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第3讲数列的综合问题考情研析1.从具体内容上，数列的综合问题，主要考查：数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围2.从高考特点上，常在选填题型的最后两题及解答题第17题中出现，分值一般为58分.核心知识回顾数列综合应用主要体现在以下两点：(1)以数列知识为纽带，在数列与函数、方程、不等式、解析几何的交汇处命题，主要考查利用函数观点、不等式的方法解决数列问题，往往涉及与数列相关的不等式证明、参数的范围等(2)以数列知识为背景的新概念、创新型问题，除了需要用到数列知识外，还要运用函数、不等式等相关知识和方法，特别是题目条件中的“新知识”是解题的钥匙，此类问题体现了即时学习，灵活运用知识的能力热点考向探究考向1 数列与函数的综合问题例1(2019上海市青浦区高三二模)已知函数f(x)x2axb(a，bR)，且不等式|f(x)|2019|2xx2|对任意的x0,10都成立，数列an是以7a为首项，公差为1的等差数列(nN*)(1)当x0,10时，写出方程2xx20的解，并写出数列an的通项公式(不必证明)；(2)若bnan an (nN*)，数列bn的前n项和为Sn，对任意的nN*，都有Sn0可得Sn，由Sn0且2Snaan(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)若an0，令bn，数列bn的前n项和为Tn，若Tn0，ann，bn2，Tn2233，若Tnm恒成立，则m3，又mZ，mmin3. (1)数列中的不等式证明，大多是不等式的一端为一个数列的前n项和，另一端为常数的形式，证明的关键是放缩：如果不等式一端的和式可以通过公式法、裂项法、错位相减法求得，则先求和再放缩；如果不等式一端的和式无法求和，则要通过对数列通项的合适放缩使之能够求和，这时先放缩再求和，最后再放缩(2)注意放缩的尺度：如，. (2019安徽黄山高三第二次质检)已知数列的前n项和Snn，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn，数列bn的前n项和为Tn，求证：对于任意的nN*，都有Tn1.解(1)因为Snn，当n2时，Sn1n1，由，得1，故ann1又因为a12适合上式，所以ann1(nN*)(2)证明：由(1)知，bn，Tn1，所以Tn的最小的n值解(1)设等差数列an的公差为d，由S10120得10a145d120,2a19d24，由a2a1，a4a2，a1a2成等比数列，得d(2a1d)4d2且d0，2a13d，a13，d2，等差数列an的通项公式为ana1(n1)d3(n1)22n1.(2)Snna1n(n2)，Tn，由Tn得60，n的最小值为14.2(2019河北衡水中学高三下学期一调)已知数列an的前n项和Sn满足0，a11.(1)求数列an的通项公式；(2)在数列an的前100项中，是否存在两项am，at(m，tN*，且mt)，使得，三项成等比数列？若存在，求出所有的m，t的取值；若不存在，请说明理由解(1)因为0，所以1，所以1(n1)n，所以Snn2.当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1.又2111a1，所以an2n1(nN*)(2)若，三项成等比数列，则2，即2，即(2m1)23(2t1)因为t100，所以(2m1)2597，又mN*，所以2m124，所以m12.又2m1为3的奇数倍，所以m2,5,8,11，验证得3(2019浙江高考)设等差数列an的前n项和为Sn，a34，a4S3.数列bn满足：对每个nN*，Snbn，Sn1bn，Sn2bn成等比数列(1)求数列an，bn的通项公式；(2)记cn，nN*，证明：c1c2cn2，nN*.解(1)设数列an的公差为d，由题意得解得从而an2n2，nN*.所以Snn2n，nN*.由Snbn，Sn1bn，Sn2bn成等比数列，得(Sn1bn)2(Snbn)(Sn2bn)解得bn(SSnSn2)所以bnn2n，nN*.(2)证明：cn，nN*.我们用数学归纳法证明当n1时，c102，不等式成立；假设当nk(kN*)时不等式成立，即c1c2ck2.那么，当nk1时，c1c2ckck12 2 222()2，即当nk1时不等式也成立根据和，不等式c1c2cn2对任意nN*成立金版押题4已知函数f(x)cosxsinx(xR)的所有正的零点构成递增数列an(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设bnn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)f(x)cosxsinx2cos，由题意令xk(kZ)，解得xk(kZ)又函数f(x)的所有正的零点构成递增数列an，所以an是以为首项，1为公差的等差数列，所以ann(nN*)(2)由(1)知bnnnn，则Tn112233(n1)n1nn，Tn122334(n1)nnn1，得，Tn23nnn1nn11(n2)n1，所以Tn2(n2)n.配套作业1.(2019北京市海淀区高三4月模拟)已知等差数列an的公差d2，且a2a52，an的前n项和为Sn.(1)求an的通项公式；(2)若Sm，a9，a15成等比数列，求m的值解(1)因为a5a22，d2，所以2a15d2a1102，所以a14，所以an2n6.(2)Smm25m，又a912，a1524，因为Sm，a9，a15是等比数列，所以aSma15，所以m25m60，m6或m1，因为mN*，所以m6.2设数列an的前n项和是Sn，若点An在函数f(x)xc的图象上运动，其中c是与x无关的常数，且a13.(1)求数列an的通项公式；(2)记bnaan，求数列bn的前n项和Tn的最小值解(1)因为点An在函数f(x)xc的图象上运动，所以nc，所以Snn2cn.因为a13，所以c4，所以Snn24n，所以anSnSn12n5(n2)又a13满足上式，所以an2n5(nN*)(2)由(1)知，bnaan2an52(2n5)54n5，所以bn为等差数列，所以Tn2n23n，当n1时，Tn取最小值，所以Tn的最小值是T11.3(2019广东东莞高三二调)已知数列an满足a23，an12an1，设bnan1.