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1专题八 自选模块2 22200001cos2.sintan,01()cos()sin21xxyxyyxxxyrxxryyr互化的前提：极点与直角坐标系的原点重合；极轴与 轴的正方向重合；两种坐标系中取相同的长度单位互化公式，圆心在，半径为 的圆的极坐标与参直角坐标的互化数方程为：为参数3 000000000022222()cos()sin()00.310cos()sinMxylxxtyyttlMM xyM MM MMMtMMtxyababxayb 过定点，倾斜角为 的直线 的参数方程为：为参数 其中 表示直线 上以定点为起点，任意一点，为终点的有向线段的数量，当点在的上方时，；当点在的下方时，椭圆的一个参数方程为：为参数 4 224202()21ypx pxpttyptytxt 抛物线的参数方程为：为参数 由于，因此参数 的几何意义是抛物线上的点与抛物线的顶点连线的斜率的倒数5 ( 2 0)sin()403.121AlmmmPlQOPOP OQQ 在极坐标系中，已知点，到直线 ：的距离为求实数 的值；设 是直线 上的动点， 在线段上，且满足，求点 的轨迹方程，并指出轨迹是什【例1】么图形m 将极坐标方程转化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式求得 的值；极坐标系下的轨迹方程的求解与直角坐标系下的轨迹方程的求解方法类似，此处可用动点转移法解决1.极坐标问题 6 000000( 2 0)|22|20.2131sin(2.)2.4(,)1,( , )11.2xAlmxymAldmPQml 以极点为原点，极轴为 轴的正半轴，建立直角坐标系，则点 的直角坐标为，直线 的直角坐标方程为因为 到直线 的距离，由得直线 的方程所以为设，则7220000()sin()2221()().88161 31(.411sin()2sin)444()424xyQPlrQ因为点，在直线 上，所以将代入，得，即这就是点 的轨迹方化为直角坐标方程为因此点 的轨迹是以，为圆心， 为程半径的圆8 直角坐标与极坐标互化要注意互化的前提若要判断曲线的形状，可先将极坐标方程化为直角坐标方程，再判断在直角坐标系中，求曲线的轨迹方程的方法有直译法，定义法，动点转移法在极坐标系中，求曲线的极坐标方程，这几种方法仍然是适用的 9 11221222cos (0)1,024cos (0)2,02(0,0)(2011 5)1()262COCOaCCABaBOa如图，在极坐标系中，已知曲线：，：，射线与，【变式训练】月名校创新试卷分别交于 、不同的极点若，求直线的极坐标方程；试用 表示图中阴影部分的面积10 2222()2sinsin()33sin()32cos1112cos2 s13.23sin2in(2 111 sin22.22)2在直线上任取点，所以直线的极坐标方程为依题有：，BOPBOABOBOAaSaaaaaa11221,113514xy求经过点，倾斜角为的【例2直线截椭圆所】得的弦长22212()2122122(1)142xttyttt 将直线的参数方程代入椭圆方程，根据参数的几何意义，再利用韦达定理即可求得弦长由条件可知直线的参数方程是为参数 ，代入椭圆方程可得，2.参数方程 12212121 2212121 253 210.26 2544 2525.ttttttt tttttt t 即设方程的两实根分别为 ， ，则，则直线截椭圆的弦长是13 022022212()10101.xxattabbyybtabbbdtta 利用直线参数方程的几何意义是求弦长的常用方法，但需注意直线的参数方程必须是标准形式，即为参数 ，当，且时才是标准形式，若不满足，且两个条件，则弦长为14 1cossin(0)2cos()si(2011)12n1,01,0 已知直线 ：为参数， 为 的倾斜角，且与曲线：为参数 相交【变式训练】浙江于 、 两点，点 的坐标为求的周长；若点恰为线段的三等分点，求选考的面积xtlyttalaxCABFyABFEABABF15 22122221122121 222cos()12sin11,041cos1()sin2()()(1sin)2 cos102cos1sin14 2.2 因为 ：为参数 ，则，直线为，因此直线过椭圆左焦点，因此的周长为对于与直线 ：为参数交于点，得，因此，xxCyyyk xFABFaxtxyltytA xyB xya ttattt t211sin，162122211128cos211sin77122512421414284123 14.82 因为，所以，所以，与椭圆方程联立得，所以ABFttkyxxxyySyy17221369xyABCABC已知 ， 分别是椭圆的右顶点和上顶【例3】点，动点 在该椭圆上运动，求的重心的轨迹的普通方程ABC 利用重心坐标公式将的重心坐标用椭圆的参数方程中的参数 表示出来，再消参即可3.综合问题 182222(6cos3sin )()6,00,3606cos22cos3033sin1sin32cos 21sin (2)114xyCCGxyABxyxy 由动点 在椭圆上运动，可设 的坐标为，点 的坐标为 ， 依题意可知，由重心坐标公式可知，由此得， ，得即为所求19 本题的解体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性运用参数方程显得简单，运算更简便，常用于解决有关最值问题“平方法”是消参的常用方法 20 1222312232cos()1(0)421sin.3|(2011 5)|2|1|CCcosCCCMMlMCMAMBABAB在极坐标系中，已知曲线：，：，：，设与交于点求点的极坐标；若动直线 过点，且与曲线交于两个不同的点、 ，求【变式训练】月学军中学模拟的最小值21 22322212122211(0)1,01cos()sin(3sincos)(2cos )20.2cos.3sin1 0cos1,2 由，解得点的直角坐标为，其极坐标也是设直线 的参数方程为为参数 ，代入曲线的直角坐标方程并整理得，设 、 对应的参数分别为 ， ，则，xyMxyyMxtltytCaa ta tMABtttt221 21 22222212121 222222223sincos3sincos2 3 1sin()243sincos|1.|3 1sin00sin1sin12|1.|3 1s n6i6 ，因此因为，所以，当时，有的最小值为t tMAMBt tABttttt tMAMBABaaaaMAMBAB231.23()求曲线的极坐标方程,一般在曲线上任取一点与另外的两已知点构成三角形,再利用正弦定理或余弦定理建立方程.已知曲线的极坐标方程时,一般将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.运用参数方程 特别是直线的参数方程 解决问题一定要注意参数的几何意义,解决过定点的直线与曲线的交点问题时要注意该定点与两交点的相对位置240220222124()10101.5xxattabyybtbabbbdtta .直线的参数方程为参数 ,当且时才是标准形式.若不满足且两个条件,则弦长为.在参数方程与普通方程互化的过程中,要注意等价性
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