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课时作业47直线与圆、圆与圆的位置关系1若直线xmy2m与圆x2y22x2y10相交，则实数m的取值范围为(D)A(，) B(，0)C(0，) D(，0)(0，)解析：圆的标准方程为(x1)2(y1)21，圆心C(1,1)，半径r1.因为直线与圆相交，所以dr1.解得m0或m0，故选D.2平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是(A)A2xy50或2xy50B2xy0或2xy0C2xy50或2xy50D2xy0或2xy0解析：切线平行于直线2xy10，故可设切线方程为2xyc0(c1)，结合题意可得，解得c5.故选A.3若a2b22c2(c0)，则直线axbyc0被圆x2y21所截得的弦长为(D)A. B1C. D.解析：因为圆心(0,0)到直线axbyc0的距离d，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于，所以弦长为.4过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|(C)A2 B8C4 D10解析：方法一：设圆的方程为x2y2DxEyF0，将点A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的坐标代入得方程组解得所以圆的方程为x2y22x4y200，即(x1)2(y2)225，所以|MN|24.方法二：因为kAB，kBC3，所以kABkBC1，所以ABBC，所以ABC为直角三角形，所以ABC的外接圆圆心为AC的中点(1，2)，半径r|AC|5，所以|MN|24.方法三：由0得ABBC，下同方法二5(2019湖北四地七校联考)若圆O1：x2y25与圆O2：(xm)2y220相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是(B)A3 B4C2 D8解析：连接O1A、O2A，如图，由于O1与O2在点A处的切线互相垂直，因此O1AO2A，所以O1OO1A2O2A2，即m252025，设AB交x轴于点C.在RtO1AO2中，sinAO2O1，在RtACO2中，ACAO2sinAO2O122，AB2AC4.故选B.6(2019山西太原五中模拟)已知kR，点P(a，b)是直线xy2k与圆x2y2k22k3的公共点，则ab的最大值为(B)A15 B9C1 D解析：由题意得，原点到直线xy2k的距离d，且k22k30，解得3k1，因为2ab(ab)2(a2b2)4k2(k22k3)3k22k3，所以当k3时，ab取得最大值9，故选B.7(2019河南郑州外国语中学调研)已知圆C1：(x2a)2y24和圆C2：x2(yb)21只有一条公切线，若a，bR且ab0，则的最小值为(D)A2 B4C8 D9解析：由题意可知，圆C1的圆心为(2a,0)，半径为2，圆C2的圆心为(0，b)，半径为1，因为两圆只有一条公切线，所以两圆内切，所以21，即4a2b21.所以(4a2b2)5529，当且仅当，且4a2b21，即a2，b2时等号成立，所以的最小值为9，故选D.8在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y2x4，设圆C的半径为1，圆心在l上若圆C上存在点M，使MA2MO，则圆心C的横坐标a的取值范围是(A)A. B0,1C. D.解析：因为圆心在直线y2x4上，所以圆C的方程为(xa)2y2(a2)21.设点M(x，y)，因为MA2MO，所以2，化简得x2y22y30，即x2(y1)24，所以点M在以D(0，1)为圆心，2为半径的圆上由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|21|CD21，即13.由1得5a212a80，解得aR；由3得5a212a0，解得0a.所以点C的横坐标a的取值范围为.故选A.9已知圆C1：x2y22x10y240和圆C2：x2y22x2y80，则两圆的公共弦长为2.解析：两式相减整理得x2y40，即为两圆公共弦所在直线的方程解法一：设两圆相交于点A，B，则A，B两点的坐标满足方程组解得或所以|AB|2，即公共弦长为2.解法二：由x2y22x10y240，得圆心坐标为(1，5)，半径r5.圆心到直线x2y40的距离d3，设两圆的公共弦长为l，由r2d22，得l222，即两圆的公共弦长为2.10(2019湖南湘中名校联考)已知m0，n0，若直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)2(y1)21相切，则mn的取值范围是22，)解析：因为m0，n0，直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)2(y1)21相切，所以圆心C(1,1)到直线的距离为半径1，所以1，即|mn|.两边平方并整理得mnmn1.由基本不等式mn2可得mn12，即(mn)24(mn)40，解得mn22.