为奇数时，中间两项即第，项的二项式系数Cn，Cn相等且最大针对练若n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是()A360 B180 C90 D45解析：选B依题意知n10，Tr1C()10rrC2rx5r，令5r0，得r2，常数项为C22180.(三) 易错易混要明了二项式(ab)n与(ba)n的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分还要注意二项式系数与项的系数的区别与联系，同时要明确二项式系数最大项与展开式系数最大项的不同课时跟踪检测 A组124提速练一、选择题1(2017云南统考)在10的二项展开式中，x4的系数为()A120 B60C60 D120解析：选A10的展开式的通项Tr1Cx10rr(1)rCx102r，令102r4，得r3，所以该二项展开式中x4的系数为C120.2(2017长沙调研)5的展开式中x2y3的系数是()A20 B5C5 D20解析：选A5展开式的通项Tr1C5r(2y)rC5r(2)rx5ryr，令r3，得x2y3的系数为C2(2)320.3旅游体验师小李受某旅游网站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方案有()A24种 B18种C16种 D10种解析：选D若甲景区在最后一个体验，则有A种方案；若甲景区不在最后一个体验，则有AA种方案所以小李旅游的方案共有AAA10(种)4现有4名教师参加说课比赛，共有4道备选题目，若每位教师从中有放回地随机选出一道题目进行说课，其中恰有一道题目没有被这4位教师选中的情况有()A288种 B144种C72种 D36种解析：选B首先选择题目，从4道题目中选出3道，选法有C种；其次将获得同一道题目的2位教师选出，选法有C种；最后将选出的3道题目分配给3组教师，分配方式有A种由分步乘法计数原理，知满足题意的情况共有CCA144(种)5甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有()A30种 B36种 C60种 D72种解析：选A甲、乙两人从4门课程中各选修2门有CC36种选法，甲、乙所选的课程中完全相同的选法有C6种，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有36630(种)6(x22)5的展开式中x1的系数为()A60 B50C40 D20解析：选A依题意，5的展开式的通项Tr1C2rxr，5的展开式中含x1(当r1时)，x3(当r3时)项的系数分别为2C，23C，所以(x22)5的展开式中x1的系数为23C22C60.7.(2x1)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为()A20 B10C10 D20解析：选C令x1，可得a12，所以a1，所以(2x1)5(2x1)5，则展开式中常数项为2C(1)410.8学校组织学生参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学现从该小组中选出3名同学分别到A，B，C三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有()A70种 B140种C840种 D420种解析：选D从9名同学中任选3名分别到A，B，C三地进行社会调查有CA种安排方法，3名同学全是男生或全是女生有(CC)A种安排方法，故选出的同学中男女均有的不同安排方法有CA(CC)A420(种)9已知(x2)15a0a1(1x)a2(1x)2a15(1x)15，则a13的值为()A945 B945C1 024 D1 024解析：选B由(x2)153(1x)15a0a1(1x)a2(1x)2a15(1x)15，得a13C32(1)13945.10(2017合肥质检)已知(axb)6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为135与18，则(axb)6的展开式中所有项系数之和为()A1 B1C32 D64解析：选D由二项展开式的通项公式可知x4项的系数为Ca4b2，x5项的系数为Ca5b，则由题意可得解得ab2，令x1，得(axb)6的展开式中所有项的系数之和为(ab)664，故选D.11(2017全国卷)(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为()A80 B40C40 D80解析：选C当第一个括号内取x时，第二个括号内要取含x2y3的项，即C(2x)2(y)3，当第一个括号内取y时，第二个括号内要取含x3y2的项，即C(2x)3(y)2，所以x3y3的系数为C23C2210(84)40.12现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张则不同取法的种数为()A232 B252 C472 D484解析：选C由题意，不考虑特殊情况，从16张卡片中任取3张共有C种取法，其中取出的这三张卡片是同一种颜色有4C种取法，取出2张红色卡片有CC种取法，故所求的取法共有C4CCC472(种)，故选C.二、填空题13(2018届高三湘中名校联考)设1x5a0a1(x1)a2(x1)2a5(x1)5，则a0a1a2a5_.解析：令x2，得125a0a1a2a5，即a0a1a2a533.答案：3314(2017浙江高考)已知多项式(x1)3(x2)2x5a1x4a2x3a3x2a4xa5，则a4_，a5_.解析：由题意知a4为含x的项的系数，根据二项式定理得a4C12C22C13C216，a5是常数项，所以a5C13C224.答案：16415“污染治理”“延迟退休”“楼市新政”“共享单车”“中印对峙”成为现在社会关注的5个热点小王想利用暑假时间调查一下社会公众对这些热点的关注度若小王准备按照顺序分别调查其中的4个热点，则“共享单车”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的调查顺序有_种解析：先从“污染治理”“延迟退休”“楼市新政”“中印对峙”这4个热点中选出3个，有C种不同的选法，在调查时“共享单车”安排的顺序有A种可能情况，其余3个热点安排的顺序有A种可能情况，故有CAA72种不同的调查顺序答案：7216.