信与系统教案(4)课件

信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-1页电子教案信号与系统教案(4)第四章第四章 连续系统的频域分析连续系统的频域分析4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱4.4 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质4.6 4.6 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析4.8 4.8 取样定理取样定理点击目录点击目录 ，进入相关章节，进入相关章节信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-2页电子教案信号与系统教案(4)第四章第四章 连续系统的频域分析连续系统的频域分析4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数一、矢量正交与正交分解一、矢量正交与正交分解 时域分析时域分析，以，以冲激函数冲激函数为基本信号，任意输入信号为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而可分解为一系列冲激函数；而yf(t) = h(t)*f(t)。 本章将以本章将以正弦信号正弦信号和和虚指数信号虚指数信号ejt为基本信号，任为基本信号，任意输入信号可分解为一系列意输入信号可分解为一系列不同频率不同频率的正弦信号或虚指的正弦信号或虚指数信号之和。数信号之和。 这里用于系统分析的独立变量是这里用于系统分析的独立变量是频率频率。故称为。故称为频域分析频域分析。 矢量矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与与Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定义：正交的定义：其内积为其内积为0。即。即031iyixiTyxvvVV信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-3页电子教案信号与系统教案(4)4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数由两两正交的矢量组成的矢量集合由两两正交的矢量组成的矢量集合-称为称为正交矢量集正交矢量集如三维空间中，以矢量如三维空间中，以矢量vx=（2，0，0）、）、vy=（0，2，0）、）、vz=（0，0，2)所组成的集合就是一个所组成的集合就是一个正交矢量集正交矢量集。 例如对于一个三维空间的矢量例如对于一个三维空间的矢量A =(2，5，8)，可以，可以用一个三维正交矢量集用一个三维正交矢量集 vx，vy，vz分量的线性组合分量的线性组合表示。即表示。即 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空间正交分解的概念可推广到矢量空间正交分解的概念可推广到信号信号空间，空间，在信号空间找到若干个在信号空间找到若干个相互正交的信号相互正交的信号作为基本信作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。性组合。 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-4页电子教案信号与系统教案(4)4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数二、信号正交与正交函数集二、信号正交与正交函数集1. 定义：定义： 定义在定义在(t1，t2)区间的两个函数区间的两个函数 1(t)和和 2(t),若满足若满足 210d)()(*21ttttt(两函数的内积为两函数的内积为0)则称则称 1(t)和和 2(t) 在区间在区间(t1，t2)内内正交正交。 2. 正交函数集：正交函数集： 若若n个函数个函数 1(t)， 2(t)， n(t)构成一个函数集，构成一个函数集，当这些函数在区间当这些函数在区间(t1，t2)内满足内满足 21, 0, 0d)()(*ttijijiKjittt则称此函数集为在区间则称此函数集为在区间(t1，t2)的的正交函数集正交函数集。 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-5页电子教案信号与系统教案(4)4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数3. 完备正交函数集：完备正交函数集： 如果在正交函数集如果在正交函数集 1(t)， 2(t)， n(t)之外，之外，不存在函数不存在函数(t)(0）满足）满足 则称此函数集为则称此函数集为完备正交函数集完备正交函数集。例如例如：三角函数集三角函数集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 和和虚指数函数集虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，是两组典型的是两组典型的在区间在区间(t0，t0+T)(T=2/)上的完备正交函数集。上的完备正交函数集。210d)()(ttittt( i =1，2，n)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-6页电子教案信号与系统教案(4)4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数三、信号的正交分解三、信号的正交分解设有设有n个函数个函数 1(t)， 2(t)， n(t)在区间在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这用这n个正交个正交函数的线性组合来近似，可表示为函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)C1 1+ C2 2+ Cn n 如何选择各系数如何选择各系数Cj使使f(t)与近似函数之间误差在与近似函数之间误差在区间区间(t1，t2)内为最小。内为最小。通常使误差的方均值通常使误差的方均值(称为称为均方误差均方误差)最小。均方误差为最小。均方误差为 ttCtfttttnjjjd )()(12121122信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-7页电子教案信号与系统教案(4)4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数为使上式最小为使上式最小0d)()(21122ttnjjjiittCtfCC展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为为0，写为，写为 210d)()()(222ttiiiiittCttfCC即即 21210d)(2d)()(22ttiittittCtttf所以系数所以系数212121d)()(1d)(d)()(2ttiittittiitttfKtttttfC信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-8页电子教案信号与系统教案(4)4.1 4.1 信号分解为正交函数信号分解为正交函数代入，得最小均方误差（推导过程见教材）代入，得最小均方误差（推导过程见教材）0d)(112212221njjjttKCttftt在用正交函数去近似在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即时，所取得项数越多，即n越越大，则均方误差越小。