(1)求a1，a3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求a1a3a5a2n1.解(1)数列an满足a23，an12an1，当n1时，a22a11，解得a11.当n2时，解得a37.(2)当n1时，b12，所以2(常数)，则数列bn是以2为首项，2为公比的等比数列(3)由(1)和(2)得an2n1，所以a1a3a2n1(212322n1)(n1)(n1).4已知数列an的前n项和为Sn，若a1，3Sn1Sn1.(1)求数列an的通项公式；(2)若bnlogan，数列anbn的前n项和为Tn，求Tn.解(1)当n1时，3S2，a2，3a2a1；当n2时，3SnSn11，3an1an(n2)，故数列an是以为首项，为公比的等比数列，则ann1n.(2)由(1)知bnlogann，则anbnnn.从而Tn122(n1)n1nn，Tn1223(n1)nnn1，由得，Tn2nnn1nn1，因此Tn(2n3)n.5(2019衡水第二中学高三上学期期中)已知等差数列an与公比为正数的等比数列bn满足b12a12，a2b310，a3b27.(1)求an，bn的通项公式；(2)若cn，求数列cn的前n项和Sn.解(1)由题意a11，b12.设公差为d，公比为q，则解得故ana1(n1)dn，bnb1qn12n.(2)因为cn，所以cn，故Sn.6设等差数列an的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)2x的图象上(nN*)(1)若a12，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列an的前n项和Sn；(2)若a11，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2，求数列的前n项和Tn.解(1)由已知得，b72 a7，b82 a84b7，有2 a842 a72a72.所以da8a72.所以，Snna1d2nn(n1)n23n.(2)f(x)2xln 2，f(a2)2 a2ln 2，故函数f(x)2x的图象在(a2，b2)处的切线方程为y2a22a2ln 2(xa2)，它在x轴上的截距为a2.由题意得，a22，解得a22.所以da2a11.从而ann，bn2n，.所以Tn，2Tn.因此，2TnTn12.所以，Tn.7(2019安徽六安第一中学高三模拟)已知a，b，c分别为ABC的三内角A，B，C的对边，其面积S，B60，a2c22b2，在等差数列an中，a1a，公差db.数列bn的前n项和为Tn，且Tn2bn10，nN*.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)若cnanbn，求数列cn的前n项和Sn.解(1)SacsinBac，ac4，又a2c22b2，b2a2c22accosB，b2ac4，b2，从而(ac)2a2c22ac16，得ac4，ac2，故可得an22(n1)2n.Tn2bn10，当n1时，b11；当n2时，Tn12bn110，得bn2bn1(n2)，数列bn为等比数列，bn2n1.(2)由(1)得cn2n2n1n2n，Sna1b1a2b2anbn121222323n2n，2Sn122223324n2n1，得Sn121(22232n)n2n1，即Sn(1n)2n12，Sn(n1)2n12.8(2019贵州凯里第一中学高三下学期模拟)在等差数列an中，已知a3a484a5，a836.(1)求数列an的通项公式an；(2)记Sn为数列an的前n项和，求的最小值解(1)由a3a484a5，得a428，由得即数列an的通项公式为an22(n1)22n20.(2)由(1)得，Sn22n2n221n，n21，令f(x)x21，nN*，f(x)1，当x(0,2)时，f(x)0，则f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，又nN*，f(4)f(5)30，当n4或5时，f(n)取到最小值30，即的最小值为30.数列类解答题(12分)已知各项均不为零的数列an的前n项和为Sn，且对任意的nN*，满足Sna1(an1)(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn满足anbnlog2an，数列bn的前n项和为Tn，求证：Tn.解题思路(1)根据SnSn1an(n2)及递推关系式化简得an和an1的关系式，从而求出an；(2)采用错位相减法求Tn，从而证明结论解(1)当n1时，a1S1a1(a11)aa1，a10，a14.(2分)Sn(an1)，当n2时，Sn1(an11)，两式相减得an4an1(n2)，(4分)数列an是首项为4，公比为4的等比数列，an4n.(6分)(2)证明：anbnlog2an2n，bn，(7分)Tn，Tn，(8分)两式相减得Tn22.(10分)Tn.(12分)1正确求出a1的值给2分2利用an与Sn的关系构造等比数列给2分3写出数列an的通项公式给2分4求出数列bn的通项公式给1分5采取错位相减法给1分6两式相减后的正确化简计算给2分7放缩法证明不等式给2分1由an与Sn的关系求通项公式，易忽略条件n2而出错2错位相减法中两式相减后，一定成等比数列的有n1项，整个式子共有n1项3放缩法证明不等式时，要注意放缩适度，放的过大或过小都不能达到证明的目的跟踪训练(2019沈阳模拟)(12分)设Sn为数列an的前n项和，a11，San(n2)(1)求Sn；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)当n2时，由San得，S(SnSn1)，整理得，Sn1Sn2Sn1Sn2，(3分)又1，数列是以2为公差、以1为首项的等差数列，则12(n1)，故Sn.(6分)(2)由(1)知，bn，(9分)Tn.(12分)
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