历年华罗庚金杯试题

。历年华罗庚金杯试题7边长 1 米的正方体2100 个，堆成一个实心的长方体。它的高是 10 米，长、宽都大于高。问长方体的长与宽的和是几米？第一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛8早晨 8 点多钟，有两辆汽车先后离开化肥厂，向幸福村开去。两辆汽车的速度都是每小时60 公里。 8 点 32 分的时候，第一辆汽车初赛试题离开化肥厂的距离是第二辆汽车的3倍。到了 8 点 39分的时候，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的2 倍那么，第一辆汽车1 1966、 1976、 1986 、1996、 2006 这 5 个数的总和是多少？是 8 点几分离开化肥厂的？2每边长是 10 厘米的正方形纸片，正中间挖一个正方形的洞，9有一个整数，除 300、 262、 205，得到相同的余数问这个成为一个宽度是 1 厘米的方框。 把 5 个这样的方框放在桌面上，成为整数是几？这样的图案。 问桌面上被这些方框盖住的部分面积是多少平方厘米？10甲、乙、丙、丁 4 个人比赛乒乓球， 每两个人都要赛一场 结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙3 个胜的场数相同问丁胜了几场？11两个十位数 1111111111 和 9999999999 的乘积有几个数字是奇数？12黑色、白色、黄色的筷子各有8 根，混杂地放在一起。黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子。问至少要取多少根才能3 105 的约数共有几个？保证达到要求？4妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗开水壶要用1 分钟，烧开水13有一块菜地和一块麦地，菜地的1 和麦地的1 放在一起是要用 15 分钟，洗茶壶要用 1 分钟，洗茶杯要用1 分钟，拿茶叶要用232 分钟。小明估算了一下，完成这些工作要花20 分钟，为了使客人13 亩，麦地的 1 和菜地的1 放在一起是 12 亩，那么，菜地是几亩？早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？235右面的算式里， 4 个小纸片各盖住了一个数字。14 71427 和 19 的积被7 除，余数是几？被盖住的 4 个数字总和是多少？15科学家进行一项实验，每隔5 小时做一次记录做第十二次记录时，挂钟的时针恰好指向9，问做第一次记录时，时针指向几？6松鼠妈妈采松籽。晴天每天可以采20 个。有16有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站。每隔 5分雨的天每天只能采 12 个。它一连几天采了112 个松籽，平均每天采钟有一辆电车从甲站发出开往乙站。全程要走15 分钟有一个人从14 个。问这几天当中有几天有雨？乙站出发沿电车路线骑车前往甲站。他出发的时候， 恰好有一辆电车。1。到达乙站 在路上他又遇到了10 辆迎面开来的电车，才到达甲站 这时候，恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟？17在混合循环小数2.718281的某一位上再添上一个表示循环的圆点，使新产生的循环小数尽可能大请写出新的循环小数。18有 6 块岩石标本，它们的重量分别是8.5 公斤、 6 公斤、 4公斤、 4 公斤、 3 公斤、 2 公斤。要把它们分别装在3 个背包里，要求最重的一个背包尽可能轻一些请写出最重的背包里装的岩石标本是多少公斤？19同样大小的长方形小纸片摆成了这样的图形。已知小纸片的宽是 12 厘米，求阴影部分的总面积。2。第二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛的时间。这样一来，问题就化为求9 和 33 的最小公倍数的问题了。不难算出 9 和 33 的最小公倍数是99，所以答案为 999=11。初赛部分试题以及答案答：小圆上的蚂蚁爬了11 圈后，再次碰到大圆上的蚂蚁。【分析与讨论】 这个题目的关键是要看出问题实质是求最小公倍“华罗庚金杯” 少年数学邀请赛每隔一年举行一次。今年是第二数的问题。注意观察，看到生活中的数学，这届。问 2000 年是第几届？是华罗庚教授经常启发青少年们去做的。【解法】“每隔一年举行一次”的意思是每2年举行一次。