当大，则均方误差越小。当n时（为完备正交函数时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有集），均方误差为零。此时有 12221d)(jjjttKCttf上式称为上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式巴塞瓦尔公式，表明：在区间，表明：在区间(t1,t2) f(t)所含能量恒等于所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。正交分量能量的总和。 1)()(jjjtCtf函数函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和可分解为无穷多项正交函数之和信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-9页电子教案信号与系统教案(4)4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数一、傅里叶级数的三角形式一、傅里叶级数的三角形式设周期信号设周期信号f(t)，其周期为，其周期为T，角频率，角频率 =2 /T，当满足，当满足狄里赫利狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级条件时，它可分解为如下三角级数数 称为称为f(t)的的傅里叶级数傅里叶级数 110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatf系数系数an , bn称为称为傅里叶系数傅里叶系数 22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTb可见，可见， an 是是n的偶函数，的偶函数， bn是是n的奇函数。的奇函数。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-10页电子教案信号与系统教案(4)4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数10)cos(2)(nnntnAAtf式中，式中，A0 = a022nnnbaAnnnabarctan上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 其中，其中， A0/2为为直流分量直流分量； A1cos( t+ 1)称为称为基波或一次谐波基波或一次谐波，它的角频率与原周，它的角频率与原周期信号相同；期信号相同； A2cos(2 t+ 2)称为称为二次谐波二次谐波，它的频率是基波的，它的频率是基波的2倍；倍；一般而言，一般而言，Ancos(n t+ n)称为称为n次谐波次谐波。 可见可见An是是n的偶函数，的偶函数， n是是n的奇函数。的奇函数。an = Ancos n， bn = Ansin n，n=1,2,将上式同频率项合并，可写为将上式同频率项合并，可写为信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-11页电子教案信号与系统教案(4)4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数二、波形的对称性与谐波特性二、波形的对称性与谐波特性1 . .f(t)为偶函数为偶函数对称纵坐标对称纵坐标22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTbbn =0，展开为余弦级数。，展开为余弦级数。2 . .f(t)为奇函数为奇函数对称于原点对称于原点an =0，展开为正弦级数。，展开为正弦级数。实际上，任意函数实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部都可分解为奇函数和偶函数两部分，即分，即 f(t) = fod(t) + fev(t) 由于由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以所以 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-12页电子教案信号与系统教案(4)4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数2)()()(tftftfod2)()()(tftftfve3 . .f(t)为奇谐函数为奇谐函数f(t) = f(tT/2)f(t)t0TT/2此时此时 其傅里叶级数中只含奇次其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分谐波分量，而不含偶次谐波分量即量即 a0=a2=b2=b4=0 三、傅里叶级数的指数形式三、傅里叶级数的指数形式三角形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用不便，因而经常采用指数形式指数形式的傅里叶级数。可从三的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用角形式推出：利用 cosx=(ejx + ejx)/2 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-13页电子教案信号与系统教案(4)4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数1)()(0ee22ntnjtnjnnnAA110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAA10)cos(2)(nnntnAAtf上式中第三项的上式中第三项的n用用n代换，代换，A n=An， n= n，则上式写为则上式写为 110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAA令令A0=A0ej 0ej0 t ， 0=0 ntjnjnnAtfee21)(所以所以信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-14页电子教案信号与系统教案(4)4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数令复数令复数nnjnFFAnnee21称其为称其为复傅里叶系数复傅里叶系数，简称傅里叶系数。