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考点十六直线与圆锥曲线综合问题 一、选择题1(2019安徽芜湖模拟)已知双曲线1(a0，b0)的离心率为，右焦点到一条渐近线的距离为，则此双曲线的焦距等于()AB2C3D6答案B解析由题意得焦点F(c,0)到渐近线bxay0的距离为db，即b，又，c2a2b2，可解得c，该双曲线的焦距为2c2，故选B.2抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点若抛物线y24x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为()ABCD答案B解析由题意可设点A的坐标为(x0,1)，代入y24x得124x0，x0，又焦点F的坐标为(1,0)，所以kABkAF，故选B.3(2019河南安阳二模)已知双曲线1(a0，b0)的左焦点为F，右顶点为A，直线xa与双曲线的一条渐近线的交点为B.若BFA30，则双曲线的离心率为()ABC2D3答案C解析由题意可得A(a,0)，双曲线的渐近线方程为aybx0，不妨设B点为直线xa与yx的交点，则B点的坐标为(a，b)，因为ABFA，BFA30，所以tanBFA，解得e2，故选C.4(2019四川五校高三联考)已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x3y0与椭圆C相交于A，B两点若|AF|BF|6，点P到直线l的距离不小于，则椭圆C的离心率的取值范围是()ABCD答案C解析如图所示，设F为椭圆的左焦点，连接AF，BF，则四边形AFBF是平行四边形，可得6|AF|BF|AF|AF|2a，得a3，取P(0，b)，由点P到直线l的距离不小于，可得，解得|b|2.所以e ，故选C.5已知圆O：x2y24，从圆上任意一点P向y轴作垂线段PP1(P1在y轴上)，点M在直线PP1上，且向量2，则动点M的轨迹方程是()A4x216y21B16x24y21C1D1答案D解析由题可知P是MP1的中点，设点M(x，y)，P(x0，y0)，P1(0，y0)，则又xy4，故2y24，即1.故选D.6(2019安徽皖南八校第三次联考)已知F是椭圆C：1的右焦点，P为椭圆C上一点，A(1,2)，则|PA|PF|的最大值为()A4B4C4D4答案D解析如图，设椭圆的左焦点为F，则|PF|PF|2，又F(1,0)，|AF| 2，|PA|PF|2|PA|PF|，根据图形可以看出|PA|PF|AF|，当P在线段AF的延长线上时，|PA|PF|最大，为|AF|2，|PA|PF|的最大值为224，故选D.7已知抛物线y24x上有10个不同的点，坐标分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P10(x10，y10)，且横坐标x1，x2，x3，x10成等差数列，x2，x9为方程x25x60的两个根，抛物线的焦点为F，则|FP1|FP2|FP10|的值为()A20B30C25D35答案D解析由x2，x9为方程x25x60的两个根，可知x2x95，x1x2x1025，|FP1|FP2|FP10|x1x2x101035.8已知抛物线y2x，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，且直线AB与x轴交于点(a,0)，若AOB为锐角(其中O为坐标原点)，则实数a的取值范围是()A1，)B(1，)C(，1)D(，1答案B解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10y2)，直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为xmya，由得y2mya0，则y1y2m，y1y2a，又因为AOB为锐角，所以x1x2y1y2(y1y2)2y1y20，因为y1y20，所以y1y21.二、填空题9已知直角坐标系中A(2,0)，B(2,0)，动点P满足|PA|PB|，则点P的轨迹方程为_，轨迹为_答案x2y212x40一个圆解析设动点P的坐标为(x，y)，因为|PA|PB|，所以，整理得x2y212x40，轨迹为一个圆10已知P为椭圆1(ab0)上一点，F1，F2是其左、右焦点，F1PF2取最大值时cosF1PF2，则椭圆的离心率为_答案解析易知F1PF2取最大值时，点P为椭圆1与y轴的交点，由余弦定理及椭圆的定义得2a24c2，即ac，所以椭圆的离心率e.11已知抛物线：y28x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点P在上且|PK|PF|，则PKF的面积为_答案8解析由已知得，F(2,0)，K(2,0)，过P作PM垂直于准线，M为垂足，则|PM|PF|，又|PK|PF|，所以|PM|MK|PF|，所以PFx轴，PFK的高等于|PF|，不妨设P(m2,2m)(m0)，则m224，解得m，故PFK的面积S428.12(2019山东潍坊三模)已知双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，左顶点为A，以F为圆心，|FA|为半径的圆交C的右支于M，N两点，且线段AM的垂直平分线经过点N，则C的离心率为_答案解析由题意得A(a,0)，F(c,0)，另一个焦点F(c,0)，由对称性知，|AM|AN|，又因为线段AM的垂直平分线经过点N，则|AN|MN|，可得AMN是正三角形，如图所示，连接MF，则|AF|MF|ac，由图象的对称性可知，MAFNAFMAN30，又因为AMF是等腰三角形，则AFM120，在MFF中，|FF|2|FM|22|FF|FM|cos120|FM|2(|FM|2a)2，即4c2(ac)222c(ac)(3ac)2，整理得3c2ac4a20，即(ca)(3c4a)0，则3c4a0，故e.