《集合、简易逻辑》八类误区警示录

集合、简易逻辑八类误区警示录同学们在平时学习和解题中，经常会碰到这样的的一类问题“一看似懂，一做就错；老师一点似明，再做又错”，这类问题成称之为“易错问题”。“易错问题”考查的知识点和数学能力不一定很难，但其中设置了很容易使学生形成错觉的知识障碍。本文对高中数学集合、简易逻辑这一章易错的八类问题的成因进行归纳和分析，整理为集合、简易逻辑八类误区警示录。误区1 忽视符号的含义，错误判断两集合之间的关系例1若，则M与N是什么关系？错解 不认真认识符号的含义，错断为M是N的子集或N是M的子集； 错因 未认识记和本质属性的意义，忽视符号的含义致错，策略1 注意集合得三种表示方法得等价性，用列举法列举M，N，则判断M=N；策略2 认识符号的意义，M是被2除余数为1的剩余类，N是被4除余数为1或3的剩余类，都是表示的奇数的集合，则M=N；误区2 忽视空集的研究例2 已知集合A=. B=,若,则所有实数m组成的集合为（ ） 错解 B 是A的子集两种情况，由方程根的意义，可得 ；错因 忽视空集是任何集合的子集的认识，导致露解。 策略 研究空集为任何集合的子集，可得m组成的集合为；警示 集合A、B满足时，你是否注意到“极端”情况：A=或B=？有AB条件时是否记着A=？误区3 忽视代表元素的认识例3 求下列集合的交集（1）已知集合M=y|y=x2,xR，N=y|y=x2+1,xR，求；（2）已知集合；（3）求。错解 （1） ；（2）；（3）策略 （1）认识数集的意义有；（2）认识点集的意义有；（3）理解集合的本质属性 ；警示：常见的三类集合 数集 （定义域和值域及不等式方程的解集）和点集如何区分？认识代表元素， 进一步挖掘集合的本质属性，认识集合的特征和三种表示的等价性的作用，数集和点集的交集为空集；误区4 忽视元素特性和概念的认识例4集合Ax|0，Bx | x -b|a，若“a1”是“AB”的充分条件， 则b的取值范围是A2b0B0b2C3b1D1b2 错解 解，选C；策略1: 选择题注意其选择支验证,产生特殊值法求解. 取特值.将b=0代入,有,反之不成立,选D; 策略2 认识充分条件的集合表示化归解不等式的问题,产生直接法求解. 易解,因只要求是充分条件,所以只要找到的子集即可.故选D;误区5 忽视隐含条件的挖掘 例5已知集合A, B,是否存在实数x, 使得BCSBA (其中全集SR), 若存在, 求出集合A、B; 若不存在, 请说明理由.错解 不注意隐含条件的挖掘，思维混乱，；策略 注意隐含条件补集的意义探究集合之间的关系，思路流畅，CSB, , 或(舍去), ，即存在满足的, ；误区6 忽视等价转化，充要条件的判断不彻底和完备。例6 设命题：关于的不等式与的解集相同，命题：则是的 （ ） A 充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D非充分非必要条件错解 乱选B；策略 把握充要条件的定义，从条件到结论，再由结论进行逻辑推理 ，若不成立只需举反例即可。取M=N=，即两个一元二次不等式解集为空集与它们的系数比无任何关系，只要求判别式都小于0，即充分性不成立；取 ，则 ，即必要性不成立，选D；例7已知，又知非p是非q的必要而非充分条件，则m的取值范围为 .错解 解不等式出错或命题的否定与命题的逆否命题混淆致错；策略 化简有，则非p ，非q ，非p是非q的必要而非充分条件，则，解得，而当时，显然不可能相等，故非p成立不能推出非q,故为所求m的范围.误区7 忽视二次方程根的分布乱用判别式出错例8 已知命题p: 方程在上有解; 命题q: 只有一个实数x满足: . 若命题“p或q”为假命题, 求实数a的取值范围. ：若命题q为真, 则即有或; 错解 若命题p为真, 则.若命题“p且q”为真, 则, 即;故命题“p或q”为假，则有.策略 数形结合，用根的分布，避面分类 若命题p为真, 则. 又 即.若命题q为真, 则即有或;若命题“p且q”为真, 则, 即;故命题“p或q”为假，则有警示：二次问题，数形结合划归为二次方程根的分布，形助数布列不等式组解决可避免出错。误区8 不会利用四种命题的关系简化充要条件的判断例9命题甲：或；命题乙：，则（ ）A.甲是乙的充分非必要条件；B.甲是乙的必要非充分条件；C. 甲是乙的充要条件；D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件. 错解 芒目的无法判断选D；策略为了进行判断，首先需要构造两个命题：甲=乙；乙=甲. 但是，这两个命题都是否定性的命题，正面入手较为困难. 考虑到原命题与逆否命题的等价性，可以转化为判断其逆否命题是否正确. “甲=乙”，即“或” =“”，其逆否命题为：“” =“且”显然不正确. 同理，可判断命题“乙=甲”为真命题. 故选择B.警示本题虽然看上去是一个基本的不等量关系，但实质逻辑性很强，容易选错，解本题的关键：一是从反面入手，利用原命题与逆否命题的等价性，二是要对逻辑联结词“或”“且”深刻理解与领悟.，认识命题的四种形式及其相互关系；原命题与逆否命题同真假；逆命题与否命题同真假，利用这种关系可压缩思维长度，简化寻求解题的思路。学习数学，需要全面的理解概念，正确地进行表述、判断和推理，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用. 而集合作为近、现代数学的重要基础，集合语言、集合思想也已经渗透到数学的方方面面. 集合和简易逻辑，是学习、掌握和使用数学语言的基础. 本题以集合和逻辑为背景，主要考查对数学符号语言的阅读、理解以及迁移转化的能力. 第 4 页 共 4 页