，简称傅里叶系数。 )(21)sincos(2121nnnnnnjnnjbajAAeAFn222222de)(1d)sin()(1d)cos()(1TTtjnTTTTttfTttntfTjttntfTntjnnFtfe)( n = 0, 1, 2， 22de)(1TTtjnnttfTF表明：任意周期信号表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。数信号之和。 F0 = A0/2为直流分量。为直流分量。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-15页电子教案信号与系统教案(4)4.2 4.2 傅里叶级数傅里叶级数四、周期信号的功率四、周期信号的功率Parseval等式等式nnnnTFAAdttfT2122002|21)2()(1直流和直流和n次谐波分量在次谐波分量在1 电阻上消耗的平均功率之和。电阻上消耗的平均功率之和。 n0时，时， |Fn| = An/2。周期信号一般是功率信号，其平均功率为周期信号一般是功率信号，其平均功率为信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-16页电子教案信号与系统教案(4)4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱4.3 4.3 周期信号的频谱及特点周期信号的频谱及特点一、信号频谱的概念一、信号频谱的概念 从广义上说，信号的某种从广义上说，信号的某种特征量特征量随信号频率变随信号频率变化的关系，称为化的关系，称为信号的频谱信号的频谱，所画出的图形称为信，所画出的图形称为信号的号的频谱图频谱图。 周期信号的频谱周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即相位随频率的变化关系，即 将将An和和 n的关系分别画在以的关系分别画在以为横轴的平为横轴的平面上得到的两个图，分别称为面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图振幅频谱图和和相位频相位频谱图谱图。因为。因为n0，所以称这种频谱为，所以称这种频谱为单边谱单边谱。 也可画也可画|Fn|和和 n的关系，称为的关系，称为双边谱双边谱。若。若Fn为实数，也可直接画为实数，也可直接画Fn 。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-17页电子教案信号与系统教案(4)4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱例：例：周期信号周期信号 f(t) =试求该周期信号的基波周期试求该周期信号的基波周期T，基波角频率，基波角频率，画，画出它的单边频谱图，并求出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率。的平均功率。63sin41324cos211tt解解 首先应用三角公式改写首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即的表达式，即263cos41324cos211)(tttf显然显然1是该信号的直流分量。是该信号的直流分量。34cos21t的周期的周期T1 = 8323cos41的周期的周期T2 = 6所以所以f(t)的周期的周期T = 24，基波角频率，基波角频率=2/T = /12根据帕斯瓦尔等式，其功率为根据帕斯瓦尔等式，其功率为 P= 323741212121122信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-18页电子教案信号与系统教案(4)4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱34cos21t是是f(t)的的/4/12 =3次谐波分量；次谐波分量； 323cos41是是f(t)的的/3/12 =4次谐波分量；次谐波分量；画出画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图的单边振幅频谱图、相位频谱图如图(a)(b)oAn1264320A2141o33461232n1信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-19页电子教案信号与系统教案(4)4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱二、周期信号频谱的特点二、周期信号频谱的特点举例：有一幅度为举例：有一幅度为1，脉冲宽，脉冲宽度为度为 的周期矩形脉冲，其周的周期矩形脉冲，其周期为期为T，如图所示。求频谱。，如图所示。求频谱。 f(t)t0T-T122tTttfTFtjnTTtjnnde1de)(1222222sinnnT令令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）取样函数） nnTjnTtjn)2sin(2e122信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-20页电子教案信号与系统教案(4)4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱)()2(TnSaTnSaTFn, n = 0 ,1，2， Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设为实数，可直接画成一个频谱图。设T = 4画图。画图。零点为零点为mn2所以所以mn2，m为整数。为整数。Fn022441特点特点： (1)周期信号的频谱具有谐波周期信号的频谱具有谐波(离散离散)性。谱线位置性。谱线位置是基频是基频的整数倍；的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。一般具有收敛性。总趋势减小。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-21页电子教案信号与系统教案(4)4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱谱线的结构与波形参数的关系：谱线的结构与波形参数的关系：(a) T一定，一定， 变小，此时变小，此时 （谱线间隔）不变。两零点（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目：之间的谱线数目： 1/ =（2 / ）/(2 /T)=T/ 增多。增多。(b) 一定，一定，T增大，间隔增大，间隔 减小，频谱变密。幅度减小。减小，频谱变密。幅度减小。 如果周期如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱离散频谱就过就过渡到非周期信号的渡到非周期信号的连续频谱连续频谱。