今年图 33 是一个跳棋棋盘， 请你算算棋盘上共是 1988 年，到 2000 年还有 2000-1988=12 年，因此还要举行 122=6有多少个棋孔？届。今年是第二届，所以2000 年是 2 6=8 届【解法】这个题目的做法很多。由于时间答： 2000 年举行第八届。所限，直接数是来不及的，而且容易出错。下【分析与讨论】这题目因为数字不大，直接数也能很快数出来：图（图 34）给出一个较好的算法。把棋盘分1988、 1990、 1992、 1994、 1996、 1998、 2000 年分别是第二、三、割成一个平行四边形和四个小三角形，如图四、五、六、七、八届。34。平行四边形中的棋孔数为99=91，每个一个充气的救生圈 （如图 32）。虚线所示小三角形中有 10 个棋孔。所以棋孔的总数是的大圆，半径是 33 厘术。实线所示的小圆，81 104=121 个半径是 9 厘米。有两只蚂蚁同时从A 点出发，答：共有 121 个棋孔。以同样的速度分别沿大圆和小圆爬行。问：【分析与讨论】 玩过跳棋的同学们， 你们以前数过棋孔的数目吗？小圆上的蚂蚁爬了几圈后，第一次碰上大圆有兴趣的同学在课余时都可以数一数，看谁的方法最巧？上的蚂蚁？有一个四位整数。 在它的某位数字前面加上一个小数点，再和这【解法】由于两只蚂蚁的速度相同，由距离速度=时间这个式个四位数相加，得数是2000.81 。求这个四位数。子，我们知道大、 小圆上的蚂蚁爬一圈的时间的比应该等于圈长的比。【解法 1】由于得数有两位小数， 小数点不可能加在个位数之前。而圈长的比又等于半径的比，即：33 9。如果小数点加在十位数之前，所得的数是原米四位数的百分之一，再要问两只蚂蚁第一次相遇时小圆上的蚂蚁爬了几圈，就是要找一加上原来的四位数，得数2000.81应该是原来四位数的1.01倍，原个最小的时间， 它是大、小圆上蚂蚁各自爬行一圈所斋时间的整数倍。来的四位数是 2000.81 1.01 1981。由上面的讨论可见， 如果我们适当地选取时间单位，可以使小圆上的类似地， 如果小数点加在百位数之前，得数 2000.81应是原来四蚂蚁爬一圈用 9 个单位的时间，而大圆上的蚂蚁爬一圈用33 个单位位数的 1.001 倍，小数点加在千位数之前，得数 2000.81应是原来四。3。位数的 1.0001 倍。但是（ 2000.81 1.001 ）和（ 2000.81 1.0001 ）都【分析与讨论】 这个题目的关键是看到格子布可以分割成9 块如不是整数，所以只有1981 是唯一可能的答案。图 35 的正方形。这实质上是利用了格子布的“对称性 ”：格子布图案答：这个四位数是1981。是由一块图案重复地整齐排列而成的。【解法2】注意到在原来的四位数中，一定会按顺序出现8， 1“对称”不仅是数学中的重要概念，而且是自然界构成的一条基两个数字。小数点不可能加在个位数之前；也不可能加在千位数之前，本规律。 因此，自古以来， 在各个不同领域， 如数学、 物理学、 化学、否则原四位数只能是8100，在于 2000.81了。甚至美学等， 都把 “对称性” 与“不对称性” 作为重要的课题来研究。无论小数点加在十位数还是百位数之前，所得的数都大于1 而小著名数学家 H魏尔曾专门写过一本名为对称的书（有中译本），于 100。这个数加上原来的四位数等于2000.81 ，所以原来的四位数内容非常丰富，思想极其深刻，很值得一读。一定比 2000 小，但比1900 大，这说明它的前两个数字必然是1， 9。图 37 是两个三位数相减的算式，每个方框代由于它还有 8， 1 两个连续的数字，所以只能是1981。表一个数字。 问：这六个方框中的数字的连乘积等【分析与讨论】解法 1 是用精确的计算，解法2 靠的是 “判断 ”。于多少？图 37判断也需要技巧，而且是建立在对问题的细致分析上。【解法】 两数相减， 习惯上先考虑个位数。但这里需要指出，不能一看仔细看一下就会发现，两个二位数的个位是不确定的：这两个个位数到得数 2000.81 中有二位小数同时加 1 或同时减 1，它们的差不变。这样一来，六个方框中的数字就得出 “小数点正好加在十位数的连乘积就会不确定了，除非有一个方框的数字是0，使得乘积总是之前 ”的结论。请同学们想想为0。这就启发我们试着找方框中的0。什么？两个三位数的首位当然不是0，因此减数的首位最少是1，被减图 35 是一块黑白格子布。白色大正方形的边长是14 厘米，白色数的首位至多是9。但因为差的首位是 8，所以只有一种可能，就是小正方形的边长是 6 厘米。问：这块布中白色的面积占总面积的百分被减数首位是9，减数的首位是 1。