2018年高考数学（浙江专用）总复习教师用书：第2章 第4讲　幂函数与二次函数 Word版含解析

第4讲幂函数与二次函数最新考纲1.了解幂函数的概念；掌握幂函数yx，yx2，yx3，yx，y的图象和性质；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.知 识 梳 理1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质 函数特征性质yxyx2yx3yxyx1定义域RRR0，)x|xR，且x0值域R0，)R0， )y|yR，且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)ax2bxc(a0).顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0时，幂函数yxn在(0，)上是增函数.()(3)二次函数yax2bxc(xR)不可能是偶函数.()(4)二次函数yax2bxc(xa，b)的最值一定是.()解析(1)由于幂函数的解析式为f(x)x，故y2x不是幂函数，(1)错.(3)由于当b0时，yax2bxcax2c为偶函数，故(3)错.(4)对称轴x，当小于a或大于b时，最值不是，故(4)错.答案(1)(2)(3)(4)2.(2016全国卷)已知a2，b3，c25，则()A.bac B.abcC.bca D.caab.答案A3.已知f(x)x2pxq满足f(1)f(2)0，则f(1)的值是()A.5 B.5 C.6 D.6解析由f(1)f(2)0知方程x2pxq0的两根分别为1，2，则p3，q2，f(x)x23x2，f(1)6.答案C4.(2017杭州测试)若函数f(x)是幂函数，则f(1)_，若满足f(4)8f(2)，则f_.解析由题意可设f(x)x，则f(1)1，由f(4)8f(2)得482，解得3，所以f(x)x3，故f.答案15.若幂函数y(m23m3)xm2m2的图象不经过原点，则实数m的值为_.解析由解得m1或2.经检验m1或2都适合.答案1或26.若函数f(x)x22(a1)x2在区间(，3上是减函数，则实数a的取值范围是_.解析二次函数f(x)图象的对称轴是x1a，由题意知1a3，a2.答案(，2考点一幂函数的图象和性质【例1】 (1)(2017济南诊断测试)已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k等于()A. B.1 C. D.2(2)若(2m1)(m2m1)，则实数m的取值范围是()A. B.C.(1，2) D.解析(1)由幂函数的定义知k1.又f，所以，解得，从而k.(2)因为函数yx的定义域为0，)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于解得即m0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当0，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()(2)(2017武汉模拟)若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_.解析(1)由A，C，D知，f(0)c0，所以ab0，知A，C错误，D满足要求；由B知f(0)c0，所以ab0，所以xxk在区间3，1上恒成立，试求k的取值范围.解(1)由题意知解得所以f(x)x22x1，由f(x)(x1)2知，函数f(x)的单调递增区间为1，)，单调递减区间为(，1.(2)由题意知，x22x1xk在区间3，1上恒成立，即kx2x1在区间3，1上恒成立，令g(x)x2x1，x3，1，由g(x)知g(x)在区间3，1上是减函数，则g(x)ming(1)1，所以k1，故k的取值范围是(，1).规律方法(1)对于函数yax2bxc，若是二次函数，就隐含着a0，当题目未说明是二次函数时，就要分a0和a0两种情况讨论.(2)由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是af(x)af(x)max，af(x)af(x)min.【训练3】 (2016九江模拟)已知f(x)x22(a2)x4，如果对x3，1，f(x)0恒成立，则实数a的取值范围为_.解析因为f(x)x22(a2)x4，对称轴x(a2)，对x3，1，f(x)0恒成立，所以讨论对称轴与区间3，1的位置关系得：或或解得a或1a4或a1，所以a的取值范围为.答案命题角度二二次函数的零点问题【例32】 (2016全国卷)已知函数f(x)(xR)满足f(x)f(2x)，若函数y|x22x3|与yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则xi()A.0 B.m C.2m D.4m解析由f(x)f(2x)知函数f(x)的图象关于直线x1对称.