各频率分量的幅度也趋近。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。于无穷小。 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-22页电子教案信号与系统教案(4)4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换4.4 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换一、傅里叶变换一、傅里叶变换 非周期信号非周期信号f(t)可看成是周期可看成是周期T时的周期信号。时的周期信号。 前已指出当周期前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔趋近于无穷大时，谱线间隔 趋趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。间仍有差别。 为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令概念。令 TFTFjFnTnTlim/1lim)(单位频率上的频谱）单位频率上的频谱） 称称F(j)为频谱密度函数。为频谱密度函数。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-23页电子教案信号与系统教案(4)4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换22de)(TTtjnnttfTFntjnnTTFtf1e)(考虑到：考虑到：T，无穷小，记为无穷小，记为d； n （由离散量变为连续量），而（由离散量变为连续量），而2d21T同时，同时， 于是，于是，ttfTFjFtjnTde)(lim)(de)(21)(tjjFtf傅里叶变换式傅里叶变换式“- -”傅里叶反变换式傅里叶反变换式F(j)称为称为f(t)的的傅里叶变换傅里叶变换或或频谱密度函数频谱密度函数，简称，简称频谱频谱。f(t)称为称为F(j)的的傅里叶反变换傅里叶反变换或或原函数原函数。根据傅里叶级数根据傅里叶级数信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-24页电子教案信号与系统教案(4)4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换也可简记为也可简记为 F(j) = F f(t) f(t) = F 1F(j)或或 f(t) F(j)F(j)一般是复函数，写为一般是复函数，写为 F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX() 说明说明 (1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数函数f(t)的傅里叶变换存在的的傅里叶变换存在的充分条件充分条件:ttfd)(2)用下列关系还可方便计算一些积分用下列关系还可方便计算一些积分dttfF)()0(d)(21)0(jFf信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-25页电子教案信号与系统教案(4)4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换单边指数函数单边指数函数f(t) = e t(t)， 0实数实数10tf(t)jjtjFtjtjt1e1dee)(0)(02. 双边指数函数双边指数函数f(t) = et , 0 10tf(t)2200211deedee)(jjttjFtjttjt信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-26页电子教案信号与系统教案(4)4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换3. 门函数门函数(矩形脉冲矩形脉冲)2, 02, 1)(tttg10tg(t)22jtjFjjtj222/2/eede)()2Sa()2sin(24. 冲激函数冲激函数 (t)、 (t)1de)()(ttttjjttttttjtj0eddde)( )( 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-27页电子教案信号与系统教案(4)4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换5. 常数常数1有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1， (t) 等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。 可构造一函数序列可构造一函数序列fn(t)逼近逼近f (t) ，即，即而而fn(t)满足绝对可积条件，并且满足绝对可积条件，并且fn(t)的傅里叶变换所的傅里叶变换所形成的序列形成的序列Fn(j )是极限收敛的。则可定义是极限收敛的。则可定义f(t)的傅的傅里叶变换里叶变换F (j )为为)(lim)(tftfnn)(lim)(jFjFnn这样定义的傅里叶变换也称为这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换广义傅里叶变换。 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-28页电子教案信号与系统教案(4)4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换构造构造 f (t)=e- -t ， 0 222)(jF)(lim1)(0tftf所以所以0,0, 02lim)(lim)(2200jFjF又又2arctan2lim12lim2lim020220dd因此，因此， 1212( ( ) ) 另一种求法另一种求法： (t)1(t)1代入反变换定义式，有代入反变换定义式，有)(de21ttj将将 tt，tt- - )(de21ttj再根据傅里叶变换定义式，得再根据傅里叶变换定义式，得)(2)(2de1ttj信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-29页电子教案信号与系统教案(4)6. 符号函数符号函数4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换0, 10, 1)sgn(ttt10tsgn(t)-100,e0,e)(tttftt)(lim)sgn(0tft22211)()(jjjjFtfjjjFt22lim)(lim)sgn(22007. 阶跃函数阶跃函数 (t)jtt1)()sgn(2121)(10t(t)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-30页电子教案信号与系统教案(4)4.4 4.4 傅里叶变换傅里叶变换归纳记忆：1. F 变换对变换对2. 