编号为A，B，C，D，E的五个小球放在如图所示的五个盒子里，要求每个盒子只能放一个小球，且A球不能放在4号，5号，B球必须放在与A球相邻的盒子中，则不同的放法的种数为_解析：根据A球所在的位置可分三类情况：若A球放在1号盒子内，则B球只能放在2号盒子内，余下的三个盒子放C，D，E球，有A6种不同的放法；若A球放在3号盒子内，则B球只能放在2号盒子内，余下的三个盒子放C，D，E球，有A6种不同的放法；若A球放在2号盒子内，则B球可以放在1号，3号，4号中的任何一个盒子内，余下的三个盒子放C，D，E球，有CA18种不同的放法综上可得不同的放法共有661830(种)答案：30B组能力小题保分练1若(12x)2 018a0a1xa2x2a2 018x2 018，则的值为()A2 B0 C1 D2解析：选C令x0，得a01.令x，得10.则1.2(2017武昌调研)若n的展开式中所有项系数的绝对值之和为1 024，则该展开式中的常数项为()A270 B270C90 D90解析：选Cn的展开式中所有项系数的绝对值之和等于n的展开式中所有项系数之和令x1，得4n1 024，n5.则n5，其通项Tr1C5r()rC35r(1)rx，令0，解得r3，该展开式中的常数项为T4C32(1)390，故选C.3(2016全国卷)定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数若m4，则不同的“规范01数列”共有()A18个 B16个 C14个 D12个解析：选C由题意知：当m4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a10，a81.不考虑限制条件“对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C20(种)，其中存在k2m，a1，a2，ak中0的个数少于1的个数的情况有：若a2a31，则有C4(种)；若 a21，a30，则a41，a51，只有1种；若a20，则a3a4a51，只有1种综上，不同的“规范01数列”共有20614(种)故共有14个故选C.4若5展开式中的常数项为40，则a_.解析：5展开式的通项Tr1C(2x)5rrC25rx52r，因为2x5的展开式中的常数项为40，所以axC22x1C23x40，即40a8040，解得a3.答案：35福州大学的8名学生准备拼车去湘西凤凰古城旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名，分乘甲、乙两辆汽车每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有_种解析：可分两类：第一类，大一的孪生姐妹乘坐甲车，则可再分三步：第一步，从大二、大三、大四三个年级中任选两个年级，有C种不同的选法；第二步，从所选出的两个年级中各抽取一名同学，有CC种不同的选法；第三步，余下的4名同学乘乙车有C种不同的选法，根据分步乘法计数原理，可知有CCCC种不同的乘坐方式第二类，大一的孪生姐妹乘坐乙车，则可再分三步：第一步，从大二、大三、大四三个年级中任选一个年级(此年级的2名同学乘甲车)，有C种不同的选法；第二步，余下的两个年级中各抽取一名同学，有CC种不同的选法；第三步，余下的2名同学乘乙车有C种不同的选法，根据分步乘法计数原理，可知有CCCC种不同的乘坐方式根据分类加法计数原理，满足要求的乘坐方式种数为CCCCCCCC24.答案：246(2017陕西质检)从一架钢琴挑出的10个音键中，分别选择3个，4个，5个，10个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为_(用数字作答)解析：依题意共有8类不同的和声，当有k(k3,4,5,6,7,8,9,10)个键同时按下时，有C种不同的和声，则和声总数为CCCC210CCC1 02411045968.答案：968第二讲 小题考法概率、统计、统计案例考点(一)主要考查用统计图表估计总体以及利用样本的数字特征估计总体，且以统计图表的考查为主.用样本估计总体典例感悟典例(1)(2016全国卷)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ，B点表示四月的平均最低气温约为5 .下面叙述不正确的是() A各月的平均最低气温都在0 以上B七月的平均温差比一月的平均温差大C三月和十一月的平均最高气温基本相同D平均最高气温高于20 的月份有5个(2)为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：)制成如图所示的茎叶图考虑以下结论：甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为()A BC D(3)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图和图所示为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A100,10 B200,10C100,20 D200,20解析(1)由图形可得各月的平均最低气温都在0 以上，A正确；七月的平均温差约为10 ，而一月的平均温差约为5 ，B正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 左右，基本相同，C正确；平均最高气温高于20的月份有2个，故D错误(2)甲29，乙30，甲s乙故可判断结论正确(3)易知样本容量为(3 5004 5002 000)2%200；抽取的高中生人数为2 0002%40，由于其近视率为50%，所以近视的人数为4050%20.