之几？这样一来， 第二位数上的减法就不能借位了。被减数的第二位至【解法】格子布的面积是图36 面积的 9倍，格子布白色部分的多是 9 而减数的第二位至少是0，这两数的差是9，所以也只有一种面积也是图 36 上白色面积的9 倍。这样，我们只需计算图 36 中白色可能：被减数的第二位是9，减数的第二位是 0。这样我们就确定了部分所占面积的百分比就行了。这个计算很简单：六个方框中有一个方框里的数必是0。14 146 60.5858%答：六个方框中的数字的连乘积等于0。2020【分析与讨论】这道题不需要完全确定这两个三位数，而且也不答：格子布中白色部分的面积是总面积的58。能完全确定，例如被减数与减数可以分别是（996，102），也可以是。4（ 994， 100），（ 999， 105），等等。有的同学会说：这个题目的答案是猜出来的。“猜”也是数学上的一种方法。数学上有许多著名的猜想对数学的发展产生了重要的影响。 这里要着重说明二点： 第一，数学上的 “猜想”不是毫无根据的“胡思乱想” ，而是指数学家对问题经过深入的分析或大量的例证检验后所设想的答案；是有一定道理的。象本题的解法中，我们经过分析发现，如果六个方框中没有0，这个题目的答案就不是唯一的了，所以猜想答案是0。如果猜测答案是100 就没有道理了。第二， “猜想 ”不等于答案，猜想要经过严格的证明才能成为答案。例如，著名的哥德巴赫猜想至今还未能得到证明，因此仍然被称为 “猜想 ”。图 38 中正方形的边长是 2 米，四个圆的半径都是 1 米，圆心分别是正方形的四个顶点。 问：这个正方形和四个圆盖住的面积是多少平方米？【解法】每个圆和正方形的公共部分是一个扇形，它的面积是圆的面积的四分之一。因此，整个图形的面积等于正方形的面积加上四块四分之三个圆的面积。而四块四分之三个圆的面积等于圆面积的三倍。 因此，整个图形的面积等于正方形的面积加上圆面积的三倍，也就是22 11313.42 （平方米） 。答：这个正方形和四个圆盖住的面积约是13.42 平方米。有七根竹竿排成一行。第一根竹竿长1 米，其余每根的长都是前一根的一半。问：这七根竹竿的总长是几米？【解法】我们这样考虑：取一根2 米长的竹竿，把它从中截成两。半，各长 1 米。取其中一根作为第一根竹竿。将另外一根从中截成两半，取其中之一作为第二根竹竿。如此进行下去，到截下第七根竹竿时，所剩下的一段竹竿长为1111111（米）264222222 米减去剩下一段的长，也就是因此，七根竹竿的总长度是2 11 636464答：七根竹竿的总长是 1 63米。64【分析与讨论】 中国古代就有 “一尺之棰， 日取其半， 万世不竭”这样一个算术问题。就是说，有一根一尺长的短棍，每天截去它的一半，永远也截不完。那么，每天剩下多少呢？第七天剩下多少呢？用上面的解法计算七根竹竿的总长，时间是绰绰有余的。 但如果先把每根竹竿都算出来再相加，需要通分，时间恐怕就来不及了。同学们不妨试一试。有三条线段 A、B、C，A 长 2.12 米， B 长 2.71 米， C 长 3.53 米，以它们作为上底、下底和高，可以作出三个不同的梯形。问：第几个梯形的面积最大？【解法】首先注意，梯形的面积（上底下底）高2。但我们现在是比较三个梯形面积的大小，所以不妨把它们的面积都乘以2，这样只须比较（上底下底）高的大小就行了。我们用乘法分配律：第一个梯形的面积的2 倍是：（ 2.12 3.53 ）2.71 2.12 2.17 3.53 2.71第二个：。5。（ 2.71 3.53 ）2.12 2.71 2.12 3.53 2.12【分析与讨论】这样的问题在生活中到处都会遇到。同学们能不第三个：能再举些例子呢？（ 2.12 2.71 ）3.53 2.12 3.53 2.71 3.53一副扑克牌有四种花色，每种花色有13 张。从中任意抽牌。问：先比较第一个和第二个。两个式子右边的第一个加数，一个是最少要抽多少张牌，才能保证有四张牌是同一花色的？2.12 2.71 ，另一个是2.71 2.12 。由乘法交换律，这两个积相等。【解法】这里“保证”的意思就是无论怎样抽牌，都一定有4张因此只须比较第二个加数的大小就行了。显然 3.53 2.71比牌为同一花色。3.53 2.12 大，因为 2.71 比 2.12 大。因此第一个梯形比第二个梯形我们先看抽 12 张牌是否能保证有4 张同花的？虽然有时12 张牌的面积大。中可能有 4 张同花， 甚至 4 张以上同花， 但也可能每种花色正好3 张类似地， 如果比较第一个和第三个，我们发现它们有边第二个加牌，因此不能保证一定有4 张牌同花。