三、解答题13(2019全国卷)已知曲线C：y，D为直线y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积解(1)证明：设D，A(x1，y1)，则x2y1.因为yx，所以切线DA的斜率为x1，故x1.整理得2tx12y110.设B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.故直线AB的方程为2tx2y10.所以直线AB过定点.(2)由(1)得直线AB的方程为ytx.由可得x22tx10.于是x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，|AB|x1x2|2(t21)设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1，d2.因此，四边形ADBE的面积S|AB|(d1d2)(t23) .设M为线段AB的中点，则M.因为，而(t，t22)，与向量(1，t)平行，所以t(t22)t0，解得t0或t1.当t0时，S3；当t1时，S4.因此，四边形ADBE的面积为3或4.14(2019湖北武汉5月模拟)如图，O为坐标原点，椭圆C：1(ab0)的焦距等于其长半轴长，M，N为椭圆C的上、下顶点，且|MN|2.(1)求椭圆C的方程；(2)过点P(0,1)作直线l交椭圆C于异于M，N的A，B两点，直线AM，BN交于点T.求证：点T的纵坐标为定值3.解(1)由题意可知2ca,2b2，又a2b2c2，则b，c1，a2，故椭圆C的方程为1.(2)证明：由题意知直线l的斜率存在，设其方程为ykx1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x20)，由得(4k23)x28kx80，所以x1x2，x1x2，且x1x2kx1x2，又lBN：yx，lAM：yx，由得，故，整理得，故y3.故点T的纵坐标为3.一、选择题1已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右两个焦点，过点F1作垂直于x轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，ABF2是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(1,2)B(1，)C(1,5)D(，)答案B解析利用双曲线的几何性质求解由等腰ABF2是锐角三角形可得AF2F145，即|AF1|F1F2|，所以|AF1|F1F2|2c，所以b2c2a24a2，离心率e1，所以离心率e的取值范围是(1，)，故选B.2已知椭圆C：1，若直线l经过M(0,1)，与椭圆交于A，B两点，且，则直线l的方程为()Ayx1Byx1Cyx1Dyx1答案B解析依题意，设直线l：ykx1，点A(x1，y1)，B(x2，y2)则由消去y，整理得(9k25)x218kx360，(18k)2436(9k25)0，由此解得k，即直线l的方程为yx1，选B.3已知双曲线E：1，直线l交双曲线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则l的方程为()A4xy10B2xy0C2x8y70Dx4y30答案C解析依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减得，即.又线段AB的中点坐标是，因此x1x221，y1y2(1)22，即直线AB的斜率为，直线l的方程为y1，即2x8y70，选C.4双曲线1(a0，b0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线的离心率e的取值范围是()ABCD答案B解析依题意，双曲线1的渐近线方程为yx，且“右”区域由不等式组所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1，因此题中的双曲线的离心率e，选B.5设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F230，则双曲线C的渐近线方程是()Axy0Bxy0Cx2y0D2xy0答案A解析因为P为右支上一点，由双曲线的定义，可得|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，解得，|PF1|4a，|PF2|2a，且|F1F2|2c，又PF1F230，由余弦定理，可得cos30.则有c23a22ac，即ca，则ba，则双曲线的渐近线方程为yxx，故选A.6P是双曲线C：y21右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|PQ|的最小值为()A1B2C4D21答案D解析设F2是双曲线C的右焦点，因为|PF1|PF2|2，所以|PF1|PQ|2|PF2|PQ|，显然当F2，P，Q三点共线且P在F2，Q之间时，|PF2|PQ|最小，且最小值为F2到直线l的距离易知l的方程为y或y，F2(，0)，可求得F2到l的距离为1，故|PF1|PQ|的最小值为21.