答案(1)D(2)B(3)D方法技巧1方差的计算与含义(1)计算：计算方差首先要计算平均数，然后再按照方差的计算公式进行计算(2)含义：方差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差大说明波动大2与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可以求出其他数据(2)已知频率分布直方图，求某个范围内的数据可利用图形及某范围结合求解演练冲关1(2017全国卷)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是()A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳解析：选A根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都在减少，所以A错误由图可知，B、C、D正确2(2017山东高考)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为()A3,5 B5,5 C3,7 D5,7解析：选A由两组数据的中位数相等可得6560y，解得y5，又它们的平均值相等，所以56626574(70x)(5961676578)，解得x3.3某电子商务公司对10 000名网络购物者2017年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间0.3,0.9内，其频率分布直方图如图所示 (1)直方图中的a_；(2)在这些购物者中，消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为_解析：(1)由0.11.50.12.50.1a0.12.00.10.80.10.21，解得a3.(2)区间0.3,0.5)内的频率为0.11.50.12.50.4，故0.5,0.9内的频率为10.40.6.因此，消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为0.610 0006 000.答案：(1)3(2)6 000考点(二)主要考查线性回归方程的求解及应用，对独立性检验的考查较少.变量间的相关关系、统计案例典例感悟典例(1)(2017兰州诊断)已知某种商品的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：x24568y304050m70根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为6.5x17.5，则表中m的值为()A45 B50 C55 D60(2)(2017南昌模拟)设某中学的高中女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据样本数据(xi，yi)(i1,2,3，n)，用最小二乘法近似得到回归直线方程为0.85x85.71，则下列结论中不正确的是()Ay与x具有正线性相关关系B回归直线过样本点的中心(，)C若该中学某高中女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgD若该中学某高中女生身高为160 cm，则可断定其体重必为50.29 kg解析(1)5，.当5时，6.5517.550，50，解得m60.(2)因为回归直线方程0.85x85.71中x的系数为0.850，因此y与x具有正线性相关关系，所以选项A正确；由最小二乘法及回归直线方程的求解可知回归直线过样本点的中心(，)，所以选项B正确；由于用最小二乘法得到的回归直线方程是估计值，而不是具体值，所以若该中学某高中女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg，所以选项C正确，选项D不正确答案(1)D(2)D方法技巧求回归直线方程的关键及实际应用(1)求回归直线方程的关键是正确理解，的计算公式和准确地求解(2)在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值演练冲关1(2018届高三湖北七市(州)联考)广告投入对商品的销售额有较大影响某电商对连续5个年度的广告费x和销售额y进行统计，得到统计数据如表所示(单位：万元)：广告费x23456销售额y2941505971由上表可得回归方程为10.2x，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为()A101.2万元 B108.8万元C111.2万元 D118.2万元解析：选C根据统计数据表，可得(23456)4，(2941505971)50，而回归直线10.2x经过样本点的中心(4,50)，5010.24，解得9.2，回归方程为10.2x9.2.当x10时，y10.2109.2111.2，故选C.2(2018届高三湘中名校联考)利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定“X和Y有关系”的可信度如果k3.841，那么有把握认为“X和Y有关系”的百分比为()P(K2k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A.5% B75% C99.5% D95%解析：选D由表中数据可得，当k3.841时，有0.05的机率说明这两个变量之间的关系是不可信的，即有10.050.95的机率，也就是有95%的把握认为变量之间有关系，故选D.考点(三)主要考查古典概型及几何概型概率公式的应用.古典概型与几何概型典例感悟典例(1)(2016全国卷)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A. B. C. D.(2)(2017全国卷)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A. B. C. D.(3)(2018届高三湖北五市十校联考)在矩形ABCD中，AD1，AB2AD，在CD上任取一点P，ABP的最大边是AB的概率为()A. B. C.1 D.1解析(1)(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)，事件总数有15种正确的开机密码只有1种，P.(2)不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为.由题意，得S黑S圆，故此点取自黑色部分的概率P.(3)分别以A，B为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于P1，P2，则当P在线段P1P2间运动时，能使得ABP的最大边是AB，在RtP2BC中，BP22，BC1，故CP2，DP22，同理CP12，所以P1P22(2)222，所以1，即ABP的最大边是AB的概率为1.