数相等，而第一个加数2.12 2.71 2.12 3.53 。因此第三个梯形比那末，任意抽 13 张牌是否保证有4 张同花呢？我们说可以。证第一个梯形面积大。明如下：综上所述，第三个梯形面积最大。如果不行的话， 那末每种花色最多只能有3 张，因此四种花色的答：第三个梯形面积最大。牌加起来最多只能有 12张，与抽 13 张牌相矛盾。所以说抽13 张牌【分析与讨论】做这个题目应该充分利用所学过的乘法交换律、就可以了。乘法分配律等知识，而不应该直接计算面积。很明显，直接计算三个这种证明的方法称为反证法。梯形的面积要浪费很多时间。答：至少要抽 13 张牌，才能保证有四张牌是同一花色的。有一个电子钟，每走 9 分钟亮一次灯，每到整点响一次铃。中午【分析与讨论】这个题目用的是所谓“抽屉原则”。比如说有412 点整， 电子钟响铃又亮灯。问：下一次既响铃又亮灯是几点钟？个抽屉，要在里面放 13本书，那么至少有一个抽屉要放4 本。这个【解法】因为电子钟每到整点响铃，所以我们只要考虑哪个整点原则也被称作 “鸽子笼原则 ”或 “重迭原则 ”。亮灯就行了。从中午12 点起，每 9 分钟亮一次灯，要过多少个9 分抽屉原则虽然简单， 在数学上却有很多巧妙的应用。有兴趣的同钟才到整点呢？由于1 小时 60 分钟，这个问题换句话说就是：9 分学可以阅读常庚哲著的抽屉原则及其他这本书。钟的多少倍是6O 分钟的整数倍呢？这样一来问题的实质就清楚了：有一个班的同学去划船。他们算了一下，如果增加一条船，正好是求 9分和 60最小公倍数。每条船坐 6 人；如果减少一条船，正好每条船坐9 人。问：这个班共不难算出9 和 60 的最小公倍数是180。这就是说，从正午起过有多少同学？180 分钟，也就是 3 小时，电子钟会再次既响铃又亮灯。【解法 1】假定先增加一条船，那么正好每条船坐6 人。现在去答：下一次既响铃又亮灯时是下午3 点钟。掉两条船，就会余下 62 12 名同学没有船坐。而现在正好每条船9。6。人，也就是说，每条船增加9-6 3 人，正好可以把余下的12 名同学该是第 2 号位子。全部安排上去， 所以现在还有1234 条船，而全班同学的人数是9436 人。答：这个班共有36 个人。【解法 2】由题目的条件可知，全班同学人数既是6 的倍数，又是 9 的倍数，因而是 6 和 9 的公倍数。 6 和 9 的最小公倍数是 18。如答：第十次交换座位后，小兔坐在第2 号位子。果总数是 18 人，那么每船坐 6 人需要有186 3 条船，而每船坐9【分析与讨论】“小动物换座位” 这样的运动， 在数学上称为 “置人需要 189 2 条船，就是说，每船坐6 人比每船坐9 人要多一条船。换”，而小兔座位的改变称为“旋转” 。置换和旋转都是群论、几何学但由题目的条件， 每船坐 6 人比每船坐9 人要多用2 条船。可见总人等数学分支中的重要概念。 这道题虽然简单， 但其中却有不少有趣的数应该是 182 36。道理呢！【分析与讨论】我国古代有很多类似于这个题目的问题，流传到为了使同学们加深理解，我们再出两个思考题，请同学们想想。现在。例如“鸡兔同笼”之类。（ 1）找出其它三个小动物座位变化的规律。它们的规律有什么这道题也可以用列方程来解。同学们不妨试一试。相同点，有什么不同点。四个小动物换座位。一开始，小鼠坐在第1 号位子，小猴坐在第（ 2）将题目中的提问改为：“第十次交换位子后，第 4 号座位上2 号，小兔坐在第 3 号，小猫坐在第 4 号。以后它们不停地交换位子。坐的是哪个小动物？ ”你知道怎么做吗？想想看。第一次上下两排交换。 第二次是在第一次交换后再左右两排交换。第用 1、9、 8、 8 这四个数字能排成几个被11 除余 8 的四位数？三次再上下两排交换。第四次再左右两排交换这样一直换下去。【解法】什么样的数能被11 整除呢？一个判定法则是：比较奇问：第十次交换位子后，小兔坐在第几号位子上？（参看图39）位数字之和与偶位数字之和，如果它们之差能被11 除尽，那么所给的数就能被11 整除，否则就不能够。现在要求被11 除余 8，我们可以这样考虑：这样的数加上3 后，就能被 11 整除了。所以我们得到“一个数被11 除余 8”的判定法则：【解法】这道题问的是第十次交换位子后，小兔坐在第几号位子将偶位数字相加得一个和数，再将奇位数字相加再加上3，得另一个上？我们先根据题意将小兔座位变化图的39规律找出来。和数，如果这两个和数之差能被11 除尽，那么这个数是被11 除余 8从图 40 的箭头图可以看出：每一次交换座位，小兔的座位按顺的数；否则就不是。