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第2讲不等式选讲考情研析不等式选讲主要考查平均值不等式的应用，绝对值三角不等式的理解及应用、含绝对值不等式的解法、含参不等式解法和恒成立问题以及不等式的证明方法(比较法、综合法、分析法、放缩法)及它们的应用其中绝对值不等式的解法及证明方法的应用是重点难度不大，分值10分，一般会出现在选考部分第二题的位置.核心知识回顾1.绝对值的三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立2|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法(1)|axb|c(c0)caxbc.(2)|axb|c(c0)axbc或axbc.3|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法(1)利用绝对值不等式几何意义求解，体现数形结合思想(2)利用“零点分段法”求解，体现分类讨论思想(3)通过构建函数，利用函数图象求解，体现函数与方程思想4证明不等式的基本方法(1)比较法；(2)综合法；(3)分析法；(4)反证法；(5)放缩法5二维形式的柯西不等式若a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时，等号成立热点考向探究考向1 绝对值不等式的解法及应用角度1绝对值不等式的解法例1(2019乌鲁木齐高三第二次质量检测)已知函数f(x)2|x1|xa|，aR.(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若关于x的不等式f(x)x有实数解，求实数a的取值范围解(1)当a1时，f(x)2|x1|x1|，当x1时，由f(x)0得2(x1)(x1)0，即x30，得x3，此时3x1，当1x1，由f(x)0得2(x1)(x1)0，即3x10，得x，此时1x，当x1时，由f(x)0得2(x1)(x1)0，即x30，得x3，此时无解，综上，不等式的解集为3x.(2)f(x)x2|x2|x|xa|有解，等价于函数y2|x2|x的图象上存在点在函数y|xa|的图象下方，由函数y2|x2|x与函数y|xa|的图象可知，a0或a4.解绝对值不等式的步骤和方法(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤求零点划区间、去绝对值号分别解去掉绝对值的不等式取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值(2)用图象法求解不等式用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法(3)用绝对值不等式的几何意义求解(1)解关于x的不等式x|x4|30；(2)关于x的不等式|x|2|x9|a有解，求实数a的取值范围解(1)原不等式等价于或解得x2或3x1，所以原不等式的解集是(，2)(3，1)(2)令f(x)|x|2|x9|，则关于x的不等式|x|2|x9|f(x)min.f(x)所以f(x)的最小值为9.所以a9，即实数a的取值范围为(9，)角度2绝对值不等式恒成立(或存在性)问题例2(2019德阳市高三第二次诊断)已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a1时，求不等式f(x)x的解集；(2)若f(x)a21恒成立，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)|x1|x2|，即f(x)不等式f(x)x即为或或即有x3或1x1或1x3，得x3或1x3，所以不等式的解集为x|x3或1x3(2)|xa|x2|xax2|a2|，f(x)|a2|，若f(x)a21恒成立，则|a2|a21，即或解得a或a，实数a的取值范围是.解答含参数的绝对值不等式应熟记的几个转化f(x)a恒成立f(x)mina；f(x)a恒成立f(x)maxa有解f(x)maxa；f(x)a有解f(x)mina无解f(x)maxa；f(x)a无解f(x)mina.(2019宣城市高三第二次调研)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)2x1.