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考点47 条件概率与二项的分布【考纲要求】了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念；理解n次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单问题.【命题规律】条件概率与二项的分布问题在选择题、填空题以及解答题中都会考查，在解答题中出现时难度较大.【典型高考试题变式】（一）二项分布例1.【2017课标II】一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则 .【答案】【变式1】已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)30，D(X)20，则p_.【答案】【解析】由E(X)np，D(X)np(1p)，得解得.【变式2】设事件A在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为_【答案】【解析】假设事件A在每次试验中发生说明试验成功，设每次试验成功的概率为p，由题意得，事件A发生的次数XB(3，p)，则有1(1p)3，得p，则事件A恰好发生一次的概率为C.（二）条件概率 例2.(2014课标)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6.已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A0.8 B0.75 C0.6 D0.45【解析】设“一天的空气质量为优良”为事件A，“连续两天为优良”为事件AB，则已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率为P(B|A)由条件概率可知，P(B|A)0.8，故选A. 【名师点睛】计算条件概率有两种方法(1)利用定义P(B|A)；(2)若n(C)表示试验中事件C包含的基本事件的个数，则P(B|A).【变式1】先后掷骰子（骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x、y，设事件A为“x+y为偶数”，事件B为“x、y中有偶数，且xy”，则概率P(B|A)=（ ）ABCD【答案】B【变式2】甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为()A0.45 B0.6 C0.65 D0.75【答案】D【解析】设目标被击中为事件B，目标被甲击中为事件A，则由P(B)0.60.50.40.50.60.50.8，得P(A|B)0.75.【数学思想】（1）函数方程思想.（2）转化与化归思想.【温馨提示】（1）条件概率的问题中：事件A与事件B有时是相互独立事件，有时不是相互独立事件，要弄清P(AB)的求法当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A).（2）注意二项分布满足的条件：每次试验中，事件发生的概率是相同的各次试验中的事件是相互独立的每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数注意弄清楚超几何分布与二项分布的区别与联系.【典例试题演练】1.（黑龙江省大庆第一中学2014届高三下学期第二阶段考试数学（理）试题） 先后掷骰子（骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x、y，设事件A为“x+y为偶数”，事件B为“x、y中有偶数，且xy”，则概率P (B|A)=（ ）ABCD【答案】B【解析】事件A为“为偶数”所包含的基本事件数有,，共18种，事件AB为“x、y中有偶数，且xy ，x+y为偶数”， 所包含的基本事件数有，共6种，由条件概率计算公式可得P(B|A)=.2. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A“取到的2个数之和为偶数”，事件B“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)()A. B. C. D.【答案】B【解析】P(A)，P(B)，又AB，则P(AB)P(B)，所以P(B|A).3.()某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45【答案】A4.【2017年第一次全国大联考（新课标卷）】甲、乙、丙、丁四名同学报名参加四项体育比赛，每人限报其中一项，记事件“4名同学所报比赛各不相同”，事件“甲同学独报一项比赛”，则（ ）A B C D【答案】A【解析】由题意得，故选A5. 某运动员投篮命中率为0.6，他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分；命中次数为X，得分为Y，则E(X)，D(Y)分别为()A.0.6，60 B.3，12 C.3，120 D.3，1.2【答案】C【解析】XB(5，0.6)，Y10X，所以E(X)50.63，D(X)50.60.41.2.D(Y)100D(X)120，故选C.6.若B(n，p)，且6，3，则P(1)的值为()A. B. C. D.【答案】C 【解析】np6，npq3，q，p1q，n12.p(1)C3210，故选C.7. 设随机变量X服从正态分布N(3,4)，若P(X2a3)P(Xa2)，则a()A3 B. C5 D.【答案】D【解析】因为X服从正态分布N(3,4)，P(X2a3)P(Xa2)所以2a3a26，a.8. 1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是()A. B. C. D.【答案】A9. 已知随机变量X服从二项分布B(n，p)，若E(X)30，D(X)20，则p_.【答案】5【解析】由E(X)np，D(X)np(1p)，得解得p.10. 甲袋中有2个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球.现在随机地从甲袋中取出一球放入乙袋，然后从乙袋中随机地取出一球，则取出的球是白球的概率是_.【答案】【解析】设A表示事件“从甲袋放入乙袋中的球是白球”，B表示事件“最后从乙袋中取出的球是白球”.所以P(A)，P(A)，P(B|A)，P(B|A).P (B)P(AB)P(AB)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A).11. 如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)_【答案】【解析】依题意得，P(A)，P(AB)，则由条件概率的意义可知，P(B|A).12. 【2017安徽阜阳二模】一企业从某生产线上随机抽取件产品，测量这些产品的某项技术指标值，得到的频率分布直方图如图.（1）估计该技术指标值平均数；（2）在直方图的技术指标值分组中，以落入各区间的频率作为取该区间值的频率，若，则产品不合格，现该企业每天从该生产线上随机抽取件产品检测，记不合格产品的个数为，求的数学期望.【解析】（1） ，（2）由频率分布直方图可知，所以，所以13. 【2017江西师大附中、临川一中联考】某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答.（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为，答对文科题的概率均为，若每题答对得10分，否则得零分.现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分的分布列与数学期望.【解析】（1）记“该考生在第一次抽到理科题为事件A”，“该考生第二次和第三次均抽到文科题为事件B”，则，.所以该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次抽到文科题的概率为.（2）的可能取值为0，10，20，30，则， ， . 所以的分布列为0102030所以，的数学期望.14. 甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是设每人回答正确与否相互之间没有影响，用表示甲队总得分（1）求随机变量的分布列及其数学期望E；（2）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率【解析】（1）的可能取值为0，1，2，3;,所以的分布列为0123,15. 【2017年第一次全国大联考（山东卷）】某社区为丰富居民节日活动，组织了“迎新春”象棋大赛，已知由1,2,3号三位男性选手和4,5号两位女性选手组成混合组参赛.已知象棋大赛共有三轮，设三位男性选手在一至三轮胜出的概率依次是；两名女性选手在一至三轮胜出的概率依次是.（1）若该组五名选手与另一组选手进行小组淘汰赛，每名选手只比赛一局，共五局比赛，求该组两名女性选手的比赛次序恰好不相邻的概率；（2）若一位男性选手因身体不适退出比赛，剩余四人参加个人比赛，比赛结果相互不影响，设表示该组选手在四轮中胜出的人数，求随机变量的分布列和数学期望.【解析】（1）记两名女性选手比赛次序恰好不相邻为事件A，则五人不同的比赛次序为种，事件A对应的比赛次序为种，所以.（2）男性选手在三轮中胜出的概率为；两名女性选手在三轮中胜出的概率为.由题意可知男性选手三轮中胜出的人数；女性选手三轮比赛中胜出的人数，显然. 所以可取. 所以的分布列为01234所以. 另，.9
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