高考数学课件 函数与导数汇编

2010年高考数学试题年高考数学试题 函数与导数函数与导数|0 x x|1x x |10 x x|01xx (1)yx xx选择题：1.（全国一1）函数的 定义域为（ ）AB.CDCstOAstOstOstOBCD2.（全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程S看作时间t的函数，其图像可能是（ ）A21xe2xe21xe22xe(1)yf xln1yxyx( )f x 3.（全国一6）若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则 ABCDB11xyx(3 2)，10axy a121224.（全国一7）设曲线在点处的切线与直线垂直，则A 2CDBDBC( )f x(0)，(1)0f( )()0f xfxx( 10)(1)，(1)(01) ，(1)(1) ，( 10)(01)，5.（全国一9）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）DA.D1( )f xxxyxyxy 6.（全国二3）函数的图像关于（ ）B 直线D 直线对称A轴对称 对称C 坐标原点对称 C13(1)ln2lnlnxeaxbxcx，8.（全国二4）若，则（ ） B BcabcabC C bacbacD Dbcabca A. ab0时是单调函数，则满足的所有x之和为（ ）BCDA. C 1.（上海卷4）若函数f(x)的反函数为f 1(x)x2（x0）， 则f(4)填空题填空题：22.（上海卷8）设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x(0,+)时，f(x)lg x，则满足f(x)0的x的取值范围是(1,0)(1,+)3.（上海卷11）方程x2+x10的解可视为函数yx2+x的图像与函数y-1的图像交点的横坐标，若x4+ax40的各个实根x1，x2，xk (k4)所对应的点(xi ,0)（i1,2,k）均在直线yx的同侧，则实数a的取值范围是(, 6)(6,+);axye(01)，210 xy a 4.（全国二14）设曲线在点处的切线与直线垂直，则 20(1)(1)limxfxfx 2BCAyx1O34561234( )f xABCABC， ，(0 4) (2 0) (6 4)， ， ， ， ，( (0)f f5.（北京卷12）如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则 2 2；（用数字作答） 2 12xx2( )cosf xxx 2 2，12xx，12xx2212xx12()()f xf x6.（北京卷13）已知函数，对于上的任意，有如下条件：其中能使恒成立的条件序号是(12)，(3402)，11x 11y 2k11121 5551255kkkkkkxxTTkkyyTT ，( )T a(2.6)2T(0.2)0T()kkkP xy，7.（北京卷14）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点处，其中，当时，表示非负实数a的整数部分，例如按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 3,)221( )log (1)xf xx8.（安徽卷1313）函数的定义域为 12yxbln0yx x9.（江苏卷8）直线是曲线的一条切线，则实数b ln21 331fxaxx1,1x f x10.（江苏卷14）对于总有0 成立，则a=_4( )yf x1( )yfx( )yxf x1( )yfxx11.（湖南卷13）设函数存在反函数且函数的图象过点(1,2),则函数的图象一定过点 _. (-1,2) 3, a,01,33( )(1).1axf xaa( )f x12.（湖南卷14）已知函数（1）若a0,则的定义域是 ; ( )f x0,1(2) 若在区间上是减函数，则实数a的取值范围是 . 1249a 23log a 13.（重庆卷13)已知(a0) ，则4 414.（浙江卷15）已知t为常数，函数txxy22在区间0，3上的最大值为2，则t=_。1 11ln1.xxyxx， 100 xxxyex，15.（辽宁卷13）函数的反函数是_32( )1f xxaxxaR( )f x( )f x2133，1.（全国一19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效（注意：在试题卷上作答无效）（）讨论函数的单调区间；在区间内是减函数，求a的取值范围已知函数（）设函数，32( )1f xxaxx2( )321fxxax23a( )0fx( )f xR解：（1）求导：当时，在上递增( )f x233aa ，223333aaaa ，233aa ，即在递增，递减，递增23a( )0fx233aax 求得两根为当时，2232333133aaaa23a74a（2），且解得：sin( )2cosxf xx( )f x0 x( )f xax2.