时针方向转动一格，每4 次交换座位，小兔的座位又转回原处。知道要把 1、9、8、 8 排成一个被11 除余 8 的四位数，可以把这4 个了这个规律，答案就不难得到了。第十次交换座位后，小兔的座位应数分成两组，每组2 个数字。其中一组作为千位和十位数，它们的和。7。记作 A；另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3 记作 B。我们要适当分组，使得能被11 整除。现在只有下面4 种分组法：经过验证，第（ 1）种分组法满足前面的要求：【解法】要能准确迅速地数出小正方形的个数，需要动动脑筋。A 18， B 9 8 320， B A 11 能被 11 除尽。但其余三我们先在右图小正方形中找一个代表点，例如右下角的点 E 作为种分组都不满足要求。代表点。 然后将小正方形按题意放在围棋盘上，仔细观察点 E 应在什根据判定法则还可以知道，如果一个数被11 除余8，那么在奇么地方。通过观察，不难发现：位的任意两个数字互换， 或者在偶位的任意两个数字互换，得到的新（ 1）点 E 只能在棋盘右下角的正方形ABCD（包括边界）的格子数被 11 除也余 8。于是，上面第（1）分组中， 1 和 8 中任一个可以点上。作为千位数， 9 和 8 中任一个可以作为百位数。这样共有4 种可能的（ 2）反过来，右下角正方形 ABCD中的每一个格子点都可以作为排法： 1988， 1889 ，8918， 8819。小正方形的点 E，也只能作为一个小正方形的点E。答：能排成 4 个被 11 除余 8 的数这样一来，就将“小正方形的个数”化为“正方形ABCD中的格【分析与讨论】用 1、 9、 8、 8 可能组成12 个互不相同四位数。子点个数 ”了。很容易看出正方形 ABCD中的格子点为1010 100 个。如果把这 12 个数都列出来，再分别检验它们被除的余数，就不胜其答：共有 100 个。繁了。所以在解题时一定要先设法简化检验过程。【分析讨论】这个题目有很多种解法，而上面这个解法既巧妙又图 41 是一个围棋盘，它由横竖各19 条线组成。问：围棋盘上有迅速。它利用了“一一对应就一样多”这个简单的道理。多少个与图 42 中的小正方形一样的正方形？一一对应是数学上的一个重要的基本概念。从这个题目可以看出，仅仅是搞清楚这么一个概念，就会起很大的作用了。思考题：如果两个图形均为长方形，情况有什么不同？例如：大棋盘是 2030，而小棋盘是1015。问大棋盘中有多少。8个与小棋盘相同的长方形？计算791。23= 7241243(0.50.250.125)(0.50.250.125)1826=72423【解】(0.50.250.125)(0.50.250.125)111111711)226=(48(4)12281343311171)2 4846=(481212133212=( 421)24221211313 115163455791182613 1151634554423= 72= 80 12有三张卡片，在它们上面各写有一个数字（图 43）。从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排起来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数。请你将其中的素数都写出来。【解法】 我们知道， 一个比 1 大的自然数， 如果除了1 和它本身，不再有别的约数，那末这个数就叫做质数，也叫做素数。我们先回想一下被3 整除的判定法则： 如果一个数的各位数字之和能被 3 整除，那末这个数也能被3 整除。因为三张卡片上的数字分别为1， 2， 3。这三个数字的和为6，能被 3 整除，所以用这三个数字任意排成的三位数都能被3整除，因此不可能是素数。再看二张卡片的情形。因为1 2 3，根据同样的道理，用1，2组成的二位数也能被3 整除，因此也不是素数。这样剩下要讨论的二。9。位数只有 13， 31， 23， 32这四个了。其中 13， 31和 23 都是素数，0.7米 336米 2 0.7 米 70 厘米117 厘米而 32 不是素数。363618最后，一位数有三个：1，2， 3。 1 不是素数。2 和 3 都是素数。172，3， 13， 23， 31。答：大水池的水面升高了1厘米。总之，本题中的素数共有五个：18答：共有五个素数： 2，3， 13， 23， 31。在一个圆圈上有几十个孔（不到100个），如【分析与讨论】 这道题主要考察问学们对素数概念的掌握以及整图 44。小明像玩跳棋那样， 从 A 孔出发沿着逆时针除的基本规律（如被3 整除的特点） 。