答案(1)C(2)B(3)D方法技巧1利用古典概型求概率的关键及注意点(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数，这常常用到排列、组合的有关知识(2)对于较复杂的题目条件计数时要正确分类，分类时应不重不漏2几何概型的适用条件及求解关键(1)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解(2)求解关键是寻找构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域演练冲关1(2018届高三湖北七市(州)联考)从数字1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于12的概率为()A. B. C. D.解析：选A从5个数字中任意抽取3个数字组成一个三位数，并且允许有重复的数字，这样构成的数字有53125个则各位数字之和等于12且没有重复数字，则该数只能含有3,4,5三个数字，可构成A6个三位数；若三位数的各位数字均重复，则该数为444；若三位数中有2个数字重复，则该数为552,525,255，有3个因此，所求概率为P，故选A.2(2017长春质检)如图，扇形AOB的圆心角为120，点P在弦AB上，且APAB，延长OP交弧AB于点C，现向扇形AOB内投一点，则该点落在扇形AOC内的概率为()A. B. C. D.解析：选A设OA3，则AB3，AP，由余弦定理可求得OP，则AOP30，所以扇形AOC的面积为，又扇形AOB的面积为3，从而所求概率为.3某班班会，准备从包括甲、乙两人的7名学生中选取4名学生发言，要求甲、乙两人至少有1人参加，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为_解析：若无限制条件则有A种情况；若甲、乙两人都不被选中则有A种情况，因此甲、乙两人至少有1人被选中有AA种情况甲、乙两人都被选中且发言时不相邻共有AA种情况，故所求概率为P.答案：考点(四)主要考查条件概率、相互独立事件、独立重复试验的应用.条件概率、相互独立事件与独立重复试验典例感悟典例(1)(2015全国卷)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A0.648 B0.432 C0.36 D0.312(2)(2017武昌调研)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A“4个人去的景点不相同”，事件B“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)()A. B. C. D.(3)某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为_解析(1)3次投篮投中2次的概率为P(X2)C0.62(10.6)0.432，投中3次的概率为P(X3)0.630.216，所以该同学通过测试的概率为P(X2)P(X3)0.4320.2160.648.(2)小赵独自去一个景点共有4333108种情况，4个人去的景点不同有A432124种情况，P(A|B).(3)依题意，部件正常工作就是该部件使用寿命超过1 000小时，元件正常工作的概率为，则部件正常工作的概率为1.答案(1)A (2)A(3)方法技巧1条件概率的求法(1)利用定义，先分别求出P(A)和P(AB)，再利用P(B|A)求得这是通用的求条件概率的方法(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A).2复杂事件概率的求法(1)直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或一独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解(2)间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少时，则可利用其对立事件进行求解对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解演练冲关1(2018届高三广西三市联考)某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：使用时间/天10202130314041505160个数1040805020若将频率视作概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为()A. B. C. D.解析：选D由表可知元件使用寿命在30天以上的频率为，则所求概率为C23.21号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率为()A. B. C. D.解析：选A记事件A：从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球则根据古典概型和对立事件的概率和为1，可知：P(B)，P()1；由条件概率公式知P(A|B)，P(A|).从而P(A)P(AB)P(A)P(A|B)P(B)P(A|)P()，故选A.必备知能自主补缺 (一) 主干知识要记牢1概率的计算公式(1)古典概型：P(A)；(2)互斥事件：P(AB)P(A)P(B)；(3)对立事件：P()1P(A)；(4)几何概型：P(A)；(5)独立事件：P(AB)P(A)P(B)；(6)独立重复试验：Pn(k)Cpk(1p)nk；(7)条件概率：P(B|A).2抽样方法(1)三种抽样方法的比较类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样是不放回抽样，抽样过程中，每个个体被抽到的机会(概率)相等从总体中逐个抽取总体中的个数较少系统抽样将总体均分成几部分，按事先确定的规则，在各部分抽取在起始部分抽样时，采用简单随机抽样总体中的个数比较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时，采用简单随机抽样或者系统抽样总体由差异明显的几部分组成(2)分层抽样中公式的运用抽样比；层1的数量层2的数量层3的数量样本1的容量样本2的容量样本3的容量3用样本数字特征估计总体(1)众数、中位数、平均数定义特点众数在一组数据中出现次数最多的数据体现了样本数据的最大集中点，不受极端值的影响，而且不唯一中位数将一组数据按大小顺序依次排列，处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)中位数不受极端值的影响，仅利用了排在中间数据的信息，只有一个平均数样本数据的算术平均数与每一个样本数据有关，只有一个(2)方差和标准差方差和标准差反映了数据波动程度的大小方差：s2(x1)2(x2)2(xn)2；标准差：s .