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专题八 数学文化与创新应用第1讲数学文化及核心素养类试题考情研析数学文化与数学知识相结合，有效考查考生的阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力，既体现了对数学应用性的考查，也体现了我国数学文化的源远流长高考中多以选择题的形式出现，难度中等.核心知识回顾1.以古代数学书籍九章算术数书九章等书为背景的数学文化类题目2与高等数学相衔接的题目，如几类特殊的函数：取整函数、狄利克雷函数、符号函数3以课本阅读和课后习题为背景的数学文化类题目：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、二进制、割圆术、阿氏圆等4以中外一些经典的数学问题为背景的题目，如：回文数、匹克定理、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题热点考向探究考向1 算法中的数学文化例1(2019哈尔滨市第三中学高三第二次模拟)我国古代名著庄子天下篇中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则处可分别填入的是()Ai20，SS，i2iBi20，SS，i2iCi20，S，ii1Di20，S，ii1答案D解析根据题意可知，第一天S，所以满足S，不满足SS，故排除A，B；由框图可知，计算第二十天的剩余时，有S，且i21，所以循环条件应该是i20.故选D.以古代秦九韶算法，更相减损术、割圆术等为背景，将数学文化嵌入到程序框图，既强调了算法的历史，又展示了算法的思想，解题时要弄明白计数变量和累加变量的变化规律，理解程序框图的算法功能我国古代数学著作孙子算经中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为a，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为()A121 B81 C74 D49答案B解析满足a32，第一次循环：S1，n2，a8；满足a32，第二次循环：S9，n3，a16；满足a32，第三次循环：S25，n4，a24；满足a32，第四次循环：S49，n5，a32；满足a32，第五次循环：S81，n6，a40.不满足a32，输出S.故选B.考向2 数列中的数学文化例2(2019陕西省高三第三次教学质量检测)我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n1，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，则此数列的前15项和为()A110 B114 C124 D125答案B解析由题意，n次二项式系数对应的杨辉三角形的第n1行，令x1，可得二项展开式的二项式系数的和2n，其中第1行为20，第2行为21，第3行为22，以此类推，即每一行的数字之和构成首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形中前n行的数字之和为Sn2n1，若除去所有为1的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3,4，可以看成构成一个首项为1，公差为2的等差数列，则Tn，令15，解得n5，所以前15项的和表示前7行的数列之和减去所有的1，即(271)13114，即前15项的数字之和为114，故选B.以传统数学文化为载体考查数列的实际应用问题解题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，建立等差、等比数列的模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，利用方程思想求解张丘建算经卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月(按30天计算)共织390尺布记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an，则a14a15a16a17的值为()A55 B52 C39 D26答案B解析设从第2天开始，每天比前一天多织d尺布，则S30390，所以305d390，解得d，所以a14a15a16a174a158d455852.故选B.考向3 立体几何中的数学文化例3(2019六安市第一中学高三模拟)我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体如图，将底面直径都为2b，高皆为a的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面上，用平行于平面且与平面任意距离d处的平面截这两个几何体，可横截得到S圆及S环两截面可以证明S圆S环总成立据此，半短轴长为1，半长轴长为3的椭球体的体积是_答案4解析因为S圆S环总成立，则半椭球体的体积为b2ab2ab2a，所以椭球体的体积为Vb2a，因为椭球体的半短轴长为1，半长轴长为3，所以椭球体的体积为Vb2a1234，故答案是4.依托立体几何，传播数学文化立体几何是中国古代数学的一个重要研究内容，从中国古代数学中挖掘素材，考查立体几何的三视图、线面的位置关系、几何体的体积等知识，既符合考生的认知水平，又可以引导学生关注中华优秀传统文化九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥如图，在堑堵ABCA1B1C1中，ACBC，若A1AAB2，当阳马BA1ACC1体积最大时，则堑堵ABCA1B1C1的体积为()A. B. C2 D2答案C解析由阳马的定义，知VBA1ACC1A1AACBCACBC(AC2BC2)AB2，当且仅当ACBC时等号成立，所以当阳马BA1ACC1体积最大时，则堑堵ABCA1B1C1的体积为22，故选C.考向4 概率中的数学文化例4(2019皖南八校高三第三次联考)七巧板是古代中国劳动人民发明的一种中国传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成清陆以湉冷庐杂识卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A. B. C. D.答案A解析设正方形的边长为4，则正方形的面积为S4416，此时阴影部分所对应的直角梯形的上底边长为2，下底边长为3，高为，所以阴影部分的面积为S1(23)5，根据几何概型，可得概率为P，故选A.数学文化渗透到概率数学中去，不但丰富了数学的概率知识，还提高了学生的文化素养解决此类问题的关键是构建合理的概率模型，利用相应的概率计算公式求解算法统宗是我国古代的数学名著，书中把三角形中的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田若在邪田内随机种植一株茶树，则该茶树恰好被种在圭田内的概率为()A. B. C. D.答案A解析根据题意，得出其示意图如图所示，题意为：在直角梯形ABCD内随机种一株茶树，求该茶树恰好被种在三角形AEF内的概率且已知AB20，DC10，AD10，AE8，三角形AEF的高h5，所以该茶树被种在三角形AEF内的概率P，故选A.