常用函数常用函数 F 变换对：变换对：t域域域域tetfjFtjd)()(tejFtftjd)(21)(t)(t) j1)(e - - t (t) j1g(t) 2Sasgn (t) j2e |t|222 1 12()信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-31页电子教案信号与系统教案(4)4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质一、线性一、线性(Linear Property)If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)thenProof: F a f1(t) + b f2(t)ttbftaftjde)()(21ttfttftjtjde)(bde)(a11= a F1(j) + b F2(j) a f1(t) + b f2(t) a F1(j) + b F2(j) 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-32页电子教案信号与系统教案(4)4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example F(j) = ?0f ( t )t1-11Ans: f (t) = f1(t) g2(t)f1(t) = 1 2()g2(t) 2Sa() F(j) = 2() - - 2Sa()0f 1( t )t10g2 ( t )t1-11- -信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-33页电子教案信号与系统教案(4)4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质二、时移性质二、时移性质(Timeshifting Property)If f (t) F(j) thenwhere “t0” is real constant.)(e)(00jFttftjProof: F f (t t0 ) tttftjde)(000ede)(tjjttf)(e0jFtj信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-34页电子教案信号与系统教案(4)4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example F(j) = ?Ans: f1(t) = g6(t - 5) , f2(t) = g2(t - 5) g6(t - 5) g2(t - 5) F(j) =5e)3Sa(6j5e)Sa(2j5e)Sa(2)3Sa(6j0f ( t )t2-1214680f1 ( t )t221468+0f2 ( t )t221468信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-35页电子教案信号与系统教案(4)4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质三、对称性质三、对称性质(Symmetrical Property)If f (t) F(j) thenProof:de)(21)(tjjFtf（1）in (1) t ，t thentjtFftjde)(21)( （2）in (2) - - thentjtFftjde)(21)( F(j t) 2f () endF( jt ) 2f ()信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-36页电子教案信号与系统教案(4)4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example F(j) = ?211)(ttfAns:22| |2etif =1,2| |12et|2e212 t|2e11t* if2232)(22tttttfF(j) = ?信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-37页电子教案信号与系统教案(4)4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质四、频移性质四、频移性质(Frequency Shifting Property)If f (t) F(j) thenProof:where “0” is real constant.F e j0t f(t)ttftjtjde)(e0ttftjde)()(0= F j(- -0) end)(e)(00tfjFtjFor example 1f(t) = ej3t F(j) = ?Ans: 1 2() ej3t 1 2(- -3)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-38页电子教案信号与系统教案(4)4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 2f(t) = cos0t F(j) = ?Ans:tjtjtf00e21e21)(F(j) = (+0)+ (- -0)For example 3Given that f(t) F(j) The modulated signal f(t) cos0t ? 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-39页电子教案信号与系统教案(4)4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质五、尺度变换性质五、尺度变换性质(Scaling Transform Property)If f (t) F(j) then where “a” is a nonzero real constant.Proof: F f (a t ) =teatftjd)(For a 0 ,F f (a t ) d1e)(afajatajFa1for a 0 ,F f (a t ) de)(1d1e)(ajajatfaafajFa1That is ,f (a t ) ajFa|1Also,letting a = - -1,f (- t ) F( - -j) ajFaatf|1)(演示信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-40页电子教案信号与系统教案(4)4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 1Given that f (t)F( j), find f (at b) ?Ans: f (t b) e - -jb F( j)f (at b) ajFabaje|1orf (at) ajFa|1f (at