当然，如果将二张卡片组成的方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到所有数都写出来，再一个一个地分析，也可以做出来。但这样做是不A 孔。他先试着每隔2 孔跳一步，结果只能跳到 B可取的。孔。他又试着每隔4 孔跳一步，也只能跳到B 孔。有大、中、小三个正方形水池， 它们的内边长分别是 6 米、3 米、最后他每隔 6 孔跳一步， 正好跳回到 A 孔。你知道2 米。把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分这个圆圈上共有多少个孔吗？别升高了 6 厘米和 4 厘米。如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，【解法】设想圆圈上的孔已按下面方式编了号；A 孔编号为1，大水池的水面升高了多少厘米？然后沿逆时针方向顺次编号为2， 3， 4，B 孔的编号就是圆圈上【解法】把碎石沉没在水中，水面升高所增加的体积，就等于所的孔数。沉入的碎石的体积。我们先看每隔 2 孔跳一步时， 小明跳在哪些孔上？很容易看出应因此，沉入水池中的碎石的体积是在 1， 4， 7， 10，上。也就是说，小明跳到的孔上的编号是3 的3 米 3 米 0.06 米 0.54 米 3倍数加 1。按题意，小明最后跳到 B 孔，因此总孔数是3 的倍数加 1。而沉入小水池中的碎石的体积是同样道理，每隔4 孔跳一步最后跳到B 孔，就意味着总孔数是52 米 2 米 0.04 米 0.16 米 3的倍数加 1；而每隔6 孔跳一步最后跳回到A，就意味着总孔数是7这两堆碎石的体积一共是的倍数。0.54 米 3 0.16 米 3 0.7 米 3。如果将孔数减 1，那么得数是 3 的倍数也是 5 的倍数， 因而是 15把它们都沉入大水池里， 大水池的水面升高所增加的体积也就是的倍数。这个 15 的倍数加上1 就等于孔数，而且能被7 整除。注意0.7 米 3。而大水池的底面积是15 被 7 除余 1，所以 156 被 7 除余 6，15的6倍加 1正好被 7整除。6米6米36米2。我们还可以看出， 15 的其他（小于 7 的）倍数加 1 都不能被 7 整除，所以水面升高了：而 157 105 已经大于 100， 7 以上的倍数都不必考虑。因此，总孔数只能是156 l 91。10。答：圆圈上共有91 个孔。【分析与讨论】这道题其实是下面一类问题的特殊情形。一般的问题是：有一个未知整数，只知道它被某几个整数除后所得的余数，求这个整数。中国古代数学名著孙子算经中，已经有解决这类问题的一般方法了。这个方法在国际上被普遍称为“中国余数定理”。华罗庚教授曾为高小初中学生写过一本小册子 从孙子的 “神奇妙算”谈起，深入浅出地介绍了解决这个问题的巧妙方法，还由此引伸出其他一些很有趣的问题，极富启发性。这本小册子已被选入华罗庚科普著作选集 （上海教育出版社） ，有兴趣的同学可以读读。试将 1，2，3，4，5，6，7 分别填入图45 的方框中，每个数字只用一次：使得这三个数中任意两个都互质。其中一个三位数已填好，它是714。【解法】我们知道，如果两个数的最大公约数是1，那末这两个数就叫做互质数。已经填好的三位数714 是个合数，它的质因数分解是714 23717。使得这三个数中任意两个都互质。其中一个三位数已填好，它是714。由此可以看出， 要使最下面方框中的数与714 互质， 在剩下未填的数字 2，3，5，6 中只能选 5，也就是说， 第三行的一位数只能填5。现在来讨论第二行的三个方框中应该怎样填2，3，6 这三个数字。因为任意两个偶数都有公约数2，因此不互质。而714 是偶数，所以第二行的三位数不能是偶数，也就是说， 2 和 6 不能填在个位上，因此个位数只能是3。这样一来， 第二行的三位数只能是263 或 623。但是 623 能被 7 整除，所以623 与 714 不互质。最后来看263 这个数。通过检验可知：714 的质因数2，3， 7 和17 都不是 263 的因数，所以714 与 263 这两个数互质。显然，263 与5 也互质。因此，714， 263 和 5 这一个数两两互质。答：填法是：图 47 是一张道路图，每段路上的数字是小王走这段路所需的分钟数。请问小王从A 出发走到 B，最快需要几分钟？【解法 1】为叙述方便，我们把每个路口都标上字母，如图48、图49所示首先我们将道路图逐步简化。从 A 出发经过 C到 B 的路线都要经过 DC和 GC。