当且仅当mn时等号成立11(2019广东深圳联考)如图，直角三角形ABC的顶点A的坐标为(2,0)，直角顶点B的坐标为(0，2)，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点(1)求BC边所在直线方程；(2)若M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；(3)在(2)的条件下，若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心的轨迹方程解：(1)易知kAB，ABBC，kCB，BC边所在直线方程为yx2.(2)由(1)及题意得C(4,0)，M(1,0)，又AM3，外接圆M的方程为(x1)2y29.(3)圆N过点P(1,0)，PN是动圆的半径，又动圆N与圆M内切，MN3PN，即MNPN3，点N的轨迹是以M，P为焦点，长轴长为3的椭圆P(1,0)，M(1,0)，a，c1，b，所求轨迹方程为1，即1.12(2019河北武邑中学模拟)已知H被直线xy10，xy30分成面积相等的四部分，且截x轴所得线段的长为2.(1)求H的方程；(2)若存在过点P(a,0)的直线与H相交于M，N两点，且|PM|MN|，求实数a的取值范围解：(1)设H的方程为(xm)2(yn)2r2(r0)，因为H被直线xy10，xy30分成面积相等的四部分，所以圆心H(m，n)一定是两互相垂直的直线xy10，xy30的交点，易得交点坐标为(2,1)，所以m2，n1.又H截x轴所得线段的长为2，所以r212n22.所以H的方程为(x2)2(y1)22.(2)设N(x0，y0)，由题意易知点M是PN的中点，所以M.因为M，N两点均在H上，所以(x02)2(y01)22，222，即(x0a4)2(y02)28，设I：(xa4)2(y2)28，由知H与I：(xa4)2(y2)28有公共点，从而2|HI|2，即3，整理可得2a24a518，解得2a1或3a2，所以实数a的取值范围是2，13,213若a，b是正数，直线2axby20被圆x2y24截得的弦长为2，则ta取得最大值时a的值为(D)A. B.C. D.解析：由已知可得圆心到直线2axby20的距离d，则直线被圆截得的弦长为22，化简得4a2b24.ta(2a)(2a)2()2(8a22b21)，当且仅当时等号成立，即t取最大值，此时a(舍负)，故选D.14(2019江西新余五校联考)已知圆O：x2y29，过点C(2,1)的直线l与圆O交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，直线l的方程为(D)Axy30或7xy150Bxy30或7xy150Cxy30或7xy150Dxy30或7xy150解析：当直线l的斜率不存在时，l的方程为x2，则P，Q的坐标为(2，)，(2，)，所以SOPQ222.当直线l的斜率存在时，设l的方程为y1k(x2)，则圆心到直线PQ的距离d，由平面几何知识得|PQ|2，SOPQ|PQ|d2d ，当且仅当9d2d2，即d2时，SOPQ取得最大值.因为2，所以SOPQ的最大值为，此时，解得k1或k7，此时直线l的方程为xy30或7xy150.15在平面直角坐标系xOy中，A(12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2y250上若20，则点P的横坐标的取值范围是5，1解析：解法一：设P(x，y)，则由20可得，(12x)(x)(y)(6y)20，即(x6)2(y3)265，所以P为圆(x6)2(y3)265上或其内部一点又点P在圆x2y250上，联立得解得或即P为圆x2y250的劣弧MN上的一点(如图)，易知5x1.解法二：设P(x，y)，则由20，可得(12x)(x)(y)(6y)20，即x212xy26y20，由于点P在圆x2y250上，故12x6y300，即2xy50，点P为圆x2y250上且满足2xy50的点，即P为圆x2y250的劣弧MN上的一点(如图)，同解法一，可得N(1,7)，M(5，5)，易知5x1.16已知点G(5,4)，圆C1：(x1)2(y4)225，过点G的动直线l与圆C1相交于E，F两点，线段EF的中点为C，且C在圆C2上(1)若直线mxny10(mn0)经过点G，求mn的最大值；(2)求圆C2的方程；(3)若过点A(1,0)的直线l1与圆C2相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M.l1与l2：x2y20的交点为N，求证：|AM|AN|为定值解：(1)点G(5,4)在直线mxny10上，5m4n1,5m4n2(当且仅当5m4n时取等号)，180mn，即mn，(mn)max.(2)由已知得圆C1的圆心为(1,4)，半径为5，设C(x，y)，则(x1，y4)，(5x,4y)，由题设知0，(x1)(5x)(y4)(4y)0，即(x3)2(y4)24，C2的方程是(x3)2(y4)24.(3)证明：当直线l1的斜率不存在时，直线l1与圆C2相切，当直线l1的斜率为0时，直线l1与圆C2相离，故设直线l1的方程为kxyk0(k0)由直线l1与圆C2相交，得2，解得k.由得N，又直线C2M与l1垂直，由得M，|AM|AN|6(定值)
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