（全国二22）（本小题满分12分）（）求的单调区间；，都有，求a的取值范围 设函数（）如果对任何22(2cos )cossin ( sin )2cos1( )(2cos )(2cos )xxxxxfxxx222 2 33kxkk Z1cos2x ( )0fx解:（）当时，即242 2 33kxkk Z1cos2x ( )0fx当时，即( )f x222 2 33kk，k Z( )f x242 2 33kk，k Z因此在每一个区间是增函数，在每一个区间是减函数 ( )( )g xaxf x22cos1( )(2cos )xg xax2232cos(2cos )axx211132cos33ax（）令，则13a( )0g x故当时，(0)0g0 x( )(0)0g xg( )f xax又，所以当时，即( )cos3h xxa0 arccos3xa，( )0h x( )h x0 arccos3a，103a( )sin3h xxax当时，令，则故当时，因此在上单调增加故当(0 arccos3 )xa，时，( )(0)0h xh于是，当(0 arccos3 )xa，时，sinsin( )2cos3xxf xaxx当0a时，有10222fa因此，a的取值范围是13，即sin3xax22( )(1)xbf xx( )fx( )f x3.（北京卷18）（本小题共13分），求导函数并确定的单调区间已知函数242(1)(2) 2(1)( )(1)xxbxfxx3222(1)xbx32(1)(1)xbx 解：x(1)，(11)b，1b(1)b，( )fx(1)b，1b(11)b ，(1)，( )fxx( )0fx1xb11b 2b( )fx令，得当即时，的变化情况如下表：011b 2b ( )fx当，即时，的变化情况如下表：02b (1)b，(11)b ，(1)，2b ( )f x(1)，所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减当时，函数在( )f x(11)b，(1)b，11b 2b 2( )1f xx 上单调递减，在上单调递增，在上单调递减当，即时，( )f x(1)，(1)， 所以函数在上单调递减，上单调递减在4.（四川卷22）（本小题满分14分） 2101afxxx 36 1004af16a 【解】：（）因为所以因此 f xyb yf x（）求函数（）若直线与函数的图象有3个交点，求b3x 2ln 110f xaxxx是函数的一个极值点。已知（）求a的单调区间；的取值范围。 f x 216ln 110 ,1,f xxxx x 22431xxfxx（）由（）知， 1,3 1,13,x 0fx 1,3x 0fx f x 1,1 , 3,当时，当时，所以的单调增区间是的单调减区间是 f x1,11,33,1x 3x 0fx （）由（）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时， f x 116ln29f 332ln221f 2161610 1616ln291ff 213211213f ef 所以的极大值为极小值为因此 f x 1,1 , 1,3 , 3,yb yfx 31fbf32ln221,16ln29所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点，因此，b的取值范围为当且仅当432( )2f xxaxxbxRRba,103a ( )f x( )f x0 x 2,2a 1fx 1,15.（天津卷21）（本小题满分14分），其中（）当时，讨论函数（）若函数仅在处有极值，（）若对于任意的，不等式在上恒成立，求 b 的取值范围已知函数的单调性；求a 的取值范围；103a 2( )(4104)2 (21)(2)f xx xxx xx( )0fx10 x 212x 32x （）解： 当时，令，解得( )fx( )f x当x变化时，的变化情况如下表：02000极小值极大值极小值x(,0)1(0, )2121( ,2)2(2,)( )fx( )f x，( )f x1(0,)2(2,)(,0)1(,2)2所以在内是增函数，内是减函数在29640a 3838a(0)fb成立，即有解些不等式，得这时，是唯一极值因此满足条件的a的取值范围是2( )(434)fxxxax0 x 24340 xax( )f x0 x 24403xax（）解：显然不是方程为使仅在处有极值，必须的根8 8, 3 3 0 x 2,2a 29640a 24340 xax( )0fx（）解：由条件，可知，从而恒成立当时，0 x ( )0fx( )f x 1,1(1)f( 1)f 当在上的最大值是与两者中的较大者因此函数时， 2,2a ( )1f x 1,1111)1(ff22baba 2,2a 4b (, 4 不等式在上恒成立，当且仅当，即在所以，因此满足条件的b的取值范围是上恒成立为使任意的1( )(01)lnf xxxxx且( )f x12axx(0,1)x6.（安徽卷20）（本小题满分（本小题满分12分）分）（）求函数（）已知对任意成立，求实数a的取值范围。设函数的单调区间； 22ln1( ),lnxfxxx ( )0,fx 1xe解解 : (1) 若 则 x1(0, )e1e1( ,1)e(1,)( )fx( )f x极大值+0-单调增单调减单调减 列表如下(0,1)x12axx1ln2lnaxx01,x1ln2lnaxx (2) 在 两边取对数, 得 由于所以1( )( )f xfee (0,1)xln2ae ln2ae 时, 成立,当且仅当,即(1)的结果可知,当为使(1)式对所有7.