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第4讲不等式、线性规划考情分析不等式的性质、求解、证明及应用是每年高考必考的内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题(2)不等式的相关知识可以渗透到高考的各个知识领域，往往作为解题工具与数列、函数、向量相结合，在知识的交汇处命题，难度中档，在解答题中，特别是在解析几何中利用不等式求最值、范围或在解决导数问题时利用不等式进行求解，难度偏高.热点题型分析热点1不等式的性质及解法 1.利用不等式的性质比较大小要注意特殊值法的应用.2.一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2bxc0(a0)，再求相应一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集.3.简单分式不等式的解法(1)0(0(b0，给出下列四个不等式：a2b2；2a2b1；a3b32a2b.其中一定成立的不等式为()A B C D答案A解析解法一：由ab0可得a2b2，所以成立；由ab0可得ab1，而函数f(x)2x在R上是增函数，f(a)f(b1)，即2a2b1，所以成立；ab0，()2()222b2()0，所以成立；若a3，b2，则a3b335,2a2b36，有a3b3b2，2a2b1，均成立，而a3b32a2b不成立，故选A2.函数f(x)的定义域为()A0,3 B(0,3)C(，03，) D(，0)(3，)答案A解析要使函数f(x) 有意义，则3xx20，即x23x0x(x3)0，解得0x3，故选A3.不等式1的解集为()Ax|x1或x3 Bx|1x3Cx|1x3 Dx|1x3答案C解析由1，移项得10，即0，解得10，y0，xyp(定值)，当xy时，xy有最小值2.(简记：积定和最小)(2)如果x0，y0，xys(定值)，当xy时，xy有最大值s2.(简记：和定积最大)2.利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路：(1)通过变形直接利用基本不等式解决.(2)对条件变形，根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，通过“1”的代换、添项、分离常数等手段使之能运用基本不等式常见的转化方法有：若1，则mxny(mxny)1(mxny)manb2(字母均为正数)；xxaaa2(xa，b0). 1.下列结论正确的是()A当x0且x1，lg x2B0时，2D当0x2时，x无最大值答案C解析对于A，当0x1时，lg x0时，22，当且仅当x1时等号成立；对于D，当0x2时，yx单调递增，所以当x2时，取得最大值，最大值为.故选C2.已知0x1，则函数y的最小值为_.答案9解析x1，x10，yx15259，当且仅当x1，即x1时取“”(由于x1，故x3舍去)，y的最小值为9.4.(2018江苏高考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC120，ABC的平分线交AC于点D，且BD1，则4ac的最小值为_.答案9解析由题意可知，SABCSABDSBCD，由角平分线性质和三角形面积公式得acsin120a1sin60c1sin60，化简得acac，1，因此4ac(4ac)5529，当且仅当c2a3时取等号，则4ac的最小值为9.(1)利用均值不等式求解最值时，要注意三个条件，即“一正各项都是正数；二定和或积为定值；三等能取到使等号成立的值”，这三个条件缺一不可.(2)第2题易出错的地方是：不会“凑”，不能根据函数解析式的特征适当变形凑出两式之和为定值；第3题是分子展开后不能变形凑出两式之积为定值第4题利用“1”的代换或配凑使和为定值或积为定值时，代数式的变形要注意保持等价.热点3简单的线性规划问题 1.解决线性规划问题的一般步骤(1)画出可行域；(2)根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；(3)求出目标函数的最大值和最小值.2.常见代数式的几何意义(1)zAxBy表示与直线yx在y轴上的截距成比例的数；(2)z(xa)2(yb)2区域内动点(x，y)与定点(a，b)的距离的平方；(3)z表示区域内动点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率.3.求解线性规划中含参问题的基本方法(1)首先把不含参数的平面区域确定好；(2)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围.4.解线性规划应用问题的一般步骤(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答. 题型1已知约束条件，求目标函数的最值1.(2019全国卷)若变量x，y满足约束条件则z3xy的最大值是_.答案9解析作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y3xz过点C时，z最小，即z最大.由解得即C点坐标为(3,0)，故zmax3309.2.(2019晋城一模)若x，y满足约束条件则zx2y24x6y13的最小值为_.答案解析画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)，由于zx2y24x6y13(x2)2(y3)2，故z表示可行域内的点A(x，y)与定点P(2,3)间距离的平方，即z|PA|2.由图形可得|PA|的最小值即为点P(2，3)到直线xy40的距离d，所以zmind2.第1、2题易错在不能准确把握目标函数z的几何意义而不知如何变形.题型2已知目标函数的最值求参数1.(2019华南师大附中一模)已知a0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a()A B C1 D2答案A解析由约束条件画出可行域(如图所示三角形及其内部)由得B(1，2a)当直线2xyz0过点B时，z2xy取得最小值，所以1212a，解得a，故选A2.已知x，y满足约束条件若zaxy的最大值为4，则a()A3 B2 C2 D3答案B解析不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示，若zaxy的最大值为4，则yaxz截距的最大值为4.若a0，当a1时，x2，y0是最优解，此时a2；当a1，即0a1(舍)故选B第1题易在分析动直线的位置时出错，忽略直线ya(x3)恒过定点(3,0)而不好确定可行域；第2题需明确目标函数中z与直线yaxz截距最值相同，易忽视关于a的正负讨论而漏解或错解.题型3线性规划的实际应用(2019黄冈联考)一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖4千克，果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白糖1千克，果汁15千克，用时1小时现库存白糖10千克，果汁66千克，生产一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元，在使用该机器用时不超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为_.