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考点六不等式及线性规划 一、选择题1若abBCacbcDa2b2答案A解析由ab0得0，故A正确；由ab0，得aab0，即0时，由ab0，得acbc，故C错误；由ab|b|，即a2b2，故D错误故选A.2(2019安徽六安舒城中学模拟)集合P，Qx|y，则PQ()A(1,2B1,2C(，3)(1，)D1,2)答案A解析因为Px|x1，Qx|4x20x|2x2，所以PQ(1,23已知点A(3，1)与点B(4，6)在直线3x2ya0的两侧，则实数a的取值范围是()A(24,7)B(7,24)C(，24)(7，)D(，7)(24，)答案B解析由题意可得(92a)(1212a)0，所以7a24.故选B.4如果关于x的不等式x2axb的解集是x|1x3，那么ba等于()A81B81C64D64答案B解析不等式x2axb可化为x2axb0，其解集为x|1x3，所以1,3是方程x2axb0的根，所以解得所以ba(3)481.5设x，y满足约束条件则目标函数zxy取最小值时的最优解是()A(6,0)B(3,0)C(0,6)D(2,2)答案B解析作出表示的可行域(如图，三角形ABC内部及边界即为所作可行域)，由图知平移yxz至B点处达到最小值，联立解得即B(3,0)，目标函数zxy取最小值时的最优解是(3,0)故选B.6下列函数中，最小值是4的函数是()AyxBysinx(0x)Cyex4exDylog3xlogx81答案C解析当x0时，yx4，排除A；0x，0sinx1.ysinx4，但sinx无解，排除B；ex0，yex4ex4.等号在ex，即ex2时成立xln 2，C正确；若0x1，则log3x0，logx810，排除D.故选C.7已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围为()ABCD答案D解析对于任意xm，m1，都有f(x)0，所以解得m0，即实数m的取值范围是.8(2019安徽宣城期末)若实数x，y满足则(x1)2y2的最小值为()A2BC8D10答案C解析作出可行域如图中阴影部分所示，(x1)2y2的几何意义为可行域内的动点与定点(1，0)的距离的平方，由图可知，最小值为点(1，0)到直线xy3的距离的平方，即28.故选C.二、填空题9已知变量x，y满足约束条件则zx2y的最小值是_答案3解析画出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，则直线yx经过A点时z最小，由得A(1,1)，所以zmin1213.10不等式2的解集是_答案(1,3解析20等价于0等价于等价于x3且x1.所以原不等式的解集为(1,311(2019江苏沭阳期中调研)有下面四个不等式：a2b2c2abbcca；a(1a)；2；.其中恒成立的有_个答案2解析因为2(a2b2c2)2(abbcca)(ab)2(bc)2(ca)20，所以a2b2c2abbcca成立，正确；因为a(1a)a2a2，所以正确；当a，b同号时，有2，当a，b异号时，2，所以错误；ab0时，不成立其中恒成立的个数是2个12已知f(x)ax2bx,1f(1)2,2f(1)4，则f(2)的取值范围为_答案5,10解析解法一：设f(2)mf(1)nf(1)(m，n为待定系数)，则4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b.则解得f(2)3f(1)f(1)，又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.解法二：由确定的平面区域如图中阴影部分所示，当f(2)4a2b过点A时，取得最小值425，当f(2)4a2b过点B(3,1)时，取得最大值432110，所以5f(2)10.三、解答题13已知函数f(x)(a，b为常数)(1)若b1，解不等式f(x1)恒成立，求b的取值范围解(1)f(x)，b1，f(x)，f(x1)，f(x1)0，0，等价于xx(1a)0，即a1时，不等式的解集为(0,1a)；当1a0，即a1时，不等式的解集为；当1a1时，不等式的解集为(1a,0)(2)a1，f(x)，(xb)(x1)1，()显然xb，易知当x1时，不等式()显然成立；当1x1，x10，(x1)22，当且仅当x0时，等号成立，故b1.xb0，xb，而b1,2，故b1.综上所述，b1.14电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使收视人次最多？解(1)由已知，x，y满足的数学关系式为即该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z60x25y.将z60x25y变形为yx，这是斜率为，随z变化的一组平行直线，为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z60x25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大解方程组得点M的坐标为(6,3)所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时，才能使总收视人次最多一、选择题1(2019河北石家庄模拟一)设变量x，y满足约束条件则目标函数zx3y的最小值为()A6B8C4D3答案C解析由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示联立解得A(2,2)，化目标函数zx3y为y，由图可知，当直线y过A时，直线y在y轴上的截距最小，z有最小值为4.