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考点三复数一、选择题1(2019湖南衡阳三模)已知i是虚数单位，复数iz12i，则复数z在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案C解析复数iz12i，iizi(12i)，z2i，则复数z在复平面内对应的点(2，1)位于第三象限故选C.2(2019山东潍坊5月三模)设复数z满足i，则|z|()A1 B. C3 D5答案B解析i，z1112i，|z|，故选B.3(2019安徽芜湖5月模拟)设复数z满足i，则下列说法正确的是()Az为纯虚数 Bz的虚部为iC.i D|z|答案D解析z1zi，zi，|z|，复数z的虚部为，i，故选D.4(2019全国卷)设复数z满足|zi|1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A(x1)2y21 B(x1)2y21Cx2(y1)21 Dx2(y1)21答案C解析由已知条件，可得zxyi.|zi|1，|xyii|1，x2(y1)21.故选C.5复数z(i为虚数单位)的共轭复数是()A. B.C.i D.i答案C解析由题意，得zi，i.故选C.6已知i为虚数单位，若复数zi(aR)的实部与虚部互为相反数，则a()A5 B1 C D答案D解析ziii，复数zi(aR)的实部与虚部互为相反数，解得a.故选D.7若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z12i，i为虚数单位，则z1z2()A5 B5 C4i D4i答案A解析因为z12i在复平面内的对应点(2,1)关于虚轴(y轴)的对称点为(2,1)，因此z22i，z1z2i245.故选A.8若复数z(ai)2(aR)在复平面内对应的点在虚轴上，则|z|()A1 B3 C2 D4答案C解析由z(ai)2a212ai在复平面内对应的点在虚轴上，知a210，即a1，所以z2i，故|z|2，故选C.二、填空题9若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数的共轭复数是_答案i解析复数i，其共轭复数为i.10(2019湖北部分重点中学联考)_.答案i解析i.11欧拉公式：eixcosxisinx(i为虚数单位)，由瑞士数学家欧拉发明，它建立了三角函数与指数函数的关系，根据欧拉公式，(e)2_.答案1解析由eixcosxisinx得(e)22i21.12已知1bi，其中a，b是实数，则复数abi在复平面内对应的点位于第_象限答案二解析由1bi，得a(1bi)(1i)(b1)(b1)i，即a2，b1，复数abi2i在复平面内对应的点的坐标为(2,1)，位于第二象限三、解答题13如图，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,32i，24i，试求：(1)表示的复数，表示的复数；(2)对角线表示的复数解(1)，表示的复数为32i，表示的复数为32i.(2)，表示的复数为(32i)(24i)52i.14已知z1cosisin，z2cosisin，且z1z2i，求cos()的值解z1cosisin，z2cosisin，z1z2(coscos)i(sinsin)i.由22，得22cos()1.cos().一、选择题1(2019安徽合肥第三次教学质量检测)已知i是虚数单位，复数z满足zzi3i，则复数z的共轭复数为()A12i B12i C2i D2i答案C解析zzi3i可化为z，z2i.z的共轭复数为2i，故选C.2(2019四川双流中学一模)已知点Z1，Z2的坐标分别为(1,0)，(0,1)，若向量对应复数z，则复数z对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案B解析因为点Z1，Z2的坐标分别为(1,0)，(0,1)，所以(1,1)，即复数z对应点位于第二象限，故选B.3(2019山东栖霞高考模拟)已知复数z(ai)(1i)(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线y2x上，则实数a的值为()A0 B1 C1 D答案D解析因为z(ai)(1i)a1(1a)i，对应的点为(a1,1a)，因为点在直线y2x上，所以1a2(a1)，解得a.