高中数学高考基础复习：第三章第5课时数列的通项与求和

要点疑点考点 课 前 热 身 能力思维方法 延伸拓展误 解 分 析第5课时 数列的通项与求和求数列的前求数列的前n项和项和Sn，重点应掌握以下几种方法：重点应掌握以下几种方法： 1.1.倒序相加法：倒序相加法：如果一个数列如果一个数列an，与首末两项等距的两项之与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法序相加法. 2.2.错位相减法：错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法. 3.3.分组转化法：分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集集”在一块重新组合，或把整个数列分成两部分，使其转在一块重新组合，或把整个数列分成两部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法. 4.4.裂项相消法：裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称 为裂项相消法为裂项相消法. 5.公式法求和：公式法求和：所给数列的通项是关于所给数列的通项是关于n的多项式，此时求的多项式，此时求和可采用公式法求和，常用的公式有：和可采用公式法求和，常用的公式有：121211nnnknk121612122212nnnnknk223331314121nnnknk返回返回课课 前前 热热 身身1.数列数列an的前的前n项和项和Sn=n2+1，则则an=_. 2.已知已知an的前的前n项和项和Sn=n2-4n+1，则则|a1|+|a2|+|a10|=( ) (A)67 (B)65 (C)61 (D)56 3.一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的和的2倍，又它的首项为倍，又它的首项为1，且中间两项的和为，且中间两项的和为24，则此等，则此等比数列的项数为比数列的项数为( ) (A)12 (B)10 (C)8 (D)6 AC11122nnn，5.数列数列 的前的前n项之和项之和为为Sn，则则Sn的值得等于的值得等于( )(A) (B) (C) (D) ，nn2112161781541321112211-nnnn2112nnn21122nnn2112 4.计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即制即“逢逢2进进1”，如，如(1101)2表示二进制数，将它转换成表示二进制数，将它转换成十进制形式是十进制形式是123+122+021+120=13，那么将二进，那么将二进制数制数(11111)2位转换成十进制形式是位转换成十进制形式是( ) (A) 217-2 (B) 216-2 (C) 216-1 (D)215-1 16CA返回返回1.求下列各数列前求下列各数列前n项的和项的和Sn： (1) 14，25，36，n(n+3)(2) (3)，11095555555n，21531421311nn【解题回顾】对类似数列【解题回顾】对类似数列(3)的求和问题，我们可以推广的求和问题，我们可以推广到一般情况：设到一般情况：设an是公差为是公差为d的等差数列，则有的等差数列，则有特别地，以下等式都是式的具体应用：特别地，以下等式都是式的具体应用：n-nnaaaaaad-naaa321212111111上述方法也称为上述方法也称为“升次裂项法升次裂项法”.11111-nnnn1211212112121nnnn；2111121211nnnnnnn2.求数列求数列a，2a2，3a3，nan，(a为常数为常数)的前的前n项的项的和和. 【解题回顾】若一个数列的各项是由一个等差数列与一个【解题回顾】若一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积组成，则求此数列的前等比数列的对应项乘积组成，则求此数列的前n n项和多采项和多采用错位相减法用错位相减法【解题回顾】当本题解出【解题回顾】当本题解出Sn+1/Sn=(n+1)2/(n+2)n，下面要下面要想到迭代法求想到迭代法求Sn，(即选乘即选乘)，同样如得出，同样如得出Sn+1-Sn=f(n)，可用迭差可用迭差. 3.已知数列已知数列an中的中的a1=1/2，前前n项和为项和为Sn若若Sn=n2an，求求Sn与与an的表达式的表达式. 4若数列若数列an中，中，an=-2n-(-1) n，求求S10和和S99 【解题回顾】若构成数列的项中含有【解题回顾】若构成数列的项中含有(-1)n，则在求和则在求和Sn时，一般要考虑时，一般要考虑n是奇数还是偶数是奇数还是偶数. 返回返回返回返回5.在数列在数列an中，中，an0， 2Sn = an +1(nN) 求求Sn和和an的表达式；的表达式； 求证：求证：21111321nSSSS【解题回顾】利用【解题回顾】利用 ，再用裂项法求和再用裂项法求和.利用利用此法求和时，要细心观察相消的规律，保留哪些项等此法求和时，要细心观察相消的规律，保留哪些项等.必必要时可适当地多写一些项，防止漏项或增项要时可适当地多写一些项，防止漏项或增项. 1-112nnn2求数列前求数列前n项和时，一定要数清项数，选好方法，否项和时，一定要数清项数，选好方法，否则易错则易错1.求数列通项时，漏掉求数列通项时，漏掉n=1时的验证是致命错误时的验证是致命错误. 返回返回