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课时作业58圆锥曲线的综合问题1(2019河北石家庄一模)倾斜角为的直线经过椭圆1(ab0)的右焦点F，与椭圆交于A、B两点，且A2 F，则该椭圆的离心率为(B)A. BC. D解析：由题可知，直线的方程为yxc，与椭圆方程联立得(b2a2)y22b2cyb40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则又A2 F，(cx1，y1)2(x2c，y2)，y12y2，可得，e，故选B.2(2019河北七校联考)如图，由抛物线y28x与圆E：(x2)2y29的实线部分构成图形，过点P(2,0)的直线始终与圆形中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB|的取值范围为(D)A2,3 B3,4C4,5 D5,6解析：由题意可知抛物线y28x的焦点为F(2,0)，圆(x2)2y29的圆心为E(2,0)，因此点P，F，E三点重合，所以|PA|3.设B(x0，y0)，则由抛物线的定义可知|PB|x02，由得(x2)28x9，整理得x24x50，解得x11，x25(舍去)，设圆E与抛物线交于C，D两点，所以xCxD1，因此0x01，又|AB|AP|BP|3x02x05，所以|AB|x055,6，故选D.3已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(A)A. BC3 D2解析：解法一：设椭圆方程为1(a1b10)，离心率为e1，双曲线的方程为1(a20，b20)，离心率为e2，它们的焦距为2c，不妨设P为两曲线在第一象限的交点，F1，F2分别为左，右焦点，则易知解得在F1PF2中，由余弦定理得(a1a2)2(a1a2)22(a1a2)(a1a2)cos 604c2，整理得a3a4c2，所以4，即4.设a，b，ab|a|b|，故的最大值是，故选A.解法二：不妨设P在第一象限，|PF1|m，|PF2|n.在PF1F2中，由余弦定理得m2n2mn4c2.设椭圆的长轴长为2a1，离心率为e1，双曲线的实轴长为2a2，离心率为e2，它们的焦距为2c，则.2，易知21的最小值为.故max.故选A.4(2019贵阳模拟)已知双曲线x2y21的左、右顶点分别为A1，A2，动直线l：ykxm与圆x2y21相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x2x1的最小值为(A)A2 B2C4 D3解析：直线l与圆相切，原点到直线的距离d1，m21k2.由得(1k2)x22mkx(m21)0，k21，1k1，由于x1x2，x2x1，0k21，当k20时，x2x1 取最小值2，故选A.5(2019河南郑州一模)如图，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2,4)，圆C2：x2y24x30，过圆心C2的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则|PN|4|QM|的最小值为(A)A23 B42C12 D52解析：由题意可设抛物线C1的方程为y22px(p0)，因为抛物线C1过点(2,4)，所以162p2，得p4，所以y28x.圆C2：x2y24x30，整理得(x2)2y21，可得圆心C2(2,0)恰好是抛物线y28x的焦点，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，当直线l的斜率不存在时，l：x2，所以P(2,4)，Q(2，4)，所以|PN|4|QM|PC2|C2N|4|QC2|4|C2M|PC2|4|QC2|5444525.当直线l的斜率存在且不为零时，可设l的方程为yk(x2)，联立可得k2(x2)28x，整理得k2x2(4k28)x4k20，0，则x1x24，故x2，所以|PN|4|QM|PC2|4|QC2|5x14x245x14x215x11521581523.因为2325，所以|PN|4|QM|的最小值为23.故选A.6(2018浙江卷)已知点P(0,1)，椭圆y2m(m1)上两点A，B满足2，则当m5时，点B横坐标的绝对值最大解析：本小题考查椭圆的标准方程，向量的坐标运算，二次函数的最值设B(t，u)，由A2 P，易得A(2t,32u)点A，B都在椭圆上，从而有3u212u90，即u24u3.即有4u3mu，m，t2m2m(m5)24.当m5时，(t2)max4，即|t|max2，即当m5时，点B横坐标的绝对值最大7(2019合肥模拟)若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则OF的最小值为6.解析：点P为椭圆1上的任意一点，设P(x，y)(3x3，2y2)，依题意得左焦点F(1,0)，O(x，y)，F(x1，y)，OFx(x1)y2x2x2.3x3，x，2，2，6212，即6OF12，故最小值为6.8(2019河北百校联盟联考)已知抛物线C：x28y的焦点为F，准线为l1，直线l2与抛物线C相切于点P，记点P到直线l1的距离为d1，点F到直线l2的距离为d2，则的最大值为.解析：依题意，得点F(0,2)，因为y，所以y，设P(x0，y0)，则直线l2：yy0(xx0)，即xyy00，故点F到直线l2的距离d2，又点P到直线l1的距离d1|PF|y02，所以，当且仅当，即y00时，取等号，所以的最大值为.9(2018北京卷)已知抛物线C：y22px经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，求证：为定值解：(1)因为抛物线y22px过点(1,2)，所以2p4，即p2.故抛物线C的方程为y24x，由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为ykx1(k0)由得k2x2(2k4)x10.依题意(2k4)24k210，解得k0或0k1.又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，2)从而k3.