面从 A 到 C有两条路线可走： ADC需时间 14 1327（分钟）； AGC需时间 15 1126（分钟）。我们不会走前一条路线，所以可将DC这段路抹去。但要注意， AD 不能抹去，因为从 A 到 B 还有别的路线（例如 AHB）经过AD，需要进一步分析。由 G到 E 也有两条路线可走： CCE需 16 分钟， GIE 也是 16 分钟。我们可以选择其中的任一条路线，例如选择前一条，抹掉GIE。（也。11。可以选择后一条而抹掉CE。但不能抹掉GC，因为还有别的路线经过它。）这样，道路图被简化成图49 的形状。在图 49 中，从 A 到 F 有两条路线，经过H 的一条需14 6 17 37（分钟），经过 G 的一条需 15 11 10 36（分钟），我们又可以将前一条路线抹掉（图 50）。图 50 中，从 C 到 B 也有两条路线，比较它们需要的时间，又可将经过 E 的一条路线抹掉。最后，剩下一条最省时间的路线（图 51），它需要 15 11 10 12 48（分钟）。答：最快需要48 分钟。【解法 2】要抓住关键点C。从 A 到 B 的道路如果经过C 点，那么，从 A 到 C 的道路中选一条最省时间的，即AGC；从 C 到 B 的道路中也选一条最省时间的，即CFB。因而从 A 到 B 经过 C 的所有道路中最省时间的就是这两条道路接起来的，即AGCFB。它的总时间是48分钟。剩下的只要比较从A 到 B 而不经过C点的道路与道路AGCFB，看那个更省时间。不经过 C 点的道路只有两条： ADHFB，它需要 49 分钟； AGIEB，它也需要 49 分钟。所以，从A 到 B 最快需要48 分钟。【分析与讨论】上面的简化过和并不需要逐一画图，只要在原图上将准备抹掉的路段打上记号，就能很快找出需时最短的路线来。即使更复杂的道路图，也很容易得到简化。图52 是稍为复杂一些的道路图，图中数字意义与本题相同。请同学们试用上面的逐步简化方法求出从 A 到 B 的最短时间。本题在应用数学中有个专门的名称，叫做“最短路线问题”。最短路线问题在交通运输、 计划规划等许多方面都有广泛的应用。 在实际问题中， 道路图往往很复杂， 要找出从 A 到 B 的所有路线是很困难的。因此，象上面这样的间化方法，就十分必要了。梯形 ABCD的中位线 EF 长 15 厘米（见图53）， ABC= AEF=90，G是 EF 上的一点。 如果三角形 ABG的面积是梯形 ABCD面积的 1/5 ，那么 EG的长是几厘米？解梯形ABCD的面积等于EFAB，而三用形 ABC的面积等于（ 1/2 ）EGAB，因此三角形ABG和梯形 ABCD的面积比等于（1/2 ） EG与 EF 的比。由题目的条件，三角形ABG的面积是梯形ABCD的面积的1/5 ，或者说EG是 EF的 2/5 。因为 EF 长15 厘米 .EG 的长就是15 厘米 2/5 6 厘米答： EG长 6 厘米。 分析与讨论在本题中，假设ABC AEG=90，这个条件其实是多余的。只是考虑到小学同学可能还没有学过有关中位线的性质，才加上这个条件的。有兴趣的同学可以考虑一下，如果去掉这个条件，这一题应该怎样做？有三堆砝码，第一堆中每个法码重3 克，第二堆中每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重7 克。请你取最少个数的砝码，使它们的总重量为 130 克写出的取法：需要多少个砝码？其中3 克、 5 克和 7 克的砝码各有几个？。12。 解法 为厂使问题简化，我们首先分析一下这三排砝码之间的关系。很明显， 一个 3 克的破码加上一个 7克的砝码正好等于两个5克的砝码（都是10 兑）。因此，如果用一个3 克的砝码和一个7 克的砝码去替换两个5 克的砝码， 砝码的个数及总重量都保持不变。这样一来，我们就可以把5克砝码两个两个地换掉，直到只剩一个5 克的砝码或者没有5 克砝码为止。这样就将问题归结为下面两种情形：一、所取的砝码中没有5 克砝码。很明显，为了使所取的砝码个数尽量少， 应该尽可能少取3 克砝码， 而 130 克减去 3 克砝码的总重量应该是 7 无的倍数。计算一下就可以知道，取0 个、 1 个、2 个、3个、 4 个、 5 个 3 克砝码，所余下的重量都不是7 克的倍数 。面如果取 6 个 3 克砝码，则 130-3克 6=112 克 =7 克16。于是可以取16 个7 克砝码和 6 个 3 个克砝码，总共22 个砝码，二、所取的砝码中有一个5 克的。 那么 3 克和 7 克砝码的总重最是 130 克-5 克 =125 克、和第一种情形类似，可以算出应取2 个 3克砝码和 17 个 7 克砝码，这样总共有17+2+1=20 个 砝码。