（山东卷21）（本小题满分12分）其中nN*,a为常数.（）当n=2时，求函数f(x)的极值；（）当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x2时，有f(x)x-1.已知函数1( )ln(1),(1)nf xaxx当a0时，f(x)无极值.21( )ln(1),(1)f xaxx232(1)( ).(1)axf xx 所以 （）解：由已知得函数f(x)的定义域为x|x1， 当n=2时，1，121xa 221xa 123()()(1)a xxxxx（1）当a0时，由f(x)=0得1，此时 f（x）=22(1)(1ln).2afaa极小值为21xa .当x（1，x1）时，f（x）0,f(x)单调递减；当x（x1+）时，f（x）0, f(x)单调递增.（2）当a0时，f（x）0恒成立，所以f(x)无极值.综上所述，n=2时，当a0时，f(x)在处取得极小值，( )1 ln(1)h xxx 所以 当x2，+时，单调递增，又h(2)=10所以当x2时，恒有h(x) 0,即ln（x-1）x-1命题成立. 综上所述，结论成立.1( )ln(1).(1)nf xxx1( )1ln(1),(1)ng xxxx 1112(1)11(1)nnnxnxxxx（）证法一：因为a=1,所以当n为偶数时，令则 g（x）=1+0（x2）.1( )1ln(1)(1)ng xxxx 所以当x2,+时，g(x)单调递增，又 g(2)=0 因此g(2)=0恒成立，所以f(x)x-1成立.( )f x1(1)nx当n为奇数时，要证x-1,由于0，1211xxx所以只需证ln(x-1) x-1,令 h(x)=x-1-ln(x-1), 则 h（x）=1-0（x2）,1( )ln(1).(1)nf xxx证法二：当a=1时，故只需证明1+ln(x-1) x-1.令1(1)nx当x2，时，对任意的正整数n，恒有1( )1 (1 ln(1)2 ln(1),2,h xxxxxx 12( )1,11xh xxx 则( )h x2,当x2时，0，故h(x)在上单调递增，即f（x）x-1.因此当x2时，h(x)h(2)=0，即1+ln(x-1) x-1成立.故当x2时，有1ln(1)(1)nxxx-1.CBPOAD8.（江苏卷17）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界）且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为ykm（）按下列要求写出函数关系式：设BAO=(rad)，将y表示成 的函数关系式设OP=x (km) ，将y表示成x的函数关系式；（）请你选用（）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短10coscosAQOA10cosOB（）由条件知PQ 垂直平分AB，若BAO=(rad) ，则故1010tan又OP101010 10tancoscosyOAOBOP，所以20 10sin10cosy04， 所求函数关系式为222101020200 xxx若OP=x(km),则OQ10 x，所以OA =OB=2220200 010yxxxx所求函数关系式为 2210coscos20 10sin10 2sin1coscossiny6（）选择函数模型，y 1204令0 得sin ，因为6，所以=0,60y 当时，y是的减函数；所以当min10 10 3y=时，10 33这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边km处。,6 4 0y 时，当y是 的增函数， 112212,fxfxfxf xfxfxfx且 f afb, a bab12,p p, a b（）设为两实数，且2ba fx, a b求证：在区间上的单调增区间的长度和为 113xpfx 222 3 x pfx12,xR p p9.（江苏卷20）若为常数， 1f xfx12,p p（）求对所有实数成立的充要条件（用表示）,m nnm（闭区间的长度定义为） 12fxfx1232 3xpxp 123log 233xpxp 12pp32log 1fxfx（）恒成立1232xpxplog（*） 1fxfx综上所述，对所有实数成立的充要条件是： 121212xpxpxpxppp因为12pp32log所以，故只需（*）恒成立1, a p1,p b2ba因为减区间为，增区间为所以单调增区间的长度和为12pp32log1xp f afb, a b1xp（）1如果，则的图象关于直线对称因为，所以区间关于直线 对称 2323log 222log 223,3,x ppxxp bfxxa p 111113,3,x ppxxp bfxxa p12pp32log（1）当时.12pp32log2如果，1,xp b 213log 2102331,ppfxfx当， 120,0fxfx 12fxfx因为，所以2,xa p 123log 2102331,ppfxfx当 120,0fxfx 12fxfx因为，所以 1fxfx13x p故= 2fxfx23log 23px 故= f afb231log 233pab p 123log 2,bppa 123log 2a bpp 因为，所以所以即123log 22ppx21,xp p 12fxfx231log 233x ppx当时，令，则所以时，1231log 2,2ppxp 12fxfx 1f xfx13px1232log 2,2ppxp 12fxfx 2f xfx23log 23x p当时，所以=所以=12312log 22ppbpp123log 2222ppa bb abb f x, a b在区间上的单调增区间的长度和= 2323log 222log 223,3,x ppxxp bfxxa p 21pp32log 111113,3,x ppxxp bfxxa p（2）当时.