(二) 二级结论要用好1频率分布直方图的3个结论(1)小长方形的面积组距频率(2)各小长方形的面积之和等于1.(3)小长方形的高，所有小长方形高的和为.2与平均数和方差有关的4个结论(1)若x1，x2，xn的平均数为，那么mx1a，mx2a，mxna的平均数为ma；(2)数据x1，x2，xn与数据xx1a，xx2a，xxna的方差相等，即数据经过平移后方差不变；(3)若x1，x2，xn的方差为s2，那么ax1b，ax2b，axnb的方差为a2s2；(4)s2(xi)22，即各数平方的平均数减去平均数的平方求s2时，可根据题目的具体情况，结合题目给出的参考数据，灵活选用公式形式3线性回归方程线性回归方程x一定过样本点的中心(，)针对练1(2018届高三惠州调研)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验根据收集到的数据(如下表)：零件数x/个1020304050加工时间y/分钟6268758189由最小二乘法求得回归方程0.67x，则的值为_解析：因为30，75，所以回归直线一定过样本点的中心(30,75)，将其代入0.67x，可得750.6730，解得54.9.答案：54.9(三) 易错易混要明了1应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和2正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件3混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错4在求解几何概型的概率时，要注意分清几何概型的类别(体积型、面积型、长度型、角度型等)针对练2一种小型电子游戏的主界面是半径为r的圆，点击圆周上的点A后，该点在圆周上随机转动，最后落在点B处，当线段AB的长不小于r时自动播放音乐，则一次转动能播放音乐的概率为_解析：如图，当|AB|r，即点B落在劣弧CC上时才能播放音乐又劣弧CC所对应的圆心角为，所以一次转动能播放音乐的概率为.答案：课时跟踪检测 A组124提速练一、选择题1(2017南昌模拟)某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1 000人、高二1 200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查已知高二被抽取的人数为30，那么n()A860 B720C1 020 D1 040解析：选D根据分层抽样方法，得8130，解得n1 040.2(2018届高三西安八校联考)某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学按01,02,03，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是()(注：下表为随机数表的第8行和第9行)第8行第9行A07 B25C42 D52解析：选D依题意得，依次选出的个体分别为12,34,29,56,07,52，因此选出的第6个个体是52，故选D.3(2017宝鸡质检)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为200，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间25,30)的为一等品，在区间20,25)和30,35)的为二等品，其余均为三等品，则该样本中三等品的件数为()A5 B7C10 D50解析：选D根据题中的频率分布直方图可知，三等品的频率为1(0.050 00.062 50.037 5)50.25，因此该样本中三等品的件数为2000.2550，故选D.4(2016全国卷)从区间0,1随机抽取2n个数x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()A. B.C. D.解析：选C因为x1，x2，xn，y1，y2，yn都在区间0,1内随机抽取，所以构成的n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)都在边长为1的正方形OABC内(包括边界)，如图所示若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个用随机模拟的方法可得，即，所以.5在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)(n2，x1，x2，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i1,2，n)都在直线yx1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A1 B0C. D1解析：选D因为所有样本点都在直线yx1上，所以这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1.6甲、乙两位歌手在“中国新歌声”选拔赛中，5次得分情况如图所示记甲、乙两人的平均得分分别为甲，乙，则下列判断正确的是()A.甲乙，甲比乙成绩稳定B.甲乙，乙比甲成绩稳定C.甲乙，甲比乙成绩稳定D.甲乙，乙比甲成绩稳定解析：选B甲85，乙86，s(7685)2(7785)2(8885)2(9085)2
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