考向5 推理与证明中的数学文化例5(2019南充市第三次诊断)九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为()A.钱 B.钱 C.钱 D.钱答案B解析设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a2d，ad，a，ad，a2d，则a2dadaada2d，解得a6d，又a2dadaada2d5，a1，则a2da2a，故选B.以古代有代表意义的猜想推理为背景，考查数学文化相关知识，让学生通过逻辑推理得到结论解题时要联系具体实例，体会和领悟归纳推理、类比推理、演绎推理的原理、内涵及特点，并会用这些方法分析、解决具体问题(2019上海市奉贤区高三一模)天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推，已知2016年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为_年答案戊戌解析从2017年到2078年经过了61年，且2017年为丁酉年，61106余1，则2078年的天干为戊，61125余1，则2078年的地支为戌，所以2078年为戊戌年考向6 数学文化与现代科学例62016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议，正式开始实施如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子：a1c1a2c2；a1c1a2c2；a1c2.其中正确式子的序号是()A B C D答案D解析观察题图可知a1a2，c1c2，a1c1a2c2，即式不正确；a1c1a2c2|PF|，即式正确；由a1c1a2c20，c1c20，知，即a1c2，.即式正确，式不正确(1)命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运(2)注意到椭圆轨道和共一个顶点P和一个焦点F，题目所给四个式子涉及长半轴长和半焦距，从焦距入手，这是求解的关键，本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查，是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为，那么tan_.答案7解析依题意，得大、小正方形的边长分别是5,1，于是有5sin5cos1，则sincos.从而(sincos)22(sincos)2，则sincos，因此sin，cos，tan.故tan7.真题押题真题模拟1(2019浙江高考)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是()A158 B162 C182 D324答案B解析如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3.则底面面积S3327，因此，该柱体的体积V276162.故选B.2(2019北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足m2m1lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k1,2)已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A1010.1 B10.1 Clg 10.1 D1010.1答案A解析由题意知，m126.7，m21.45，代入所给公式得1.45(26.7)lg ，所以lg10.1，所以1010.1.故选A.3(2019湖南省高三六校联考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著数书九章中提出的求多项式值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图，是利用秦九韶算法求一个多项式的值，若输入n，x的值分别为3，则输出v的值为()A17B11.5C10D7答案B解析初始值n3，x，程序运行过程如下：v2，v214，n2，不满足n0；v417，n1，不满足n0；v71，n0，满足n0，退出循环，输出v的值为11.5.故选B.4(2019全国卷)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有_个面，其棱长为_答案261解析先求面数，有如下两种方法解法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有29826(个)面解法二：一般地，对于凸多面体，顶点数(V)面数(F)棱数(E)2(欧拉公式)由图形知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24，故由VFE2，得面数F2EV2482426.再求棱长. 作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH，如图，设其边长为x，则正八边形的边长即为半正多面体的棱长连接AF，过H，G分别作HMAF，GNAF，垂足分别为M，N，则AMMHNGNFx.又AMMNNF1，即xxx1.解得x1，即半正多面体的棱长为1.金版押题5九章算术中有一题：今有牛、马、羊食人苗苗主责之粟五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲衰偿之，问各出几何其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿()A.斗粟 B.斗粟 C.斗粟 D.斗粟答案C解析解法一：设羊、马、牛主人赔偿的粟的斗数分别为a1，a2，a3，则这3个数依次成等比数列，公比q2，所以a12a14a15，解得a1，故a3，a3a1，故选C.解法二：羊、马、牛主人赔偿的比例是124，故牛主人应赔偿5斗，羊主人应赔偿5斗，故牛主人比羊主人多赔偿了斗，故选C.6九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为()A2 B42C44 D46答案C解析由三视图知几何体为一个三棱柱，底面为等腰直角三角形，高为1，则底面三角形腰长为，底边长为2，三棱柱高为2，所以侧面积为222244.故选C.配套作业一、选择题1(2019赤峰市高三模拟)史记卷六十五孙子吴起列传第五中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，齐王获胜的概率是()A. B. C. D.