(1)解关于x的不等式g(x)|x1|；(2)如果xR，不等式|g(x)|c|x1|恒成立，求实数c的取值范围解(1)由题意可得，g(x)2x1，所以g(x)|x1|即2x1|x1|.当x1时，2x1x1，解得x0，所以x1；当x1时，2x11x，解得x，所以x0，b0，函数f(x)|xa|xb|.(1)当a1，b1时，解关于x的不等式f(x)1；(2)若函数f(x)的最大值为2，求证：2.解(1)当a1，b1时，f(x)|x1|x1|当x1时，f(x)21，不等式恒成立，此时不等式的解集为x|x1；当1x1，所以x，此时不等式的解集为；当x1，不等式不成立，此时无解综上所述，不等式f(x)1的解集为.(2)证法一：由绝对值三角不等式可得|xa|xb|ab|，a0，b0，ab2，(ab)2，当且仅当ab1时，等号成立证法二：a0，b0，a0b，函数f(x)|xa|xb|x(a)|xb|结合图象易得函数f(x)的最大值为ab，ab2.(ab)2，当且仅当ab1时，等号成立不等式证明的常用方法(1)不等式的证明常利用综合法、分析法、基本不等式和柯西不等式等，要根据题目特点灵活选用方法(2)证明含绝对值的不等式主要有以下三种方法：利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明利用三角不等式|a|b|ab|a|b|进行证明转化为函数问题，利用数形结合进行证明(2019延安市高考模拟)已知函数f(x)|2x1|，xR.(1)解不等式f(x)|x|1；(2)若对x，yR，有|xy1|，|2y1|，求证：f(x).解(1)因为f(x)|x|1，所以|2x1|x|1，即或或解得x2或0x或.所以不等式的解集为x|0x0，abc1.求证：(1) ；(2).证明(1)由柯西不等式得()2(111)2(121212)()2()2()23，当且仅当，即abc时等号成立， .(2)证法一：(3a1)24，33a.同理得33b，33c，以上三式相加得，493(abc)6，.证法二：由柯西不等式得(3a1)(3b1)(3c1)29，又abc1，69，.柯西不等式的应用方法(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(aaa)(111)2n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件(2019南通市高三下学期模拟)已知a，b，c均为正数，且a2b4c3，求的最小值，并指出取得最小值时a，b，c的值解因为a2b4c3，所以(a1)2(b1)4(c1)10，因为a，b，c为正数，所以由柯西不等式得，(a1)2(b1)4(c1)(12)2，当且仅当(a1)22(b1)24(c1)2等式成立，所以，所以的最小值是，此时a，b，c.真题押题真题模拟1(2019哈尔滨市第六中学高三第二次模拟)设函数f(x)|2x1|2|x1|a.(1)当a4时，求不等式f(x)0的解集；(2)若函数f(x)的定义域为R，求a的取值范围解(1)当a4时，f(x)0为|2x1|2|x1|4，当x1时，12x2x24x；当1x4，无解；当x时，2x12x24x.综上，f(x)0的解集为.(2)由题意得|2x1|2|x1|a恒成立，a(|2x1|2|x1|)min.|2x1|2|x1|2x1|2x2|(2x1)(2x2)|3，a0，b0，且ab2，求证：2.解(1)由f(m)|m1|m1|(m1)(m1)|2，f(m)min2，n22n12，1n3，所以n的取值范围是1,3(2)证明：由(1)可知，22，()2ab224(a1)(b1)8，2，当且仅当ab1时等号成立，2.3(2019全国卷)已知a，b，c为正数，且满足abc1.证明：(1)a2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.证明(1)因为a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，又abc1，故有a2b2c2abbcca.当且仅当abc1时，等号成立所以a2b2c2.(2)因为a，b，c为正数且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333(ab)(bc)(ca)3(2)(2)(2)24.当且仅当abc1时，等号成立所以(ab)3(bc)3(ca)324.金版押题4已知函数f(x)|2x3|x1|.