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考点十八概率一、选择题1同时抛掷3枚硬币，那么互为对立事件的是()A“至少有1枚正面”与“最多有1枚正面”B“最多有1枚正面”与“恰有2枚正面”C“至多有1枚正面”与“至少有2枚正面”D“至少有2枚正面”与“恰有1枚正面”答案C解析两个事件是对立事件必须满足两个条件：不同时发生，两个事件的概率之和等于1.故选C.2随机向边长为10，10，12的三角形中投一点M，则点M到三个顶点的距离都不小于的概率是()A. B. C. D.答案C解析分别以三角形的三个顶点为圆心，为半径作圆，则在三角形内部，且在三圆外部的区域即为与三角形三个顶点距离不小于的部分，故所求概率P1，故选C.3(2019四川成都七中5月模拟)据孙子算经中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级若给有巨大贡献的2人进行封爵，则两人不被封同一等级的概率为()A. B. C. D.答案C解析由题意知，基本事件的总数有25种情形，两人被封同一等级的方法种数有男、子、伯、侯、公，共5种情形，故所求事件的概率为1.4. (2019晋冀鲁豫中原名校第三次联考)1876年4月1日，加菲尔德在新英格兰教育日志上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形ABCD中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明，就把这一证明方法称为“总统证法”如图，设BEC15，在梯形ABCD中随机取一点，则此点取自等腰直角CDE中(阴影部分)的概率是()A. B. C. D.答案C解析在直角BCE中，accos15，bcsin15，则P，故选C.5(2019山西晋城三模)在0,20中任取一实数作为x，则使得不等式log (x1)4成立的概率为()A. B. C. D.答案B解析log (x1)4log (x1)log160x1161x|b|的概率是()A. B. C. D.答案C解析ma(2m，2m)，若|ma|b|，则 ，得m.所以|ma|b|的概率是P.故选C.2(2019全国卷)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A. B. C. D.答案D解析设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“”的情况)共有12种，故所求概率为.故选D.3一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x，y，z，当且仅当yx，yz时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合1,2,3,4中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为()A. B. C. D.答案B解析从集合1,2,3,4中取出三个不相同的数组成一个三位数共有24个结果：123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432，且这24种结果发生的可能性是相等的其中是“凸数”的是132,142,143,231,241,243,341,342，共8个结果，所以这个三位数是“凸数”的概率为，故选B.4. 下图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为()A8 B9 C10 D12答案B解析根据面积之比与点数之比相等的关系，得黑色部分的面积S449，故选B.5(2019河南郑州第三次质检)关于圆周率，数学发展史上出现过很多有创意的求法，如著名的蒲丰试验，受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计的值，试验步骤如下：先请高二年级n名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(x，y)(0x1,0y1)；若卡片上的x，y能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；统计上交的卡片数，记为m；根据统计数n，m估计的值那么可以估计的值约为()A. B. C. D.答案C解析由题意，实数对(x，y)(0x1,0y1)，即面积为1.且卡片上的x，y能与1构成锐角三角形，即满足x2y21，且所以面积为1，所以x，y能与1构成锐角三角形的概率为1，由题，n张卡片上交m张，即1，故选C.6(2019湖南师大附中模拟三)若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为()A0.18 B0.32 C0.36 D0.64答案C解析设305路车和202路车的进站时间分别为x，y，设所有基本事件为W：“进站时间的间隔不超过2分钟”为事件A，则A(x，y)|0x10，0y10，|xy|2，画出不等式表示的区域如图中阴影区域，则S10108836，则P(A)0.36，故选C.7. (2019北京师大附中模拟三)剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形(即图中阴影部分)，构成树叶状图形的圆弧均相同若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A2 B4 C. D.答案B解析设圆的半径为r，如图所示，12片树叶是由24个相同的弓形组成，且弓形AmB的面积为S弓形r2r2sinr2r2.所求的概率为P4，故选B.8在圆x2y24上任取一点，则该点到直线xy20的距离d0,1的概率为()A. B. C. D.答案C解析圆心(0,0)到直线xy20的距离为2，所以该直线与圆相切设切点为D，如图，作与直线xy20平行的直线交圆于点A，B，且O到直线AB的距离OC1，而OA2，所以AOB.所以劣弧的长度为2，而圆的周长为4，所以在圆x2y24上任取一点，该点到直线xy20的距离d0,1的概率为.二、填空题9给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是_答案解析给三人打电话的不同顺序有6种等可能的结果，其中第一个给甲打电话的结果有2种，故所求概率为P.10袋中有大小、质地相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球，若摸出红球，得2分，摸出黑球，得1分，则3次摸球所得总分至少是4分的概率是_答案解析所有基本事件为(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)，共计8个，这8种情况发生的可能性是相等的可求对立事件“总分少于4分”即“三黑”的概率为，所以所求概率P1.11从区间2,2中随机选取一个实数a，则函数f(x)4xa2x11有零点的概率是_答案解析令t2x，函数有零点就等价于方程t22at10有正根，进而可得a1，又a2,2，所以函数有零点的实数a应满足a1,2，故P.12某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是_答案解析设甲、乙、丙分别领到x元、y元、z元，记为(x，y，z)则基本事件有：(1,1,5)，(1,5,1)，(5,1,1)，(1,2,4)，(1,4,2)，(2,1,4)，(2,4,1)，(4,1,2)，(4,2,1)，(2,2,3)，(2,3,2)，(3,2,2)，(3,3,1)，(3,1,3)，(1,3,3)，共15种，这15种情况发生的可能性是相等的其中“甲领取的钱数不少于其他任何人”所含的基本事件有：(5,1,1)，(4,1,2)，(4,2,1)，(3,2,2)，(3,3,1)，(3,1,3)，共6种，所以所求概率P.三、解答题13(2019湖南长郡中学模拟) 据了解，大学英语四级改革的一项重要内容就是总分改为710分，每个考生会有一个成绩，不再颁发“合格证”这也意味着，不再有“及格”一说大学英语四级考试成绩在425分及以上的考生可以报考大学英语六级考试，英语四级成绩在550分及以上的考生可以报考口语如图是从某大学数学专业40人的英语四级成绩中随机抽取8人的成绩的茎叶图：(1)根据这8人的英语四级成绩，估计该大学数学专业英语四级考试成绩的平均数和中位数；(2)在这8人中，从可以报考大学英语六级考试的学生中任取2人，求这2人都可以报考口语的概率解(1)这8人的英语四级成绩的平均数为(386410450485520564575610)8500，这8人的英语四级成绩的中位数为(485520)2502.5，由此可估计该大学数学专业英语四级考试成绩的平均数为500分，中位数为502.5分(2)设可以报考大学英语六级考试但不能报考口语的3人为A1，A2，A3，可以报考口语的3人为B1，B2，B3，从这6人中任取2人，全部情况为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15种，这15种情况发生的可能性是相等的这2人都可以报考口语的情况为(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共3种，则这2人都可以报考口语的概率P.
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