b) =)(abtafajFeabaj|1信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-41页电子教案信号与系统教案(4)4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 2f(t) = F(j) = ?11jtAns:11)(ejtt)(e211jt)(e211 jtUsing symmetry,using scaling property with a = - -1,so that,信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-42页电子教案信号与系统教案(4)4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质六、卷积性质六、卷积性质(Convolution Property)Convolution in time domain：If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)Then f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j)Convolution in frequency domain：If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)Then f1(t) f2(t) F1(j)*F2(j)21信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-43页电子教案信号与系统教案(4)4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质Proof:d)()()(*)(2121tfftftf F f1(t)*f2(t) =dde)()(ded)()(2121ttffttfftjtjUsing timeshiftingjtjjFttfe)(de)(22So that, F f1(t)*f2(t) =de)()(de)()(1221jjfjFjFf= F1(j)F2(j)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-44页电子教案信号与系统教案(4)4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example?)(sin2jFttAns:)Sa(2)(2tgUsing symmetry,)(2)Sa(22gt)()Sa(2gt )(*)(2)(*)(21sin22222ggggttg2()*g2()22- -20F(j)2- -20信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-45页电子教案信号与系统教案(4)4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质七、时域的微分和积分七、时域的微分和积分(Differentiation and Integration in time domain)If f (t) F(j) then )()()()(jFjtfnnjjFFxxft)()()0(d)(ttfjFFd)()()0(0Proof:f(n)(t) = (n)(t)*f(t) (j )n F(j) f(- -1)(t)= (t)*f(t) jjFFjFj)()()0()(1)(信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-46页电子教案信号与系统教案(4)4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质f(t)= 1/t2 ?For example 1Ans:jt2)sgn()sgn(22jt)sgn(1jt)sgn()sgn()(1ddjjtt|)sgn(12t信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-47页电子教案信号与系统教案(4)4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 2Given that f (t) F1(j)Prooff (t) F1(j) + f(-)+ f() ( )j1)()()()(1)(dd)(d)(1dd)(d)()(11ffjFjtttfjFjtttfftftProof)()()()(1)()(2)(1ffjFjfjFSo)()()()(1)(1ffjFjjFSummary: if f (n)(t) Fn(j)，and f(-)+ f() = 0 Then f (t) F (j) = Fn(j)/ (j)n信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-48页电子教案信号与系统教案(4)4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质For example 3f(t)2- -20t t2Determine f (t) F (j)f (t)t t2- -20- -11t t2- -2(1)(1)(-2)f (t)Ans:f ”(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2)F2(j)= F f ”(t) = e j2 2 + e j2= 2cos(2) 2 F (j) =222)2cos(22)()(jjFNotice:d(t)/dt = (t) 1(t) 1/(j)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-49页电子教案信号与系统教案(4)4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质八、频域的微分和积分八、频域的微分和积分(Differentiation and Integration in frequency domain)If f (t) F(j) then (jt)n f (t) F(n)(j) xjxFtfjttfd)()(1)()0(whered)(21)0(jFfFor example 1Determine f (t) = t(t) F (j)=?jt1)()(Ans:jtjt1)(dd)(21)( )( jtt信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-50页电子教案信号与系统教案(4)4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质Notice: t(t) =(t) * (t) jj1)(1)(Its wrong. Because ( ) ( ) and (1/j ) ( ) is not defined.For example 2Determined)sin(aAns:)sin(2)(2atgade)sin(1de)sin(221)(2tjtjaaatgd)sin(1)0(2aga2d)sin(0a信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-51页电子教案信号与系统教案(4)九、帕斯瓦尔关系九、帕斯瓦尔关系(Parsevals Relation for Aperiodic Signals)d)(21d)(22jFttfEProofttftfttfEd)()(d)(*2tjFtftjdde)(21)(*dde)()(21*ttfjFtjd| )(|21d)()(212*jFjFjF|F(j)|2 is referred to as the energy-density spectrum of f(t). 