故选C.2(2019广东六校第四次联考)若x，y满足则|xy|的最大值为()A4B2C1D0答案A解析不等式组对应的可行域如图中阴影部分所示，令zxy，则yxz，当直线yxz经过点B(2，2)时，直线的纵截距z最小，|z|4，当直线过点A(1，1)时，纵截距z最大，|z|2，故选A.3(2019安徽合肥第三次质检)若直线yk(x1)与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数k的取值范围是()A(，1B0,2C2,1D(2,2答案B解析画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，直线yk(x1)过定点A(1,0)，要使得直线yk(x1)与不等式组表示的平面区域有公共点，则0kkAC，kAC2，k0,2故选B.4(2019河南重点高中4月联合质检)已知实数x，y满足约束条件则目标函数z2y3x的取值范围是()ABCD答案A解析作出约束条件表示的可行域如图中阴影区域所示，求得点A的坐标是，点B的坐标是，由z2y3x，得yx，平移直线yx，当直线z2y3x经过点A时，z223，当直线z2y3x经过点B时，z23，所以z的取值范围是.故选A.5(2019河北衡水质检四)设x，y满足约束条件则下列恒成立的是()Ax3By4C2xy10D的最小值为1答案D解析可行域如图阴影部分，其中A(2,3)，显然A，B，C选项都不成立，表示可行域内点到点(0,1)的斜率，由图可得最小值为1，故选D.6(2019福建龙岩质检)已知x0，y0，且，则xy的最小值为()A3B5C7D9答案C解析由xy(x1)y1(x1)y11(x1)y2121347.当且仅当x3，y4时取得最小值7.故选C.7已知实数x，y满足条件若zyax取得最大值时的最优解有且只有一个，则实数a的取值集合为()A2，1BaR|a2CaR|a1DaR|a2且a1答案D解析不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示由zaxy得yaxz，若a0，直线yaxz可化为yz，此时取得最大值时的最优解有且只有一个满足条件若a0，则直线yaxz的纵截距最大时，z取得最大值，若zyax取得最大值时的最优解有且只有一个，则a2.若a0，则直线yaxz的纵截距最大时，z取得最大值，若zyax取得最大值时的最优解有且只有一个，则a1.故选D.8设0b(ax)2的解集中的整数恰有4个，则的取值范围为()A(3,4B(3,4)C(2,3D(2,3)答案A解析整理不等式得(1a)xb(1a)xb0，因为整数解只有4个，且1a0，可得1a1.其解集为，又0b1a，所以1，欲使解集中的整数只有4个，则43，所以(3,4二、填空题9若不等式x2ax40对一切x(0,1恒成立，则a的取值范围是_答案5，)解析由题意得，a，设f(x)，x(0,1，则只要af(x)max，由于函数f(x)在(0,1上单调递增，所以f(x)maxf(1)5，故a5.10(2019河北衡水中学模拟)已知实数x，y满足且m，则实数m的取值范围为_答案2,7解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示m13，可看作(x，y)与(1，1)连线的斜率，观察图象可知，kPCkPB，即2，所以2m7.11已知正数a，b满足a2ab30，则4ab的最小值为_答案6解析因为正数a，b满足a2ab30，所以3a(ab)9，则4ab3a(ab)226，当且仅当3aab时等号成立此时由解得所以4ab的最小值为6.12某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A，B的利润之和的最大值为_元答案216000解析设生产产品A，B分别为x，y件，利润之和为z元，那么目标函数z2100x900y，二元一次不等式组等价于 作出二元一次不等式组表示的平面区域如图中阴影部分将z2100x900y变形，得yx，当直线yx经过点M时，z取得最大值解方程组得点M(60,100)所以当x60，y100时，zmax210060900100216000.故生产产品A，B的利润之和的最大值为216000元三、解答题13某地需要修建一条大型输油管道通过240 km宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km的相邻两增压站之间的输油管道的费用为(x2x)万元设余下工程的总费用为y万元(1)试将y表示成x的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？解(1)设需要修建k个增压站，则(k1)x240，即k1.所以y400k(k1)(x2x)400(x2x)240x160.因为x表示相邻两增压站之间的距离，所以0x240.故y与x的函数关系是y240x160(0x240)(2)y240x1602160248001609440，当且仅当240x，即x20时等号成立，此时k1111.故需要修建11个增压站才能使y最小，其最小值为9440万元14(2019全国卷)已知a，b，c为正数，且满足abc1.证明：(1)a2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.证明(1)因为a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，又abc1，故有a2b2c2abbcca.当且仅当abc1时，等号成立所以a2b2c2.(2)因为a，b，c为正数且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333(ab)(bc)(ca)3(2)(2)(2)24.当且仅当abc1时，等号成立所以(ab)3(bc)3(ca)324.
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