选D.7(2019五省名校联考)在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为()ABCD答案C解析如图，连接BQ，则由椭圆的对称性易得PBFQBF，EABEBA，所以EABQBF，所以MEBQ，因为PMEPQB，所以，因为PBFEBO，所以，从而有，又因为M是线段PF的中点，所以e，故选C.8已知抛物线x28y，过点P(b,4)作该抛物线的切线PA，PB，切点为A，B，若直线AB恒过定点，则该定点为()A(4,0)B(3,2)C(0，4)D(4,1)答案C解析设A，B的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，y，y，PA，PB的方程分别为yy1(xx1)，yy2(xx2)，由y1，y2得yxy1，yxy2，因为切线PA，PB都过点P(b,4)，所以4by1,4by2，故可知过A，B两点的直线方程为4xy，当x0时，y4，所以直线AB恒过点(0，4)二、填空题9(2019河北唐山一模)已知抛物线C：y28x的焦点为F，经过点M(2,0)的直线交C于A，B两点，若OABF(O为坐标原点)，则|AB|_.答案解析如图，抛物线C：y28x的焦点为F，经过点M(2,0)的直线交C于A，B两点，由OABF，得A是BM的中点，不妨设B(m，2)，可得A，可得2m4(m2)，解得m4，所以B(4,4)，A(1,2)，所以|AB|.10(2019安徽合肥第二次教学质量检测)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，且F1PF2，若F1关于F1PF2平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为_答案解析F1关于F1PF2平分线的对称点Q在椭圆C上，则|PF1|PQ|，F1PQ60，F1PQ为正三角形，|F1Q|F1P|，又|F1Q|F2Q|F1P|F2P|2a，|F2Q|F2P|，PQx轴，设|PF2|t，则|PF1|2t，|F1F2|t，即即e.11已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在双曲线的右支上，若|AN|BN|12，则a_.答案3解析如图，设MN的中点为P.F1为MA的中点，F2为MB的中点，|AN|2|PF1|，|BN|2|PF2|，又|AN|BN|12，|PF1|PF2|62a，a3.12已知M(5,0)，N(5,0)是平面上的两点，若曲线C上至少存在一点P，使|PM|PN|6，则称曲线C为“黄金曲线”下列五条曲线：1；y24x；1；1；x2y22x30.其中为“黄金曲线”的是_(写出所有“黄金曲线”的序号)答案解析由已知得，点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长2a6的双曲线的右支，可得b2c2a2523216.则双曲线的方程为1(x0)对于，两方程联立，无解，则错误；对于，解得x成立，成立；对于，两方程联立，无解，则错误；对于，两方程联立，无解，则错误；对于，消去y整理得25x218x1710，必有一个正根，成立故所有“黄金曲线”的序号为三、解答题13(2019全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点(1)若POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1PF2，且F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围解(1)连接PF1.由POF2为等边三角形可知在F1PF2中，F1PF290，|PF2|c，|PF1|c，于是2a|PF1|PF2|(1)c，故C的离心率为e1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|2c16，1，1，即c|y|16，x2y2c2，1.由及a2b2c2得y2.又由知y2，故b4.由及a2b2c2得x2(c2b2)，所以c2b2，从而a2b2c22b232，故a4.当b4，a4时，存在满足条件的点P.所以b4，a的取值范围为4，)14(2019湖北四地七校期末)已知点F(0,1)，点A(x，y)(y0)为曲线C上的动点，过A作x轴的垂线，垂足为B，满足|AF|AB|1.(1)求曲线C的方程；(2)直线l与曲线C交于两不同点P，Q(非原点)，过P，Q两点分别作曲线C的切线，两切线的交点为M.设线段PQ的中点为N，若|FM|FN|，求直线l的斜率解(1)由|AF|AB|1得|y|1，化简得曲线C的方程为x24y.(2)由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxb，联立x24y得x24kx4b0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x24k，x1x24b，设N(xN，yN)，则xN2k，yN2k2b，又曲线C的方程为x24y，即y，y，所以过P点的切线斜率为，切线方程为yy1(xx1)，即yxx，同理，过Q点的切线方程为yxx，联立两切线方程可得xM2k，yMx1x2b，所以xMxN，又因为|FM|FN|，所以MN中点纵坐标为1，即2k2bb2，即k21，所以k1，故直线l的斜率为k1.
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