答案600解析设生产甲、乙两种饮料分别为x桶、y桶，利润为z元，则得即目标函数z200x100y.作出可行域(如图阴影部分所示)当直线z200x100y经过可行域上点B时，z取得最大值.解方程组得点B的坐标(2,2)，故zmax20021002600.(1)线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.(2)在解决线性规划的应用问题时要注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等.真题自检感悟1.(2019全国卷)已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则()Aabc Bacb Ccab Dbca答案B解析因为alog20.21,0c0.20.3ca.故选B2.(2017全国卷)设x，y满足约束条件则z2xy的最小值是()A15 B9 C1 D9答案A解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.将目标函数z2xy化为y2xz，作出直线y2x，并平移该直线，知当直线y2xz经过点A(6，3)时，z有最小值，且zmin2(6)315.故选A3.(2017天津高考)已知函数f(x)设aR，若关于x的不等式f(x)在R上恒成立，则a的取值范围是()A BC2，2 D答案A解析关于x的不等式f(x)在R上恒成立等价于f(x)af(x)，即f(x)af(x)在R上恒成立，令g(x)f(x).当x1时，g(x)(x2x3)x232，当x时，g(x)max；当x1时，g(x)2，当且仅当，且x1，即x时，“”成立，故g(x)max2.综上，g(x)max.令h(x)f(x)，当x1时，h(x)x2x3x232，当x时，h(x)min；当x1时，h(x)x2，当且仅当，且x1，即x2时，“”成立，故h(x)min2.综上，h(x)min2.故a的取值范围为.故选A4.(2018天津高考)已知a，bR，且a3b60，则2a的最小值为_.答案解析由a3b60可知a3b6，且2a2a23b，因为对于任意x,2x0恒成立，结合均值不等式的结论可得，2a23b2 2 .当且仅当即时等号成立.综上可得2a的最小值为.专题作业一、选择题1.(2019北京高考)若x，y满足|x|1y，且y1，则3xy的最大值为()A7 B1 C5 D7答案C解析由|x|1y，且y1，得作出可行域如图阴影部分所示.设z3xy，则y3xz.作直线l0：y3x，并进行平移.显然当l0过点A(2，1)时，z取最大值，zmax3215.故选C2.不等式0的解集为()ABC1，)D1，)答案A解析0解得即b0且ab1，a2abb2，则a1,0b2，0，则ablog2(ab)，log2(ab)0，b0，并且，成等差数列，则a9b的最小值为()A16 B9 C5 D4答案A解析，成等差数列，1.a9b(a9b)1010216，当且仅当且1，即a4，b时等号成立a9b的最小值为16，故选A5.已知函数f(x)x2的值域为(，0)(4，)，则a的值是()A B C1 D2答案C解析由题意可得a0，当x0时，f(x)x222，当且仅当x时取等号；当xbc BbacCcba Dcab答案D解析由题意结合对数函数的性质可知，alog2e1，bln 2(0,1)，cloglog23log2e，据此可得，cab.故选D7.已知x，y0且x4y1，则的最小值为()A8 B9 C10 D11答案B解析x，y0且x4y1，(x4y)5452549，当且仅当4即或(舍去)时等号成立故选B8.(2019华大新高考联盟模拟)若实数x，y满足不等式组则x2y2的取值范围是()A B0,2 C D0，答案B解析画出可行域如图阴影部分所示(含边界)，x2y2的几何意义是阴影内的点到原点的距离的平方，显然O点为最小值点，而A(1,1)为最大值点，故x2y2的取值范围是0,2故选B9若x，y满足约束条件则的最大值为()A1 B1 C3 D0答案C解析作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A(1,3)与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.故选C10.若直线l：kxy10上不存在满足不等式组的点(x，y)，则实数k的取值范围为()A(，0BC(，0)D答案D解析实数x，y满足对应的可行域如图中阴影部分：直线l：kxy10可化为ykx1，故直线l过定点C(0,1)，由图可知，当直线l过的交点A(1,1)时，k0；当直线l过的交点B时，k.由此可知当0k1且b1.1可变形为1，abab，abab0，(a1)(b1)1，a1，a10，9(a1)26，当且仅当9(a1)，即a时取“”，的最小值为6.故选C12.(2019太原模拟)已知正数a，b满足1，若不等式abx24x18m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A3，) B(，3C(，6 D6，)答案D解析a0，b0，且1，ab(ab)1010216，当且仅当，即a4，b12时等号成立，所以(ab)min16.若不等式abx24x18m对任意实数x恒成立，则x24x18m16，即mx24x2对任意实数x恒成立，x24x2(x2)266，m6.实数m的取值范围是6，)故选D二、填空题13.已知实数x，y满足如果目标函数zxy的最小值为1，则实数m等于_.答案5解析绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，联立直线方程可得交点坐标为A，由目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，所以1，解得m5.14.(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是_.答案30解析一年的总运费为6(万元).一年的总存储费用为4x万元.总运费与总存储费用的和为万元.因为4x2 240，当且仅当4x，即x30时取得等号，所以当x30时，一年的总运费与总存储费用之和最小.15.(2019衡水中学检测)设满足的实数x，y所在的平面区域为，则的外接圆方程是_.答案(x1)2(y3)210解析作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示则区域是四边形ABCO(含内部及边界)易知BCAB，则外接圆的圆心为AC的中点，又A(0,6)，C(2,0)，则该四边形外接圆的圆心为(1,3)，半径r|AC|.故所求圆的方程为(x1)2(y3)210.16.若实数x，y满足x2y21，则|2xy2|6x3y|的最小值是_.答案3解析x2y21表示圆x2y21及其内部，易得直线6x3y0与圆相离，故|6x3y|6x3y，当2xy20时，|2xy2|6x3y|x2y4，如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数zx2y4，则可知当x，y时，zmin3，当2xy20时，|2xy2|6x3y|83x4y，可行域为大的弓形内部，目标函数z83x4y，同理可知当x，y时，zmin3，综上所述，(|2xy2|6x3y|)min3.
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