比较上面两种情形，我们得知最少也取20个砝码。取法可以就象后十种情形那样；2 个 3克的， 1 个 5克的， 17个 7 克的；当然也可以用两个 5 克砝码换掉一个 3 克和 1 个 7 克的砝码，例如可以取5个 5克的和 15个7克的。答：最少要取20 个砝码，取法如上述。 分析和讨论 在这个问题中，有三个数（即三种砝码的个数）是可以变的。上面的解法实质上是先固定一个数（5 克砝码的个数） 、那么只剩下的个数在变，就比较容易处理了。如果三个数都在变，就会变得很乱，即使是找到一种只需20 个砝码的取法，也很难说清楚为什么这就是最少的。如果同学们还想冉做一个这样的习题，那么不妨算一下，在本题的条件下，至多可以取多少个砝码？怎样取？有 5 块圆形的花圃，它们的直径分别是3 米、 4 米、 5 米、 8 米、9 米；请将这5 块花圃分成两组，分别交给两个班管便两班所管理的面积尽可能接近。 解法 我们知道，每个圆的面积等于直径的平方乘以（/4 ）。现在要把5 个圆分组，两组的总面积累尽可能接近或者说；两组总面积的比尽可能接近！由于每个圆面积都有因子（/ 4）。而我们关心的只是面积的比，所以不把这个共同的因索都去掉，而把问题简化为：将 5 个圆公成两组，使两组圆的直径的个方和尽可能接近。5 个圆的直径的平方分别是：9， 16， 25， 64， 81。这 5 个数的和是195。由于 195 是奇数，所以不可能把这5 个数分成两组，使它们的和相等。另一方面.81+16=97 ，9+25+24=98 天者仅相差 1，这当是我样期望的最佳分配了。答：应该把直径4 米和 9 米的两个花圃交给一个班管理，其余三个花圃交给另一个班管理。 分析与讨论 这个题目和“华罗庚金杯”赛第一届初赛第18 题属于同一类型。做这个题目时，如果先每花圃的面积、再根据面积来分组，计算量就太大了。将这个因数去掉，只考虑直径的平方，就使问题大大简化。一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是： 1，2，3，5，8，13，21，34，55，问：这串数的前100 个数中（包括第100 个数）有多少个偶数？ 解法 观察一下已经写出的数就会发现，每隔两个奇数就有一个。13。偶数。如果再算几个数，会发现这个规律仍然成立。这个规律是不难解释的：因为两个奇数的和是偶救，所以两个种数后面一定是偶数。另一方面， 一个奇放和一个偶数的和是奇数，所以偶数后面一个是奇数，再后面一个还是奇数。这样，一个偶数后面一定有连续两个奇数，而这两个奇数后面一定又是偶数，等等。因此，偶数出现在第三、第六、第九 第九十九个位子上。所以偶数的个数等于100 以内 3 的倍数的个数，它等于993 33。答：这串数的前100 个数中共有33 个偶数。分析与讨论 本题给出的这串数叫做“菲波那西数列” ，又叫“兔子数列”，它有许多有趣的性质。有兴趣的同学可以想想：在这串数的前1000 个数中，有多少个3 的倍数？有多少个11 的倍数？王师傅驾车从甲地开乙地交货。如果他往返都以每小时60 公里的速度行驶，正好可以按时返回甲地。可是，当到达乙地时、他发现他从甲地到乙地的速度只有每小时55 公里，如果他想按时返回甲地，他应以多大的速度往回开？ 解法 根据题意，如果王师傅往返都以每小时60 公里的速度行驶，正好按时返回甲地。也就是说，按计划行驶1 公里的时间是160小时。而王师傅从甲地到乙地的实际行驶速度只有55 公里 / 小时，这样一来、实际行驶 1 公里所花费的时间是1小时，比计划时间多用55了（1 1 ）小时为了能按时返回甲地，王师傅从乙地返回甲地5560时，行驶 1 公里所花的时间必须比原计划时间少（1 1 ）小时。5560也就是说，只能花1 （ 1 1 ） 小时。因此王师傅往回开的605560速度应是66 公 / 小时。答：王师傅应以66 公里 / 小时的速度往回开。图 54 大圈是 400 米跑道， 由 A 到 B 的跑道长是 200 米，直线距离是50 米。父子俩同时从A 点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿于跑大圈，父亲每跑到B 点便沿各直线跑。父亲每100米用 20 秒，儿子每100 米用 19 秒。 如果他们按这样的速度跑， 儿子在跑第几圈时，第一次与父亲再相遇？ 解法 首先我们要注意到：父亲和儿子只能在由A 沿反时针方向到 B 这一段跑道上相遇。 而且儿子比父亲跑得快， 所以相遇时一定是儿子从后面