所以直线l斜率的取值范围是(，3)(3,0)(0,1)(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知x1x2，x1x2.直线PA的方程为y2(x1)令x0，得点M的纵坐标为yM22.同理得点N的纵坐标为yN2.由Q Q，Q Q得1yM，1yN.所以2.所以为定值10(2016全国卷)已知椭圆E：1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当t4，|AM|AN|时，求AMN的面积；(2)当2|AM|AN|时，求k的取值范围解：(1)设M(x1，y1)，则由题意知y10.当t4时，E的方程为1，A(2,0)由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.由此直线AM的方程为yx2.将xy2代入1得7y212y0.解得y0或y，所以y1.因此AMN的面积SAMN2.(2)由题意知，t3，k0，A(，0)将直线AM的方程yk(x)代入1得(3tk2)x22tk2xt2k23t0.由x1()得x1，故|AM|x1|.由题设知，直线AN的方程为y(x)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|得，即(k32)t3k(2k1)当k时上式不成立，因此t.t3等价于0，即0.由此得或解得k2.因此k的取值范围是(，2)11已知椭圆C：9x2y2m2(m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由解：(1)证明：设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入9x2y2m2得(k29)x22kbxb2m20，故xM，yMkxMb.于是直线OM的斜率kOM，即kOMk9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值(2)四边形OAPB能为平行四边形因为直线l过点，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0，k3.由(1)得OM的方程为yx.设点P的横坐标为xp.由得x，即xp.将点的坐标代入l的方程得b，因此xM.四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xp2xM.于是2，解得k14，k24.因为ki0，ki3，i1,2，所以当l的斜率为4或4时，四边形OAPB为平行四边形12(2019潍坊模拟)已知椭圆C：1(ab0)上动点P到两焦点F1，F2的距离之和为4，当点P运动到椭圆C的一个顶点时，直线PF1恰与以原点O为圆心，以椭圆C的离心率e为半径的圆相切(1)求椭圆C的方程(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，若PA，PB交直线x6于不同的两点M，N.问以线段MN为直径的圆是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由解：(1)由椭圆的定义可知2a4，a2，若点P运动到椭圆的左、右顶点时，直线PF1与圆一定相交，故点P只能在椭圆的上、下顶点，不妨设点P为上顶点(0，b)，F1为左焦点(c,0)，则直线PF1：bxcybc0，由题意得原点O到直线PF1的距离等于椭圆C的离心率e，所以，所以c23b2，又a2b2c2，所以b1，故椭圆C的方程为y21.(2)由题意知直线PA，PB的斜率存在且都不为0.设kPAk，点P(x0，y0)，x02，又A(2,0)，B(2,0)，所以kPAkPB，得kPB，直线PA的方程为yk(x2)，令x6，得y8k，故M(6,8k)；直线PB的方程为y(x2)，令x6，得y，故N(6，)因为yMyN8k()80，所以以线段MN为直径的圆与x轴交于两点，设为G，H，并设MN与x轴的交点为K，在以线段MN为直径的圆中应用相交弦定理得，|GK|HK|MK|NK|8k|8，因为|GK|HK|，所以|GK|HK|2，从而以线段MN为直径的圆恒过两个定点G(62，0)，H(62，0)13已知抛物线C1：x24y的焦点F也是椭圆C2：1(ab0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.(1)求C2的方程；(2)过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且A与B同向()若|AC|BD|，求直线l的斜率；()设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，MFD总是钝角三角形解：(1)由C1：x24y知其焦点F的坐标为(0,1)因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2b21.又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x24y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为，所以1.联立，得a29，b28.故C2的方程为1.(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)()因A与B同向，且|AC|BD|，所以AB，从而x3x1x4x2，即x1x2x3x4，于是(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4.设直线l的斜率为k，则l的方程为ykx1.由得x24kx40.而x1，x2是这个方程的两根，所以x1x24k，x1x24.由得(98k2)x216kx640.而x3，x4是这个方程的两根，所以x3x4，x3x4.将，代入，得16(k21)，即16(k21)，所以(98k2)2169，解得k，即直线l的斜率为.()由x24y得y，所以C1在点A处的切线方程为yy1(xx1)，即y.令y0，得x，即M，所以F.而F(x1，y11)，于是FFy1110，因此AFM是锐角，从而MFD180AFM是钝角故直线l绕点F旋转时，MFD总是钝角三角形
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