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专题七 选修4系列第1讲坐标系与参数方程考情研析高考中，该部分内容常以直线、圆锥曲线(主要是圆、椭圆)几何元素为载体，主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化；同时进一步考查利用相应方程形式或几何意义解决元素位置关系、距离、面积等综合问题该部分试题难度一般不大.核心知识回顾1.极坐标与直角坐标的互化公式设点P的直角坐标为(x，y)，极坐标为(，)，则(，)(x，y)(x，y)(，)2常见圆的极坐标方程(1)圆心在极点，半径为r的圆：r(02)(2)圆心为M(a,0)，半径为a的圆：2acos.(3)圆心为M，半径为a的圆：2asin(0)3常见直线的极坐标方程(1)直线过极点，直线的倾斜角为：(R)(2)直线过点M(a,0)，且垂直于极轴：cosa.(3)直线过点M，且平行于极轴：sina(00)在曲线C：4sin上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当0时，求0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程解(1)因为M(0，0)在曲线C上，当0时，04sin2.由已知得|OP|OA|cos2.设Q(，)为l上除P外的任意一点在RtOPQ中，cos|OP|2.经检验，点P在曲线cos2上，所以，l的极坐标方程为cos2.(2)设P(，)，在RtOAP中，|OP|OA|cos4cos，即4cos.因为P在线段OM上，且APOM，所以的取值范围是.所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos，.直角坐标与极坐标方程的互化及应用(1)直角坐标方程化极坐标方程时，通常可以直接将xcos，ysin代入即可(2)极坐标方程化直角坐标方程时，一般需要构造2，sin，cos，常用的技巧有式子两边同乘以，两角和与差的正弦、余弦展开等(2019武汉市高三调研)在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1：sin，C2：2.(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程；(2)曲线C1和C2的交点为M，N，求以MN为直径的圆与y轴的交点坐标解(1)由sin得，将代入上式得xy1.即C1的直角坐标方程为xy1，同理，由2可得3x2y21，C2的直角坐标方程为3x2y21.(2)PMPN，先求以MN为直径的圆，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得3x2(1x)21，即x2x10.则MN的中点坐标为.|MN| |x1x2|，以MN为直径的圆的方程为222，令x0，得2，即2，y0或y3，所求P点坐标为(0,0)或(0,3)考向2 参数方程及应用例2(2019四川省华文大教育联盟高三第二次质量检测)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)求曲线C和直线l的普通方程；(2)直线l与曲线C交于A，B两点，若|AB|1，求直线l的方程解(1)对曲线C：消去参数，得x2y21.对直线l：消去参数t，当cos0时，l：x2；当cos0时，l：ytan(x2)(2)把代入x2y21中，得t24tcos30.因为16cos2120，所以cos2.因为t1t24cos，t1t23，|AB|t1t2|1，所以(t1t2)2(t1t2)24t1t216cos2121，所以cos2，所以tan2.所以tan，即直线l的斜率为.所以直线l的方程为yx或yx.参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法(2)三角恒等式法：利用sin2cos21消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法(3)常见消参数的关系式：t1；224；221.(2019太原市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2cos.(1)若曲线C1方程中的参数是，且C1与C2有且只有一个公共点，求C1的普通方程；(2)已知点A(0,1)，若曲线C1方程中的参数是t,00，所以取得最大值2.考向3 极坐标与参数方程的综合应用角度1极坐标方程中极径几何意义的应用例3在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为x24y4.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|8，求l的斜率解(1)由xcos，ysin可得抛物线C的极坐标方程2cos24sin40.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R)，设A，B所对应的极径分别为1，2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得2cos24sin40，因为cos20(否则，直线l与抛物线C没有两个公共点)，于是12，12，|AB|12|，由|AB|8得cos2，tan1，所以l的斜率为1或1.(1)几何意义：极径表示极坐标平面内点M到极点O的距离(2)应用：一般应用于过极点的直线与曲线相交，所得的弦长问题，需要用极径表示出弦长，结合根与系数的关系解题(2019哈尔滨市第三中学高三第一次模拟)已知曲线C1：xy和C2：(为参数)以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离解(1)因为C2的参数方程为(为参数)，所以其普通方程为1，又C1：xy，所以可得C1和C2的极坐标方程分别为C1：sin，C2：2.(2)M(，0)，N(0,1)，P，OP的极坐标方程为，把代入sin，得11，所以点P的坐标为，把代入2，得22，所以点Q的坐标为.|PQ|21|1，即P，Q两点间的距离为1.角度2直线参数方程中参数几何意义的应用例4(2019山东高三模拟)在直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数，为直线l的倾斜角)，点P和F的坐标分别为(1,3)和(1,0)；以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，且22，求的值解(1)由，得2sin24cos，即y24x，所以曲线C的直角坐标方程为y24x.(2)将代入y24x得，t2sin2(6sin4cos)t130(sin20)，由题意，得(6sin4cos)2413sin20，(*)设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1t2，由点P在直线l上，得|t1t2|，222|22()26，所以26，即sin，结合0，所以或，将代入(*)，可知不适合，适合综上，.对直线参数方程(t为参数)，其中M0(x0，y0)为定点，为直线倾斜角的理解(1)几何意义：参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离，若t0，则的方向向上；若t0，所以可设该方程的两个根为t1，t2，则t1t2(2sin2cos)，t1t25.所以|AB|t1t2| 4.