，2,xp b 213log 2102331,ppfxfx当， 120,0fxfx 12fxfx因为，所以 2fxfx23log 23x p故=，1,xa p 123log 2102331,ppfxfx 120,0fxfx 12fxfx当因为，所以 1f xfx13px故= f afb231log 233b ppa123log 2abpp因为，所以所以12,xp p 12fxfx231log 233pxx p 123log 22ppx当时，令，则，所以1231log 2,2ppxp 12fxfx 2fxfx23log 23px 1231log 2,2ppxp 12fxfx 1fxfx13x p时， ，所以=，所以= f x, a b12321log 22ppbpp123log 2222ppabbabb在区间上的单调增区间的长度和= f x, a b2ba综上得在区间上的单调增区间的长度和为a， 11811axf xaxxa0 x, 18a f x 2 12fx当时，求的单调区间；对任意正数a，证明：10.（江西卷22）（本小题满分14分）已知函数8a 1131xf xx 3121xfxxx解：当时，求得 (0,1x 0fx1,)x 0fx时，时，于是当而当 ( )f x(0,11,)即中单调递增，而在中单调递减在0a 0 x 111( ) 1181f xxaax8bax8abx 111111f xxab（2）.对任意给定的由若令 ，则 ，而 1fx 32()()(1)(1)(1)abxabaxbxxab9()()(1)(1)(1)abxabaxbxxab1 ()()1(1)(1)(1)abxabaxbxabxxab，1111xx1111aa1111bb422 224 28abxabxabx6abx（一）、先证；因为，又由 得 111111111111f xxabxab所以 2f x , ,x a bxab02b（二）、再证；由、式中关于的对称性，不妨设则5xa7ab5a （）、当，则，所以111 b1121111 5xa因为 1112111f xxab此时181ababx7a b 8xab （）、当 ，由得 ,222111114(1)2(1)bbbbbbb ，因为 112(1)1bbb 所以 112(1)1aaa ， 同理得 1222 118ababf xabab于是112(1)1aaa ， 同理得 1222 118ababf xabab于是 ，211(1)(1)abababab因为 (1)(1)8abababab 只要证 ，即 8(1)(1)abab7ab，也即 ( )2f x 据，此为显然因此得证故由得 a,x 12f x综上所述，对任何正数，皆有2118abababab今证明 ,2.7e （）求一年内该水库的最大蓄水量（取计算） 同一年内哪几个月份是枯水期？124(1440)50,010,( )4(10)(341)50,1012.xttetV tttt 1iti 1,2,12i 水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为（）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以表示第1月份（11.（湖北卷20）.(本小题满分12分)）,21xx已知函数f(x)=ln2(1+x)-1(1)n aenN*n（）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.求的最大值.12.（湖南卷21）（本小题满分13分）( )f x(I) 求函数的单调区间;22222ln(1)22(1)ln(1)2( ).1(1)(1)xxxxxxxfxxxx( )f x( 1,) 解: （）函数的定义域是( )2ln(1)2 .g xxx2( )2(1)ln(1)2 ,g xxxxx设则( )2ln(1)2 ,h xxx22( )2.11xh xxx令则( )h x10 x ( ) 0,h x当时， 在（-1，0）上为增函数，( )0,h x( )h x(0,)当x0时，在上为减函数( )0(0)g xx所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以 ( 1,) 10 x ( )(0)0,g xg( )(0)0.g xg，函数g(x)在于是当时，当x0时，上为减函数10 x ( )0,fx( )f x( )0,fx( )f x(0,)所以，当时，当x0时，在上为减函数.在（-1，0）上为增函数.( )f x(0,)的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为