专题7.24：直线与圆的相关问题的研究与拓展

专题7.24：直线与圆的相关问题的研究与拓展【探究拓展】在平面直角坐标系中，圆的半径为1，圆心在直线上.问题1：若圆心也在直线上，求圆的方程.【答案】由得 圆的方程为.问题2：对问题1中的圆，若过点作圆的切线，求切线方程.【答案】或问题3：对问题1中的圆，若过点作圆的切线，切点为，求的长. 【答案】 思路：问题4：对问题1中的圆，若过点作互相垂直的两条直线分别交圆于和两点，求四边形面积的最大值.【答案】设到、的距离分别为、，则 ，即，,当且仅当时取“=”.的最大值为.问题5：对问题1中的圆和圆，若另一动圆同时平分圆、圆的周长，证明：圆心在一条定直线上运动.【答案】设圆心，由题意，得，即，即，化简得，即动圆圆心在定直线上运动.问题6：证明问题5中的圆过定点. 【答案】圆过定点.设圆心，则动圆的半径为， 动圆的方程.整理，得.由得或所以定点的坐标为，.问题7：若过点作圆的切线，切点为，则的外接圆是否过定点？如有求出定点坐标. 【答案】的外接圆不过定点.设圆心，为的外接圆上的任意一点，则，即，整理，得，若的外接圆过定点，则 消去，得，即， 此方程组无解，即的外接圆不过定点.问题8：若过点作圆的切线，切点为，若，求圆的方程.【答案】设，则，即，即（或者先求出，得），即，解之得或(舍). 由得， .设，则，即， 或2，圆心的坐标为或.所求圆的方程为或.问题9：若过点作圆的切线，切点为，求四边形面积的最小值.【思路】，又，要求四边形面积的最小，即求最小， 的最小值为.问题10：是否存在直线，使其交圆的弦长总为，如有，求出直线方程，没有，说明理由.【答案】设直线的方程为，圆心，因为弦长总为，所以圆心到直线的距离总为，则对任意的恒成立，即对任意的恒成立， 所求直线的方程为或.(也可从几何的角度考虑，所求直线应该与圆心所在的直线平行，且平行线间的距离为)问题11：对于，若圆上存在点，使，求点横坐标的取值范围.【答案】要使得，在的中垂线上，设圆心，则圆的方程为，依题意，点既要在上，又要在圆上，则，解之得. 点横坐标的取值范围为.问题12：对于，若圆上存在点，使，求点横坐标的取值范围.【答案】圆的圆心在在直线上，所以，设圆心则圆的方程为：又，设，则整理得：，设为圆D，点M应该既在圆C上又在圆D上，即：圆C和圆D有交点.,由得；由得. 综上所述，点横坐标的取值范围为：问题13：若圆被轴划得的弧长比为，求圆的方程.【答案】设圆心，圆与轴交于两点，则， ，或， 圆的方程为或.问题14：若圆和轴交点的横坐标为，求的最值.【答案】设圆心，则圆的方程为，令，则是方程的两个不等的实根，由得，令，容易求得，.拓展1: 在平面直角坐标系中，已知圆:，直线. 若动圆总在直线的下方且它们至多有1个交点，则实数的最小值是 . 【答案】6拓展2：在平面直角坐标系中，圆C的方程为若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是 拓展3：已知直线，若对任意，直线与一定圆相切，则该定圆方程为 【答案】设定圆对任意的恒成立.【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？