答案A解析因为双方各有3匹马，所以“从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛”的事件数为9种，满足“齐王获胜”这一条件的情况为：齐王派出上等马，则获胜的事件数为3；齐王派出中等马，则获胜的事件数为2；齐王派出下等马，则获胜的事件数为1；故满足“齐王获胜”这一条件的事件数为6种，根据古典概型公式可得，齐王获胜的概率P，故选A.2(2019南昌外国语学校高三高考适应性测试)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入的a，b分别为16,20，则输出的a的值为()A0 B2 C4 D1答案C解析输入a，b的值，分别为16,20，第一次循环：第一层判断：满足ab，进入第二层选择结构，第二层判断：不满足ab，满足ab，故b20164；第二次循环：第一层判断：满足ab，进入第二层选择结构，第二层判断：满足ab，故a16412；第三次循环：第一层判断：满足ab，进入第二层选择结构，第二层判断：满足ab，故a1248；第四次循环：第一层判断：满足ab，进入第二层选择结构，第二层判断：满足ab，故a844；第五次循环：第一层判断：满足ab4，故输出4，选C.3中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第五天走的路程为()A48里 B24里 C12里 D6里答案C解析设第一天的路程为a1里，则378，a1192，所以a519212.4(2019河南洛阳高三阶段性考试)九章算术中有如下问题：“今有牛、羊、马食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：我羊食半马马主曰：我马食半牛今欲衰偿之，问各出几何？”翻译为：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说“我马吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还，问：牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？已知1斗10升，针对这一问题，设计程序框图如图所示，若输出k的值为2，则m()A. B. C. D.答案B解析运行该程序，第一次循环，S50m，k1；第二循环，S503m，k2；第三次循环，S507m，此时要输出k的值，则507m0，解得m，故选B.5我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式1中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1x求得x.类比上述过程，则 ()A3 B.C6 D2答案A解析令 x(x0)，两边平方，得32x2，即32xx2，解得x3，x1(舍去)，故 3，选A.6(2019江西省名校高三5月联考)我国古代九章算术将上、下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为()A. B. C27 D18答案B解析由题意，几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2和6，高为2，所以几何体的体积V(436)2.故选B.7(2019河北联考)九章算术是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡瑽(cng)，周四丈八尺，高一丈一尺问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺则它的体积是(注：1丈10尺，取3)()A704立方尺 B2112立方尺C2115立方尺 D2118立方尺答案B解析设圆柱体底面圆半径为r，高为h，周长为C.因为C2r，所以r，所以Vr2hh2112(立方尺)故选B.8.(2019南宁市高三第一次适应性测试)元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”，即输出值是输入值的，则输入的x()A.B.C.D.答案C解析i1时，x2x1；i2时，x2(2x1)14x3；i3时，x2(4x3)18x7；i4时，退出循环此时，8x7x，解得x.故选C.9我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤问本持金几何”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和，恰好重1斤问此人总共持金多少则在此问题中，第5关收税金()A.斤 B.斤 C.斤 D.斤答案B解析假设原来持金为x，则第1关收税金x；第2关收税金xx；第3关收税金xx；第4关收税金xx；第5关收税金xx.依题意，得xxxxx1，即x1，x1，解得x，所以x.故选B.10(2019陕西省高三第一次模拟)公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n的值为()(参考数据：sin150.2588，sin7.50.1305)A12 B24 C48 D96答案B解析模拟执行程序，可得n6，S3sin60，不满足条件S3.10，n12，S6sin303，不满足条件S3.10，n24，S12sin15120.25883.1056，满足条件S3.10，退出循环，输出n的值为24.故选B.11“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的详解九章算法一书中，辑录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是()201720162015201465432140334031402911975380648060201612816124362820 A201722016 B201822015C201722015 D201822016答案B解析从给出的数表可以看出，该数表每行都是等差数列，其中第一行从右到左是公差为1的等差数列，第二行从右到左的公差为2，第三行从右到左的公差为4，即第n行从右到左的公差为2n1，而从右向左看，每行的第一个数分别为1221,3320,8421,20522,48623，所以第n行的第一个数为(n1)2n2.显然第2017行只有一个数，其值为(20171)220172201822015，故选B.12. (2019德州市高三下学期第一次练习)正整数N除以正整数m后的余数为n，记为Nn(MODm)，例如251(MOD6)如图所示程序框图的算法源于“中国剩余定理”，若执行该程序框图，当输入N25时，则输出N()A31B33C35D37答案A解析模拟程序的运行，可得N25，N26，不满足条件N1(MOD3)，N27，不满足条件N1(MOD3)，N28，满足条件N1(MOD3)，不满足条件N1(MOD5)，N29，不满足条件N1(MOD3)，N30，不满足条件N1(MOD3)，N31，满足条件N1(MOD3)，满足条件N1(MOD5)，输出N的值为31.故选A.二、填空题13周易历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦符号“”表示的十进制数是_答案34解析由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为02012102202302412534.14孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子”这个问题中，得到橘子最少的人所得的橘子个数是_答案6解析设等差数列an，首项为a1，公差为3，则S55a1360，解得a16，即得到橘子最少的人所得的橘子个数是6.
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