(1)若不等式f(x)a的解集是空集，求实数a的取值范围；(2)若存在x0R，使得2f(x0)t24|t|成立，求实数t的取值范围解(1)f(x)|2x3|x1|yf(x)的图象如图所示，易得f(x)min.不等式f(x)a的解集是空集，a的取值范围为.(2)x0R，使得2f(x0)t24|t|成立，即2f(x)mint24|t|，由(1)知f(x)min，t24|t|50，解得5t5，t的取值范围为5,5配套作业1(2019西安八校高三联考)已知a，b均为实数，且|3a4b|10.(1)求a2b2的最小值；(2)若|x3|x2|a2b2对任意的a，bR恒成立，求实数x的取值范围解(1)因为102(3a4b)2(3242)(a2b2)25(a2b2)，所以a2b24，当且仅当，即或时取等号，即a2b2的最小值为4.(2)由(1)知|x3|x2|a2b2对任意的a，bR恒成立|x3|x2|4或或x3或3xx，所以实数x的取值范围为.2已知函数f(x)|2xa|x1|.(1)当a3时，求不等式f(x)2的解集；(2)若f(x)5x对任意xR恒成立，求实数a的取值范围解(1)当a3时，即求解|2x3|x1|2，当x时，2x3x12，x2；当1x时，32xx12,2x2，x0，无解；当x1时，32x1x2，3x2，x.综上，解集为.(2)f(x)5x恒成立，即|2xa|5x|x1|恒成立，令g(x)5x|x1|则函数图象如图3，a6.3已知函数f(x)|x5|x2|.(1)若xR，使得f(x)m成立，求m的范围；(2)求不等式x28x15f(x)0的解集解(1)f(x)|x5|x2|其对应图象如图所示易知f(x)min3，m3，即m的取值范围为3，)(2)x28x15f(x)x2，x28x180，解集为.2x5，x210x220,5x5.x5，x28x120,5x6.综上所述，不等式的解集为x|5x64(1)解不等式：|2x1|x|1；(2)设f(x)x2x1，实数a满足|xa|1，求证：|f(x)f(a)|2(|a|1)解(1)当x0时，原不等式可化为2xx0，所以x不存在；当0x时，原不等式可化为2xx0，所以0x；当x时，原不等式可化为2x1x1，解得x2，所以x2.综上，原不等式的解集为x|0x2(2)证明：因为|f(x)f(a)|x2xa2a|xa|xa1|xa1|xa2a1|xa|2a1|1|2a|12(|a|1)，所以|f(x)f(a)|2x成立，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)|2x1|x1|由f(x)2，得或或解得x或x或4x2x等价于2x1|ax1|2x，即|ax1|1，所以1ax11，即0ax2.因为x，所以a0，所以a0，又由x，得4，所以4a0，即a的取值范围是4,0)6已知函数f(x)|xm|，m0.(1)当m1时，解不等式f(x)f(x)2x；(2)若不等式f(x)f(2x)1的解集非空，求m的取值范围解(1)当m1时，f(x)f(x)|x1|x1|，设F(x)|x1|x1|当x1时，2x2x，解得x2；当1x1时，22x，解得0x1；当x1时，2x2x，解得x1.综上，原不等式的解集为x|x2或x0(2)f(x)f(2x)|xm|2xm|，m0.设g(x)f(x)f(2x)，当xm时，g(x)mxm2x2m3x，则g(x)m；当mx时，g(x)xmm2xx，则g(x)m；当x时，g(x)xm2xm3x2m，则g(x).则g(x)的值域为，由题知不等式f(x)f(2x)，解得m2，由于m0，故m的取值范围是(2，0)7(2019宝鸡市高考模拟)已知函数f(x)|x2|x3|.(1)求不等式f(x)2的解集；(2)若不等式f(x)2，所以不等式f(x)2的解集为.(2)因为|f(x)|x2|x3|x2x3|5，所以5f(x)5，即f(x)min5；要使不等式f(x)a26a解集非空，需f(x)min0，解得a1，所以a的取值范围为(，5)(1，)8(2019太原市高三模拟)已知函数f(x)|2x1|2|x1|.(1)求不等式f(x)5的解集；(2)若存在实数x0，使得f(x0)5mm2成立的m的最大值为M，且实数a，b满足a3b3M，证明：00，2aba2b2，4ab(ab)2，ab，2a3b3(ab)(a2abb2)(ab)(ab)23ab(ab)3，ab2，0ab2.
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