单位频率上的频谱单位频率上的频谱 (能量密度谱能量密度谱）Js4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-52页电子教案信号与系统教案(4)For exampleDetermine the energy of ttt5sin)997cos(2Ans:)(5sin10gtt)997()997(5sin)997cos(21010ggttt10)1010(21d)(2ttfE4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-53页电子教案信号与系统教案(4)4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质十、奇偶性十、奇偶性(Parity)If f(t) is real, thentttfjtttfttfjFtjd)sin()(d)cos()(de)()(= R() + jX()()(| )(|22XRjF)()(arctan)(RXSo thatR()= R() , X() = X () |F(j)| = |F( j)| , () = ()(2) If f(t) = f(-t) ,then X() = 0, F(j) = R() If f(t) = -f(-t) ,then R() = 0, F(j) = jX()信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-54页电子教案信号与系统教案(4)4.6 4.6 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换4.6 4.6 周期信号傅里叶变换周期信号傅里叶变换一、正、余弦的傅里叶变换一、正、余弦的傅里叶变换 12()由频移特性得由频移特性得 e j 0 t 2(0 ) e j 0 t 2(+0 ) cos(0t)=(e j 0 t + e j 0 t) (0 ) +(+0 )sin(0t)= (e j 0 t - e j 0 t)/(2j) j(+0 ) ( 0 )信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-55页电子教案信号与系统教案(4)4.6 4.6 周期信号傅里叶变换周期信号傅里叶变换二、一般周期信号的傅里叶变换二、一般周期信号的傅里叶变换ntjnnTFtfe)(22de)(1TTtjnTnttfTFnnTntjnnTnFjFFtf)(2)(e)(例例1：周期为：周期为T的单位冲激周期函数的单位冲激周期函数 T(t)= mmTt)(TdtetfTFTTtjnn1)(122解解：)()()(2)(tnnTtnnT(1)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-56页电子教案信号与系统教案(4)4.6 4.6 周期信号傅里叶变换周期信号傅里叶变换例例2：周期信号如图，求其傅里叶变换。：周期信号如图，求其傅里叶变换。0- -11f(t)t t14- -4解解：周期信号：周期信号f(t)也可看作也可看作一时限非周期信号一时限非周期信号f0(t)的周的周期拓展。即期拓展。即f(t) = T(t)* f0(t) F(j) = () F0(j) nnjnF)()(0F(j) =nnnnnn)2()2Sa()()Sa(2本题本题 f0(t) = g2(t)Sa(222T(2)(2)式与上页式与上页(1)式比较，得式比较，得)2(1)(200TnjFTjnFFn这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种方法。这也给出求周期信号傅里叶级数的另一种方法。信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-57页电子教案信号与系统教案(4)4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析 傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。率的虚指数函数之和。ntjnnFtfe)(对周期信号：对周期信号：对非周期信号：对非周期信号：de)(21)(tjjFtf其其基本信号基本信号为为 ej t一、基本信号一、基本信号ej t作用于作用于LTI系统的响应系统的响应说明：频域分析中，信号的定义域为说明：频域分析中，信号的定义域为(，)，而，而t= 总可认为系统的状态为总可认为系统的状态为0，因此本章的响应指零状态，因此本章的响应指零状态响应，常写为响应，常写为y(t)。 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-58页电子教案信号与系统教案(4)4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析设设LTI系统的冲激响应为系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率，当激励是角频率的基的基本信号本信号ej t时，其响应时，其响应 tjjtjhhtyede)(de)()()(而上式积分而上式积分 正好是正好是h(t)的傅里叶变换，的傅里叶变换，记为记为H(j )，常称为系统的频率响应函数。，常称为系统的频率响应函数。de)(jhy(t) = H(j ) ej tH(j )反映了响应反映了响应y(t)的幅度和相位。的幅度和相位。