整理得(sincos)23，故2sin.因为0，所以或，解得或，综上所述，直线l的倾斜角为或. 真题押题真题模拟1(2019大庆市高三第三次教学质量检测)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4cos，射线l2的极坐标方程为(0)(1)求直线l1的倾斜角及极坐标方程；(2)若射线l2与l1交于点M，与圆C交于点N(异于原点)，求|OM|ON|.解(1)消去方程中的参数t，整理得xy40，直线l1的普通方程为xy40.设直线l1的倾斜角为，则tan，0，.把xcos，ysin代入xy40，可得直线l1的极坐标方程为cossin4.(2)把代入l1的极坐标方程中得|OM|1，把代入圆的极坐标方程中得|ON|22，|OM|ON|128.2(2019江苏高考)在极坐标系中，已知两点A，B，直线l的方程为sin3.(1)求A，B两点间的距离；(2)求点B到直线l的距离解(1)设极点为O.在OAB中，A，B，由余弦定理，得AB .(2)因为直线l的方程为sin3，所以直线l过点，倾斜角为.又B，所以点B到直线l的距离为(3)sin2.3(2019郴州市高三第三次质量检测)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，0)，点M(0，2)以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cos.(1)求曲线C2的直角坐标方程，并指出其形状；(2)曲线C1与曲线C2交于A，B两点，若，求sin的值解(1)由4cos，得4cos4sin，所以24cos4sin，即x2y24x4y，(x2)2(y2)28.所以曲线C2是以(2，2)为圆心，2为半径的圆(2)将代入(x2)2(y2)28，整理得t24tcos40，设点A，B所对应的参数分别为t1，t2，则t1t24cos，t1t24.解得cos2，则sin.4(2019全国卷)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，)，弧，所在圆的圆心分别是(1,0)，(1，)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|，求P的极坐标解(1)由题设可得，弧，所在圆的极坐标方程分别为2cos，2sin，2cos，所以M1的极坐标方程为2cos，M2的极坐标方程为2sin，M3的极坐标方程为2cos.(2)设P(，)，由题设及(1)知若0，则2cos，解得；若，则2sin，解得或；若，则2cos，解得.综上，P的极坐标为或或或.金版押题5在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为2(13sin2)4，曲线C2：(为参数)(1)求曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；(2)极坐标系中两点A(1，0)，B都在曲线C1上，求的值解(1)由题意可得，曲线C1的直角坐标方程为y21，C2的普通方程为(x2)2y24.(2)由点A，B在曲线C1上，得，则，因此.配套作业1(2019广西八市高三联合考试)已知曲线l的参数方程为(t为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)设P(2,1)，直线l与曲线C交于点A，B，求|PA|PB|的值解(1)由4cos，得4cos4sin，24cos4sin，又xcos，ysin，x2y24x4y，即曲线C的直角坐标方程为(x2)2(y2)28.(2)将代入C的直角坐标方程，得t228，t2t70，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，t1t27.则|PA|PB|t1t2|7.2以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是2sin5，射线OM：，在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(为参数)(1)求圆C的普通方程及极坐标方程；(2)射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长解(1)由圆C的参数方程(为参数)知，圆C的圆心为(0,2)，半径为2，所以圆C的普通方程为x2(y2)24，将xcos，ysin代入x2(y2)24，得圆C的极坐标方程为4sin.(2)设P(1，1)，则由解得12，1.设Q(2，2)，则由解得25，2，所以线段PQ的长|PQ|12|3.3在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是cos24sin0.(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)已知点P(1,0)若点M的极坐标为，直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值解(1)直线l的参数方程为(t为参数)，直线l的普通方程为ytan(x1)由cos24sin0得2cos24sin0，即x24y0.曲线C的直角坐标方程为x24y.(2)点M的极坐标为，点M的直角坐标为(0,1)tan1，直线l的倾斜角.直线l的参数方程为(t为参数)代入x24y，得t26t20.设A，B两点对应的参数分别为t1，t2.Q为线段AB的中点，点Q对应的参数值为3.又点P(1,0)，则|PQ|3.4(2019兰州市高三二诊)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4sin.(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C3的极坐标方程为，0，R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|4，求实数的值解(1)由曲线C1的参数方程为(为参数)，消去参数得曲线C1的普通方程为(x2)2y24，因为曲线C2的极坐标方程为4sin，所以24sin.所以C2的直角坐标方程为x2y24y，整理得x2(y2)24.(2)C1：(x2)2y24化为极坐标方程4cos，所以|AB|AB|4|sincos|44，所以sin1，所以k(kZ)即k(kZ)又因为00，为参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin3.(1)当t1时，求曲线C上的点到直线l的距离的最大值；(2)若曲线C上的所有点都在直线l的下方，求实数t的取值范围解(1)由sin3得sincos3，把xcos，ysin代入得直线l的直角坐标方程为xy30，当t1时，曲线C的参数方程为(为参数)，消去参数得曲线C的普通方程为x2y21，曲线C为圆，且圆心为O，则点O到直线l的距离d，曲线C上的点到直线l的距离的最大值为1.(2)曲线C上的所有点均在直线l的下方，对任意的R，tcossin30恒成立，即cos()3恒成立，0，0t0，解得3m1，设M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1t2m21，由t的几何意义得，|AM|AN|t1|t2|t1t2|m21|2，解得m，又3m1，m.
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