又y|x22x3|(x1)24|的图象也关于直线x1对称，所以这两函数的交点也关于直线x1对称.不妨设x1x20时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；f(1)，则()A.a0，4ab0 B.a0，2ab0 D.af(1)，所以函数图象应开口向上，即a0，且其对称轴为x2，即2，所以4ab0.答案A3.在同一坐标系内，函数yxa(a0)和yax的图象可能是()解析若a0，yxa的图象知排除A，B选项，但yax的图象均不适合，综上选B.答案B4.若函数f(x)x2axa在区间0，2上的最大值为1，则实数a等于()A.1 B.1C.2 D.2解析函数f(x)x2axa的图象为开口向上的抛物线，函数的最大值在区间的端点取得，f(0)a，f(2)43a，或解得a1.答案B5.若关于x的不等式x24x2a0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是()A.(，2) B.(2，)C.(6，) D.(，6)解析不等式x24x2a0在区间(1，4)内有解等价于a(x24x2)max，令f(x)x24x2，x(1，4)，所以f(x)f(4)2，所以a，得，即PRQ.答案PRQ7.若f(x)x22ax与g(x)在区间1，2上都是减函数，则a的取值范围是_.解析由f(x)x22ax在1，2上是减函数可得1，2a，)，a1.y在(1，)上为减函数，由g(x)在1，2上是减函数可得a0，故0f(a1)的实数a的取值范围.解幂函数f(x)的图象经过点(2，)，2(m2m)1，即22(m2m)1.m2m2.解得m1或m2.又mN*，m1.f(x)x，则函数的定义域为0，)，并且在定义域上为增函数.由f(2a)f(a1)得解得1a1，即a时，f(x)maxf(1)2a1，2a11，即a1满足题意.综上可知，a或1.能力提升题组(建议用时：25分钟)11.(2016浙江卷)已知函数f(x)x2bx，则“b0”是“f(f(x)的最小值与f(x)的最小值相等”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析f(x)x2bx，当x时，f(x)min.又f(f(x)(f(x)2bf(x)，当f(x)时，f(f(x)min，当时，f(f(x)可以取到最小值，即b22b0，解得b0或b2，故“b0，若a，bR，且ab0，则f(a)f(b)的值()A.恒大于0 B.恒小于0C.等于0 D.无法判断解析依题意，幂函数f(x)在(0，)上是增函数，解得m2，则f(x)x2 015.函数f(x)x2 015在R上是奇函数，且为增函数.由ab0，得ab，f(a)f(b)，则f(a)f(b)0.答案A13.已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_.解析作出函数yf(x)的图象如图.则当0k0，bR，cR).(1)若函数f(x)的最小值是f(1)0，且c1，F(x)求F(2)F(2)的值；(2)若a1，c0，且|f(x)|1在区间(0，1上恒成立，试求b的取值范围.解(1)由已知c1，abc0，且1，解得a1，b2，f(x)(x1)2.F(x)F(2)F(2)(21)2(21)28.(2)由a1，c0，得f(x)x2bx，从而|f(x)|1在区间(0，1上恒成立等价于1x2bx1在区间(0，1上恒成立，即bx且bx在(0，1上恒成立.又x的最小值为0，x的最大值为2.2b0.故b的取值范围是2，0.15.(2016嘉兴模拟)已知mR，函数f(x)x2(32m)x2m.(1)若0m，求|f(x)|在1，1上的最大值g(m)；(2)对任意的m(0，1，若f(x)在0，m上的最大值为h(m)，求h(m)的最大值.解(1)f(x)，则对称轴为x，由0m，得02m1，则1，故函数f(x)在1，1上为增函数，则当x1时，函数f(x)取得最大值，f(1)4m；当x1时，函数f(x)取得最小值f(1)3m2.又0m，03m，2|f(1)|，即|f(x)|在1，1上的最大值g(m)f(1)4m.(2)由(1)知函数的对称轴为x，且函数开口向下，由0m1，则02m2，所以，若m，即0，即m1时，函数f(x)在0，m上不单调，此时当x时，函数f(x)取得最大值h(m)m22m，即h(m)当0m时，h(m)3m24m2的对称轴为m，即当m时，函数h(m)取得最大值h342.当m1时，h(m)m22m的对称轴为m1，此时函数h(m)在上为减函数，则函数h(m)h2.所以h(m)的最大值为.