故选D.4(2019河南十所名校测试七)设复数zai，是其共轭复数，若i，则实数a()A4 B3 C2 D1答案C解析zai，ai，又i，则aii，a2.5(2019北京昌平二模)已知复数z1a(1i)(i为虚数单位，a为实数)在复平面内对应的点位于第二象限，则复数z的虚部可以是()Ai B.i C D.答案D解析因为z1a(1i)(a1)ai，所以即0a1，故选D.6设有下面四个命题：p1：若复数z满足R，则zR；p2：若复数z满足z2R，则zR；p3：若复数z1，z2满足z1z2R，则z12；p4：若复数zR，则R.其中的真命题为()Ap1，p3 Bp1，p4 Cp2，p3 Dp2，p4答案B解析设zabi(a，bR)，z1a1b1i(a1，b1R)，z2a2b2i(a2，b2R)对于p1，若R，即R，则b0zabiaR，所以p1为真命题对于p2，若z2R，即(abi)2a22abib2R，则ab0.当a0，b0时，zabibi/ R，所以p2为假命题对于p3，若z1z2R，即(a1b1i)(a2b2i)(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)iR，则a1b2a2b10.而z12，即a1b1ia2b2ia1a2，b1b2.因为a1b2a2b10/ a1a2，b1b2，所以p3为假命题对于p4，若zR，即abiR，则b0abiaR，所以p4为真命题，故选B.7下面四个命题中，复数zabi(a，bR)的实部、虚部分别是a，b；复数z满足|z1|z2i|，则z对应的点构成一条直线；由向量a的性质|a|2a2，可类比得到复数z的性质|z|2z2；i为虚数单位，则1ii2i20201.正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3答案D解析复数zabi(a，bR)的实部为a，虚部为b，故正确；设zabi(a，bR)，由|z1|z2i|计算得2a4b30，故正确；设zabi(a，bR)，当b0时，|z|2z2不成立，故错误；1ii2i20201，故正确8已知复平面内，定点M与复数m12i(i为虚数单位)对应，动点P与zxyi对应，那么满足|zm|2的点P的轨迹方程为()A(x1)2(y2)22 B(x1)2(y2)24C(x1)2(y2)22 D(x1)2(y2)24答案B解析由题意，知在复平面内，zm对应的点为(x1，y2)则由|zm|2，得2，即(x1)2(y2)24，故选B.二、填空题9(2019广东韶关4月模拟)已知是z的共轭复数，且满足(1i)4(其中i是虚数单位)，则|z|_.答案2解析由(1i)4，得，22i，|z|2.10(2019天津北辰模拟)用Re(z)表示复数z的实部，用Im(z)表示复数z的虚部，若已知复数z满足(1i)73i，其中是复数z的共轭复数，则Re(z)Im(z)_.答案3解析由题意得，25i，z25i，则Re(z)Im(z)253.11若2i是关于x的实系数方程x2bxc0的一个复数根，则bc_.答案20解析把复数根2i代入方程中，得(2i)2b(2i)c0，即32bc(4b)i0，所以解得故bc20.12定义复数的一种新运算z1z2(等式右边为普通运算)若复数zxyi，i为虚数单位，且实数x，y满足xy2，则z的最小值为_答案2解析z|z|.由于xy2，所以z ，故x时，z取最小值2.三、解答题13设虚数z满足|2z15|10|.(1)计算|z|的值；(2)是否存在实数a，使R？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由解(1)设zabi(a，bR且b0)，则abi，|2z15|10|，|(2a15)2bi|(a10)bi|， ，a2b275，|z|5.(2)假设存在实数a，使R.设zcdi(c，dR且d0)，则有iiR，0，d0，a，由(1)知 5，a5.14(2019辽宁省鞍山一中一模)设z1为关于x的方程x2mxn0，m，nR的虚根，i为虚数单位(1)当z1i时，求m，n的值；(2)若n1，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数24i所对应的点为Q，试求|PQ|的取值范围解(1)因为z1i，所以z1i，则i2min0，易得(2)设zabi(a，bR)，则(a1bi)2m(a1bi)10，于是因为b不恒为零，所以由得m2(a1)，代入得，(a1)2b21，其几何意义是以(1,0)为圆心，1为半径的圆，即P是圆上任意一点又复数24i对应的点为Q，所以|PQ|的最大值为16，|PQ|的最小值为4.所以|PQ|的取值范围是4,6
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