y(t) = h(t)* ej t信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-59页电子教案信号与系统教案(4)4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析二、一般信号二、一般信号f(t)作用于作用于LTI系统的响应系统的响应ej tH(j ) ej t21F(j ) ej t d 21F(j )H(j ) ej t d 齐次齐次性性de)(21tjjFde)()(21tjjFjH可加可加性性f(t)y(t) =F 1F(j )H(j ) Y(j ) = F(j )H(j )信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-60页电子教案信号与系统教案(4)4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析LTI* h(t) =傅傅氏氏 变变换换傅傅氏氏 反反变变换换f (t)傅傅氏氏 变变换换y(t)F(j)H(j)Y(j)频率响应频率响应H(j )可定义为系统零状态响应的傅里叶变可定义为系统零状态响应的傅里叶变换换Y(j )与激励与激励f(t)的傅里叶变换的傅里叶变换F(j )之比，即之比，即 )()()(jFjYjH)()()()()()()(fyjjejFjYejHjH H(j ) 称为称为幅频特性幅频特性（或（或幅频响应幅频响应）；）；( ) )称为称为相相频特性频特性（或（或相频响应相频响应）。）。 H(j ) 是是 的偶函数，的偶函数，( )是是 的奇函数。的奇函数。 频域分析法步骤：频域分析法步骤：傅里叶变换法傅里叶变换法信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-61页电子教案信号与系统教案(4)4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析对周期信号还可用傅里叶级数法。对周期信号还可用傅里叶级数法。周期信号周期信号ntjnnTFtfe)(ntjnnntjnnTjnHFthFtfthtye)(e*)()(*)()(若若10)cos(2)(nnnTtnAAtf)()()(jejHjH则可推导出则可推导出10)(cos| )(|)0(2)(nnnntnjnHAHAty信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-62页电子教案信号与系统教案(4)4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析例例：某：某LTI系统的系统的 H(j ) 和和( ) )如图，如图，若若f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t)，求系统的响应。，求系统的响应。|H(j)|()10- -1001- -解法一解法一：用傅里叶变换：用傅里叶变换F(j ) = 4() + 4(5) + (+5)+ 4(10) + (+10)Y(j ) = F(j )H(j ) = 4() H(0) + 4(5) H(j5 5) + (+5) H(-j5 5)+ 4(10) H(j1010) + (+10) H(-j1010) H(j )= = H(j ) ej(ej( ) )= 4() + 4-j0.5(5) + j0.5(+ 5) y(t) = F-1Y(j ) = 2 + 2sin(5t)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-63页电子教案信号与系统教案(4)4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析解法二解法二：用三角傅里叶级数：用三角傅里叶级数f(t)的基波角频率的基波角频率=5rad/sf(t)= 2 + 4cos(t) + 4cos(2t)H(0) =1， H(j) = 0.5e-j0.5， H(j2) = 0y(t) = 2 + 40.5cos(t 0.5) = 2 + 2sin(5t)信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-64页电子教案信号与系统教案(4)4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析三、频率响应三、频率响应H(jH(j ) )的求法的求法1. H(j ) = F h(t) 2. H(j ) = Y(j )/F(j )由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。(1)由电路直接求出。由电路直接求出。 例例1：某系统的微分方程为：某系统的微分方程为 y (t) + 2y(t) = f(t)求求f(t) = e-t(t)时的响应时的响应y(t)。解解：微分方程两边取傅里叶变换：微分方程两边取傅里叶变换j Y(j ) + 2Y(j ) = F(j ) 21)()()(jjFjYjH信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-65页电子教案信号与系统教案(4)4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析f(t) = e-t(t)11)(jjFY(j ) = H(j )F(j )2111)2)(1(1jjjjy(t) = (e- -t e- -2t )(t) 例例2：如图电路，：如图电路，R=1，C=1F，以，以uC(t)为输出，求其为输出，求其h(t)。uC(t)uS(t)CR解解：画电路频域模型：画电路频域模型US(j)RUC(j)Cj11111)()()(jCjRCjjUjUjHSCh(t)= e- -t (t) 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-66页电子教案信号与系统教案(4)4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析四、无失真传输与滤波四、无失真传输与滤波系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是信号的信号的传输传输，一类是，一类是滤波滤波。传输要求信号尽量不失真，而滤。传输要求信号尽量不失真，而滤波则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着失真。波则滤去或削弱不需要有的成分，必然伴随着失真。 1、无失真传输、无失真传输 （1）定义定义：信号：信号无失真传输无失真传输是指系统的输出信号与是指系统的输出信号与输入信号相比，只有输入信号相比，只有幅度的大小幅度的大小和和出现时间的先后不出现时间的先后不同同，而没有波形上的变化。即，而没有波形上的变化。即 输入信号为输入信号为f(t)，经过无失真传输后，输出信号应为，经过无失真传输后，输出信号应为 y(t) = K f(ttd) 其频谱关系为其频谱关系为 Y(j )=Ke j tdF(j ) 信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第4-67页电子教案信号与系统教案(4)4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析系统要实现无失真传输，对系统系统要实现无失真传输，对系统h(t)，H(j )的要求是：的要求是： (a)对对h(t)的要求的要求： h(t)=K (t td) (b)对对H(j )的要求的要求： H(j )=Y(j )/F(j )=Ke- -j td即即 H(j ) =K ,( )= td K|H(j)| ()0 0 上述是